许昌市长葛市2017届九年级下第一次月考数学试卷含答案解析.doc

2016-2017学年河南省许昌市长葛市九年级（下）第一次月考数学试卷 　 一、选择题（每题3分，共24分） 1．﹣的倒数是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．在一次数学测试中，某学习小组6名同学的成绩（单位：分）分别为65，82，86，82，76，95．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） A．众数是82 B．中位数是82 C．极差是30 D．平均数是82 4．下列运算正确的是（　　） A．﹣a（a﹣b）=﹣a2﹣ab B．（2ab）2÷a2b=4ab C．2ab•3a=6a2b D．（a﹣1）（1﹣a）=a2﹣1 5．如图是由5个相同的小正方体构成的几何体，其左视图是（　　） A． B． C． D． 6．任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（　　） A．△EGH为等腰三角形 B．△EGF为等边三角形 C．四边形EGFH为菱形 D．△EHF为等腰三角形 7．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　） A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小 8．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 　 二、填空题（每题3分，共21分） 9．在“2016丝绸之路”国际投资贸易洽谈会上，我省销售的产品和合作项目签约金额为730000000元，将730000000用科学记数法表示为　　． 10．分解因式：a3﹣4a=　　． 11．如图，直线AB∥CD，CA平分∠BCD，若∠1=50°，则∠2=　　． 12．若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是　　（写出一个即可）． 13．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2，反比例函数y=的图象经过点B，则k的值为　　． 14．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是　　． 15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为　　． 　 三、解答题（共75分） 16．先化简：（2x﹣）÷，然后从0，1，﹣2中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD交于点G． （1）求证：BD∥EF； （2）若=，BE=4，求EC的长． 18．2015年安徽省中考体育考试方案出台，体育总分由2014年的40分增加到45分，考试项目分为必考项目和选考项目．男生的必考项目是1000米跑，女生的必考项目是800米跑；选考项目为立定跳远、1分钟跳绳和坐位体前屈．某校为了解毕业班学生对选考项目的喜爱程度，以便进行有针对性的训练，对本校九年级部分学生进行了一次随机问卷调查，下图是采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：立定跳远，B：1分钟跳绳，C：坐位体前屈）．请你根据图中提供的信息解答以下问题： （1）填写扇形统计图中缺失的数据，并把条形图补充完整； （2）2015年该校九年级共有学生200人，按此调查，可以估计2015年该校九年级学生中喜爱1分钟跳绳的学生约有多少人？ （3）安徽省教育厅规定：各地市可在选考项目中确定两项作为本地市中考体育考试项目，那么该校所在地市确定的中考体育项目中“含有1分钟跳绳”的概率是多少？ 19．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）． （1）求办公楼AB的高度； （2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离． （参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22） 20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标． 21．东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． （1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； （2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 22．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点． （1）求证：BD=CE； （2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转， ①当∠EAC=90°时，求PB的长； ②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值． 23．如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的解析式； （2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）； （3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）． 　 2016-2017学年河南省许昌市长葛市九年级（下）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（每题3分，共24分） 1．﹣的倒数是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【考点】倒数；绝对值． 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可化简绝对值，根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案． 【解答】解：﹣|﹣|的倒数是﹣2， 故选：B． 　 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【分析】根据解一元一次不等式组的方法可以求出原不等式组的解集，从而可以解答本题． 【解答】解： 由①，得x＞﹣3， 由②，得x≤2， 故原不等式组的解集是﹣3＜x≤2， 故选C． 　 3．在一次数学测试中，某学习小组6名同学的成绩（单位：分）分别为65，82，86，82，76，95．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） A．众数是82 B．中位数是82 C．极差是30 D．平均数是82 【考点】极差；算术平均数；中位数；众数． 【分析】根据极差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可． 【解答】解：将数据从小到大排列为：65，76，82，82，86，95， A、众数是82，说法正确； B、中位数是82，说法正确； C、极差为95﹣65=30，说法正确； D、平均数==81≠82，说法错误； 故选：D． 　 4．下列运算正确的是（　　） A．﹣a（a﹣b）=﹣a2﹣ab B．（2ab）2÷a2b=4ab C．2ab•3a=6a2b D．（a﹣1）（1﹣a）=a2﹣1 【考点】整式的混合运算． 【分析】A、原式利用单项式乘以多项式法则计算得到结果，即可作出判断； B、原式先计算乘方运算，再计算除法运算得到结果，即可作出判断； C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可作出判断； D、原式变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式=﹣a2+ab，错误； B、原式=4a2b2÷a2b=4b，错误； C、原式=6a2b，正确； D、原式=﹣（a﹣1）2=﹣a2+2a﹣1，错误， 故选C 　 5．