2016-2017学年人教A版选修2-1 3.1.3 空间向量的数量积运算学案.doc

3.1.3 空间向量的数量积 【使用说明及学法指导】 1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题． 3. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示； 4. 掌握空间向量的坐标运算的规律； 【重点】利用两个向量的数量积解决立体几何中的问题． 【难点】空间向量的坐标运算的规律 一、自主学习 1预习教材P90~ P92, 解决下列问题 复习1：什么是平面向量与的数量积？ 复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求. 2. 导学提纲 1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间 ，作，则叫做向量与的夹角，记作 . ⑴ 范围: =0时, ;=π时, ⑵ 成立吗？ ⑶ ，则称与互相垂直，记作 . 2) 向量的数量积： 已知向量，则 叫做的数量积，记作，即 . ⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ （选0还是） ⑶ 你能说出的几何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质： （1）设单位向量，则． （2） ． （3） ＝ . （4）=____________ 4)空间向量数量积满足哪些运算律：_____________________________ ⑴ 吗？举例说明. ⑵ 若，则吗？为什么? ⑶ 若，则吗？为什么？ 5)对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要___个向量？这几个向量有何位置关系？ ⑴ 空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使. 如果两两 ，这种分解叫空间向量的___________. (2) 空间向量基本定理：如果三个向量 ，对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把 的一个基底都叫做__________.空间任意一个向量的基底有 个.一个基底可以表示_____个空间向量？ (3) 如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用_________表示. ⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着 . ⑸设A，B，则＝ . ⑹向量的直角坐标运算： 设a＝，b＝，则 ⑴a＋b＝_________________； ⑵a－b＝_________________； ⑶λa＝__________________;； ⑷a·b＝_____________________. 6) 试用向量方法证明直线与平面垂直的判断定理 二、典型例题 例1.1. 下列命题中： ①若，则，中至少一个为 ②若且，则 ③ ④ 正确有个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（ ） A. B. C. D. 3. 若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点B的坐标是 5.已知中，所对的边为，且,,则= 6.在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基底，试用基底表示＝ 7. 已知，，且和不共线，当 与的夹角是锐角时，的取值范围是 . 8. 正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是 . 9. 已知向量满足，，，则____ 10. 已知关于x的方程有两个实根，，且， 当t＝ 时，的模取得最大值. 例2 如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值 变式：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若 AB=BB,则AB与CB所成的角为（ ） A. 60° B. 90° C. 105° D. 75° 例3 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离． 例4 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，－*6]·＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量： （1） ； (2)； (3) ； (4). 三、变式训练：课本第92页练习1-3，94页练习1-3题 四、课堂小结 1．知识： 2．数学思想、方法： 3．能力： 五、课后巩固 1.课本第98页A组3、4题 2. 已知空间四边形中，，，求证：. 3. 已知是空间的一个正交基底，向量是另一组基底，若在的坐标是，求在的坐标. 4