2016-2017学年人教A版高中数学选修2-2课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数 Word版含解析.doc

课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数 层级一　学业水平达标 1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的(　　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 解析：选B　根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B. 2．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　) A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 解析：选D　由f′(x)＝－＋＝＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点． 3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　) A．(2,3) B．(3，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，3) 解析：选B　因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)． 4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　) 解析：选C　由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0；排除B、D，当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C. 5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　) A.，0 B．0， C．－，0 D．0，－ 解析：选A　f′(x)＝3x2－2px－q， 由f′(1)＝0，f(1)＝0得， 解得∴f(x)＝x3－2x2＋x. 由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大值.当x＝1时f(x)取极小值0. 6．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝______________. 解析：∵f′(x)＝＋2bx＋1，由题意得 ∴a＝－. 答案：－ 7．函数f(x)＝ax2＋bx在x＝处有极值，则b的值为________． 解析：f′(x)＝2ax＋b，∵函数f(x)在x＝处有极值， ∴f′＝2a·＋b＝0，即b＝－2. 答案：－2 8.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号) ①当x＝时，函数f(x)取得最小值； ②f(x)有两个极值点； ③当x＝2时函数值取得极小值； ④当x＝1时函数取得极大值． 解析：由图象可知，x＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y＞0；x∈(1,2)时，y＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故③④正确． 答案：① 9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值． 解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减↘ 2(1－ln 2＋a) 单调递增↗ 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)； 且f(x)在x＝ln 2处取得极小值． 极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值． 10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1. (1)试求常数a，b，c的值； (2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． 解：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0. 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. ∴a＝，b＝0，c＝－. (2)由(1)知f(x)＝x3－x， ∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)． 当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数． ∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1； 当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1. 层级二　应试能力达标 1．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　　) A．1，－3　　　　　　　　 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3 解析：选A　∵f′(x)＝3ax2＋b，由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，∴∴a＝1，b＝－3. 2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是(　　) A．(－1,2) B．(－3,6) C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：选C　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6， ∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6. 3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则(　　) A．a＜－1 B．a＞－1 C．a＜－ D．a＞－ 解析：选A　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1. 4．已知函数f(x)＝ex(sin x－cos x)，x∈(0,2 017π)，则函数f(x)的极大值之和为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　f′(x)＝2exsin x，令f′(x)＝0得sin x＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ<x<2kπ＋π时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当(2k－1)π<x<2kπ时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴当x＝(2k＋1)π时，f(x)取到极大值，∵x∈(0,2 017π)，∴0<(2k＋1)π<2 017π，∴0≤k<1 008，k∈Z. ∴f(x)的极大值之和为S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2 015π)＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2 015π＝＝，故选B. 5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于______． 解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；x∈(0,4)时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19. 答案：－19 6．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______． 解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a， 则f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得1<a<5，另外，当a＝1时，函数f(x)＝x3＋x2－x－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a＝5时，函数f(x)＝x3＋x2－5x－4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a的范围为[1,5)． 答案：[1,5) 7．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． 解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8. 从而a＝4，b＝4. (2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x， f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2). 令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2. 从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0. 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)． 8．已知f(x)＝2ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值． (1)求实数a的值． (2)若关于x的方程f(x)＋b＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围． 解：(1)f′(x)＝－2x－1，当x＝0时，f(x)取得极值， 所以f′(0)＝0，解得a＝2，检验知a＝2符合题意． (2)令g(x)＝f(x)＋b＝2ln(x＋2)－x2－x＋b， 则g′(x)＝－2x－1＝－(x＞－2)． g(x)，g′(x)在(－2，＋∞)上的变化状态如下表： x (－2,0) 0 (0，＋∞) g′(x) ＋ 0 － g(x)  2ln 2＋b  由上表可知函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b. 要使f(x)＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根， 只需 即 所以－2ln 2＜b≤2－2ln 3. 故实数b的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．