2016-2017学年人教A版选修4-5 比较法 学案.doc

课堂探究 1．作差比较法证明不等式的一般步骤 剖析：(1)作差：将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差． (2)变形：将差式进行变形，变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方和等等． (3)判断符号：根据已知条件与上述变形结果，判断差的正负号． (4)结论：根据差的正负号下结论． 知识拓展 若差式的符号不能确定，一般是与某些字母的取值有关时，则需对这些字母进行讨论． 2．作商比较法中的符号问题的确定 剖析：在作商比较法中，＞1b＞a是不正确的，这与a，b的符号有关，比如若a，b＞0，由＞1，可得b＞a，但若a，b＜0，则由＞1得出的反而是b＜a，也就是说，在作商比较法中，要对a，b的符号作出判断．否则，结论可能是错误的． 名师点拔 使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值，若均为负值时，可先同乘以－1，转化后再进行证明． 题型一 利用作差比较法证明不等式 【例1】已知a≥1，求证：－＜－. 分析：因不等式两边进行分子有理化相减后，可判断差的符号，故可用作差比较法进行证明． 证明：∵(－)－(－) ＝－ ＝＜0， ∴－＜－. 反思 根据左、右两边都含无理式的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于0时，两边平方是等价变形，都小于0时要改变不等号. 题型二 利用作商比较法证明不等式 【例2】已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋. 分析：因为a，b均为正数，故而不等式左边和右边都是正数，所以可以用作商比较法进行比较． 证明：∵＝＋＝＋ ＝＝， 又∵a2＋b2≥2ab， ∴≥＝1， 当且仅当a＝b＞0时取等号．∴＋≥＋. 反思 作商比较法的前提条件是两个数a，b都大于0，对进行整理，直到能清晰看出与1的大小关系为止．在运算过程中注意运用计算技巧. 题型三 比较法在综合题目中的应用 【例3】已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N＋)． (1)证明数列{an＋1}是等比数列； (2)令f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f(x)在点x＝1处的导数f′(1)，并比较2f′(1)与23n2－13n的大小． 分析：在比较大小时，作差法的差式与“n”的取值有关，且大小关系随“n”的变化而变化． (1)证明：由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，① ∴n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，② ①②两式相减，得 Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1， 从而an＋1＋1＝2(an＋1)． 当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴a1＋a2＝2a1＋6. 又a1＝5，故a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)． 故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N＋. 又∵a1＝5，∴a1＋1≠0，从而＝2， 即{an＋1}是以a1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列． (2)解：由(1)可知an＝3×2n－1. ∵f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn， ∴f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1. 从而f′(1)＝a1＋2a2＋…＋nan ＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1) ＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋3＋…＋n) ＝3[n×2n＋1－(2＋…＋2n)]－ ＝3(n×2n＋1－2n＋1＋2)－ ＝3(n－1)·2n＋1－＋6. 则2f′(1)－(23n2－13n) ＝12(n－1)·2n－12(2n2－n－1) ＝12(n－1)·2n－12(n－1)(2n＋1) ＝12(n－1)[2n－(2n＋1)]．(*) 当n＝1时，(*)式＝0， ∴2f′(1)＝23n2－13n； 当n＝2时，(*)式＝－12＜0， ∴2f′(1)＜23n2－13n； 当n≥3时，n－1＞0， 又2n＝(1＋1)n＝C＋C＋…＋C＋C≥2n＋2＞2n＋1， ∴(n－1)[2n－(2n＋1)]＞0， 即(*)式＞0，从而2f′(1)＞23n2－13n. 反思 此类比较大小的题是典型的结论不唯一的题．在数列中，大小问题可能会随“n”变化而变化．往往n＝1,2，…，前几个自然数对应的值与后面n≥n0的值大小不一样，这就要求在解答这样的题时，要时刻有“大小关系不一定唯一”的念头，即时刻提醒自己所求解的问题是否需要讨论．