如图是由5个相同的小正方体构成的几何体，其左视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】几何体的左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1；据此画出图形即可求解． 【解答】解：观察图形可知，如图是由5个相同的小正方体构成的几何体，其左视图是． 故选：C． 　 6．任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（　　） A．△EGH为等腰三角形 B．△EGF为等边三角形 C．四边形EGFH为菱形 D．△EHF为等腰三角形 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可． 【解答】解：A、正确．∵EG=EH， ∴△EGH是等腰三角形． B、错误．∵EG=GF， ∴△EFG是等腰三角形， 若△EFG是等边三角形，则EF=EG，显然不可能． C、正确．∵EG=EH=HF=FG， ∴四边形EHFG是菱形． D、正确．∵EH=FH， ∴△EFH是等腰三角形． 故选B． 　 7．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　） A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小 【考点】锐角三角函数的增减性． 【分析】设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DBE=α，易知BE+CF=BC•cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断． 【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F， ∴CF∥BE， ∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DBE=α， ∴CF=DC•cosα，BE=DB•cosα， ∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC•cosα， ∵∠ABC=90°， ∴O＜α＜90°， 当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的， ∴cosα的值是逐渐减小的， ∴BE+CF=BC•cosα的值是逐渐减小的． 故选C． 　 8．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【考点】动点问题的函数图象． 【分析】根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，△ABP的面积S与时间t的关系确定函数图象． 【解答】解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大； 当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变； 当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小； 当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变； 当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小； 故选：B． 　 二、填空题（每题3分，共21分） 9．在“2016丝绸之路”国际投资贸易洽谈会上，我省销售的产品和合作项目签约金额为730000000元，将730000000用科学记数法表示为　7.3×108　． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：730000000用科学记数法表示为：7.3×108． 故答案为：7.3×108． 　 10．分解因式：a3﹣4a=　a（a+2）（a﹣2）　． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=a（a2﹣4） =a（a+2）（a﹣2）． 故答案为：a（a+2）（a﹣2） 　 11．如图，直线AB∥CD，CA平分∠BCD，若∠1=50°，则∠2=　65°　． 【考点】平行线的性质． 【分析】先根据平行线的性质得∠ABC+∠BCD=180°，根据对顶角相等得∠ABC=∠1=50°，则∠BCD=130°，再利用角平分线定义得到∠ACD=∠BCD=65°，然后根据平行线的性质得到∠2的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD=180°， 而∠ABC=∠1=50°， ∴∠BCD=130°， ∵CA平分∠BCD， ∴∠ACD=∠BCD=65°， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠ACD=65°． 故答案为65°． 　 12．若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是　1　（写出一个即可）． 【考点】根的判别式． 【分析】直接利用根的判别式，得出△＞0，进而求出c的值． 【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根， ∴△=16﹣4c＞0， 解得：c＜4， 故c的值可以是1． 故答案为：1 　 13．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2，反比例函数y=的图象经过点B，则k的值为　﹣8　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质． 【分析】根据∠AOB=90°，先过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B的坐标，进而得出k的值． 【解答】解：过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，则∠OCA=∠BDO=90°， ∴∠DBO+∠BOD=90°， ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠DBO=∠AOC， ∴△DBO∽△COA， ∴， ∵点A的坐标为（2，1）， ∴AC=1，OC=2， ∴AO==， ∴，即BD=4，DO=2， ∴B（﹣2，4）， ∵反比例函数y=的图象经过点B， ∴k的值为﹣2×4=﹣8． 故答案为：﹣8 　 14．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是　﹣　． 【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）． 【分析】连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC=MC=，继而求出∠AOC=60°、AB=2AC=，然后根据S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB、S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM计算可得答案． 【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB， 由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=， 在RT△AOC中，∵OA=1，OC=， ∴cos∠AOC==，AC== ∴∠AOC=60°，AB=2AC=， ∴∠AOB=2∠AOC=120°， 则S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB =﹣×× =﹣， S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM =π×12﹣2（﹣） =﹣． 