2016-2017学年人教A版选修4-5 用数学归纳法证明不等式 学案.doc

课堂探究 1．观察、归纳、猜想、证明的方法 剖析：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题，命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了． 在观察与归纳时，n的取值不能太少，否则将得出错误的结论．教材例1中若只观察前3项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2；a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，从而归纳出n2＞2n(n∈N＋，n≥3)是错误的，前n项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论． 2．从“n＝k”到“n＝k＋1”的方法与技巧 剖析：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k＋1”的过渡，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k＋1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需要通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k＋1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构． 题型一 用数学归纳法证明有关函数中的不等关系 【例1】已知f(x)＝.对于n∈N＋，试比较f()与的大小并说明理由． 分析：先通过n取比较小的值进行归纳猜想，确定证明方向，再用数学归纳法证明． 解：据题意f(x)＝＝＝1－， ∴f()＝1－，又＝1－， ∴要比较f()与的大小，只需比较2n与n2的大小即可， 当n＝1时，21＝2＞12＝1， 当n＝2时，22＝4＝22， 当n＝3时，23＝8＜32＝9， 当n＝4时，24＝16＝42， 当n＝5时，25＝32＞52＝25， 当n＝6时，26＝64＞62＝36. 故猜测当n≥5(n∈N＋)时， 2n＞n2， 下面用数学归纳法加以证明． (1)当n＝5时，2n＞n2显然成立． (2)假设n＝k(k≥5，且k∈N＋)时，不等式2n＞n2成立， 即2k＞k2(k≥5)，则当n＝k＋1时， 2k＋1＝2·2k＞2·k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1 ＝(k＋1)2＋(k－1)2－2＞(k＋1)2(因为(k－1)2＞2)． 由(1)(2)可知，对一切n≥5，n∈N＋，2n＞n2成立． 综上所述，当n＝1或n≥5时，f()＞. 当n＝2或n＝4时，f()＝， 当n＝3时，f()＜. 反思 利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向．再用数学归纳法证明结论成立. 题型二 数学归纳法在解决有关数列问题中的应用 【例2】已知数列{an}满足：a1＝，且an＝(n≥2，n∈N＋)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：对一切正整数n，不等式a1a2…an＜2n！恒成立． 分析：(1)由题设条件知，可用构造新数列的方法求得an；(2)可以等价变形，视为证明新的不等式． (1)解：将条件变为：1－＝， 因此数列{1－}为一个等比数列，其首项为1－＝，公比为，从而1－＝，因此得an＝(n≥1)．① (2)证明：由①得， a1a2…an＝ . 为证a1a2…an＜2n！， 只要证n∈N＋时，有××…×＞.② 显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对n∈N＋，有××…×≥1－.③ 下面用数学归纳法证明③式： ①当n＝1时，显然③式成立， ②假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，③式成立， 即××…×≥ 1－， 则当n＝k＋1时， ×…× ≥ ＝1－－＋·≥1－. 即当n＝k＋1时，③式也成立． 故对一切n∈N＋，③式都成立． 利用③，得×… ≥1－＝1－ ＝1－＝＋n＞. 故原不等式成立． 反思 本题提供了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路，即要证明的不等式不一定非要用数学归纳法去直接证明，我们通过分析法、综合法等方法的分析，可以找到一些证明的关键，“要证明……”，“只需证明……”，转化为证明其他某一个条件，进而说明要证明的不等式是成立的. 题型三 用数学归纳法证明不等式 【例3】设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明． 分析：这类问题，一般都是先取Pn，Qn的前几项进行观察，以寻求规律，作出猜想，再证明猜想的正确性． 解：P1＝1＋x＝Q1，P2＝1＋2x＋x2＝Q2， P3＝1＋3x＋3x2＋x3，Q3＝1＋3x＋3x2， P3－Q3＝x3， 由此推测，Pn与Qn的大小要由x的符号来决定． (1)当n＝1,2时，Pn＝Qn. (2)当n≥3时(以下再对x进行分类)： ①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn＞Qn. ②若x＝0，则Pn＝Qn. ③若x∈(－1,0)，则P3－Q3＝x3＜0，所以P3＜Q3. P4－Q4＝4x3＋x4＝x3(4＋x)＜0，所以P4＜Q4. 假设n＝k(k≥3，k∈N＋)时，有Pk＜Qk(k≥3)， 则n＝k＋1时，Pk＋1＝(1＋x)Pk＜(1＋x)Qk ＝Qk＋xQk ＝1＋kx＋＋x＋kx2＋ ＝1＋(k＋1)x＋x2＋x3 ＝Qk＋1＋x3＜Qk＋1， 即当n＝k＋1时，不等式成立． 所以当n≥3，且x∈(－1,0)时，Pn＜Qn. 反思 本题中，n的取值会影响Pn与Qn的大小变化，变量x也影响Pn与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用. 题型四 易错辨析 【例4】已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．用数学归纳法证明f(2n)＞时，f(2k＋1)－f(2k)＝________. 错解： 错因分析：∵f(n)＝1＋＋＋…＋中共有n项相加， ∴f(2k)中应有2k项相加，f(2k＋1)中有2k＋1项相加， ∴f(2k＋1)－f(2k)中应有(2k＋1－2k)项． 正解：＋＋…＋