2016-2017学年人教A版高中数学选修2-2课时跟踪检测（八） 生活中的优化问题举例 Word版含解析.doc

课时跟踪检测（八） 生活中的优化问题举例 层级一　学业水平达标 1．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　) A．8　　　　　　　　　　　 B. C．－1 D．－8 解析：选C　瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1. 2．把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　) A. cm2 B．4 cm2 C．3 cm2 D．2 cm2 解析：选D　设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)， 则S(x)＝×2×＋×2×＝，∴S′(x)＝. 令S′(x)＝0，得x＝6， 当x∈(0,6)时，S′(x)＜0， 当x∈(6,12)时，S′(x)＞0， ∴当x＝6时，S(x)最小． ∴S＝＝2(cm2)． 3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　) A．100 B．150 C．200 D．300 解析：选D　由题意，总成本为：C＝20 000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝ P′＝令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大． 4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　) A. B．2 C. D.V 解析：选C　设底面边长为x，则高为h＝， ∴S表＝3××x＋2×x2＝＋x2， ∴S表′＝－＋x， 令S表′＝0，得x＝. 经检验知，当x＝时，S表取得最小值． 5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(　　) A．R B．2R C.R D.R 解析：选C　设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R. 当0<h<时，V′>0；当<h<2R时，V′<0. 因此当h＝R时，圆锥体积最大．故应选C. 6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元． 解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆． 总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)． 令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2. ∴当x＝10时，L有最大值45.6. 答案：45.6 7．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________． 解析：设CD＝x，则点C坐标为，点B坐标为， ∴矩形ABCD的面积 S＝f(x)＝x· ＝－＋x，x∈(0,2)． 由f′(x)＝－x2＋1＝0， 得x1＝－(舍)，x2＝， ∴x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的， x∈时，f′(x)＜0，f(x)是递减的， 当x＝时，f(x)取最大值. 答案： 8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件． 解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝. 总利润y＝500－x3－1 200(x>0)， y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时， y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时， y取最大值． 答案：25 9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40， 因此C(x)＝. 而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x ＝＋6x(0≤x≤10)． (2)f′(x)＝6－， 令f′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5，x＝－(舍去)． 当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0， 故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋＝70. 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元． 10．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N*)． (1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式； (2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 解：(1)由题意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)． 因为次品率p＝，当每天生产x件时， 有x·件次品，有x件正品． 所以T＝200x－100x· ＝25·(x∈N*)． (2)T′＝－25·， 由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)． 当0<x≤16时，T′≥0；当x≥16时，T′≤0；所以当x＝16时，T最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利． 层级二　应试能力达标 1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(　　) A．13万件　　　　　　　　 B．11万件 C．9万件 D．7万件 解析：选C　y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0. 所以当x＝9时，y取得最大值． 2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为(　　) A．2πr2 B．πr2 C．4πr2 D.πr2 解析：选A　设内接圆柱的底面半径为r1，高为t， 则S＝2πr1t＝2πr12＝4πr1. ∴S＝4π. 令(r2r－r)′＝0得r1＝r. 此时S＝4π·r·＝4π·r·r＝2πr2. 3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为(　　) A．80元 B．85元 C．90元 D．95元 解析：选B　设每件商品定价x元，依题意可得 利润为L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)． L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝＝85. 因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大． 4．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为(　　) A.和R B.R和R C.R和R D．以上都不对 解析：选B　设矩形的宽为x，则长为2， 则l＝2x＋4(0<x<R)，l′＝2－， 令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)． 当0<x<R时，l′>0，当R<x<R时，l′<0， 所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R. 5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨． 解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝， ∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x，令f′(x)＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20(舍去)， x＝20是函数f(x)的最小值点，故当x＝20时，f(x)最小． 答案：20 6.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________ m时，帐篷的体积最大． 解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为＝(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×()2＝(8＋2x－x2)． 帐篷的体积为 V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋(8＋2x－x2) ＝(8＋2x－x2) ＝(16＋12x－x3)， V′＝(12－3x2)． 令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)． 当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0. 所以当x＝2时，V最大． 答案：2 7．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)． (1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？ (2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入) 解：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)， 则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)， ∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大． (2)设用于技术改造的资金为x(百万元)， 则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)， 则g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)， ∴g′(x)＝－x2＋4， 令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2. 又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2<x≤3时，g′(x)<0， ∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大． 8．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y＝x3－x＋8(0<x<120)． (1)当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？ (2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？ 解：(1)当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要＝小时， 要耗油×＝11.95(升)． (2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得， ×＝22.5， ∴a＝， 设h(x)＝x2＋－， 则当h(x)最小时，a取最大值， h′(x)＝x－＝， 令h′(x)＝0⇒x＝80， 当x∈(0,80)时，h′(x)<0， 当x∈(80,120)时，h′(x)>0， 故当x∈(0,80)时，函数h(x)为减函数， 当x∈(80,120)时，函数h(x)为增函数， ∴当x＝80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为 a＝＝200. 故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．