故答案为：﹣． 　 15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为　2﹣2　． 【考点】菱形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质． 【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PC为底．③若以边PB为底．分别求出PD的最小值，即可判断． 【解答】解：①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，为2； ②若以边PC为底，∠PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC（除点C外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD最小，最小值为2√3﹣2； ③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； 综上所述，PD的最小值为2﹣2． 　 三、解答题（共75分） 16．先化简：（2x﹣）÷，然后从0，1，﹣2中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 【考点】分式的化简求值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=（﹣）÷ =• =， 当x=﹣2时，原式==． 　 17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD交于点G． （1）求证：BD∥EF； （2）若=，BE=4，求EC的长． 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【分析】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案； （2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∵DF=BE， ∴四边形BEFD是平行四边形， ∴BD∥EF； （2）∵四边形BEFD是平行四边形， ∴DF=BE=4． ∵DF∥EC， ∴△DFG∽CEG， ∴=， ∴CE==4×=6． 　 18．2015年安徽省中考体育考试方案出台，体育总分由2014年的40分增加到45分，考试项目分为必考项目和选考项目．男生的必考项目是1000米跑，女生的必考项目是800米跑；选考项目为立定跳远、1分钟跳绳和坐位体前屈．某校为了解毕业班学生对选考项目的喜爱程度，以便进行有针对性的训练，对本校九年级部分学生进行了一次随机问卷调查，下图是采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：立定跳远，B：1分钟跳绳，C：坐位体前屈）．请你根据图中提供的信息解答以下问题： （1）填写扇形统计图中缺失的数据，并把条形图补充完整； （2）2015年该校九年级共有学生200人，按此调查，可以估计2015年该校九年级学生中喜爱1分钟跳绳的学生约有多少人？ （3）安徽省教育厅规定：各地市可在选考项目中确定两项作为本地市中考体育考试项目，那么该校所在地市确定的中考体育项目中“含有1分钟跳绳”的概率是多少？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式． 【分析】（1）根据喜爱A的人数除以喜爱A的所占的百分比，可得抽测的总人数，根据有理数的减法，可得喜爱B的人数，根据喜爱B的人数除以抽测的人数，可得喜爱B的人数所占的百分比，根据有理数的减法，可得喜爱C的人数所占的百分比； （2）根据九年级人数乘以喜爱B所占的百分比，可得答案； （3）根据树状图，可得总结过及B出现的次数，根据b出现的次数比上总结果，可得答案． 【解答】解：（1）由条形统计图中A对应的数据和扇形统计图中A对应的百分比可知，抽取的样本容量为8÷20%=40， 故喜爱B项目的人数为：40﹣8﹣18=14（人），所占百分比为14÷40=35%； 喜爱C项目的人数所占百分比为：1﹣20%﹣35%=45%或18÷40=45%． 补充后的统计图为： （2）由（1）可知，样本中喜爱B项目占样本容量的35%，故据此可估计该校九年级学生中喜爱项目B的学生约有200×35%=70（人） … （3）选两项的结果AB，AC，BA，BC，CA，CB， B出现的结果为AB，BA，BC，CB， 一共有6种情况，其中含有项目B的有4种情况，因此P（含有1分钟跳绳项目）== 　 19．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）． （1）求办公楼AB的高度； （2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离． （参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22） 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可； （2）利用Rt△AME中，cos22°=，求出AE即可 【解答】解：（1）如图， 过点E作EM⊥AB，垂足为M． 设AB为x． Rt△ABF中，∠AFB=45°， ∴BF=AB=x， ∴BC=BF+FC=x+25， 在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2， tan22°=， 则=， 解得：x=20． 即教学楼的高20m． （2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45． 在Rt△AME中，cos22°=． ∴AE=， 即A、E之间的距离约为48m 　 20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论； （2）由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标． 【解答】解：（1）∵OB=4，OE=2， ∴BE=OB+OE=6． ∵CE⊥x轴， ∴∠CEB=90°． 在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO=， ∴CE=BE•tan∠ABO=6×=3， 结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）． ∵点C在反比例函数y=的图象上， ∴m=﹣2×3=﹣6， ∴反比例函数的解析式为y=﹣． （2）∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上， ∴设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）． 在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO=， ∴OA=OB•tan∠ABO=4×=2． ∵S△BAF=AF•OB=（OA+OF）•OB=（2+）×4=4+． ∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上， ∴S△DFO=×|﹣6|=3． ∵S△BAF=4S△DFO， ∴4+=4×3， 解得：n=， 经验证，n=是分式方程4+=4×3的解， ∴点D的坐标为（，﹣4）． 　 21．东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． （1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； （2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍列出方程解答即可； （2）设这所学校再次购买y个乙种足球，根据题意列出不等式解答即可． 【解答】解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），可得：， 解得：x=50， 经检验x=50是原方程的解， 答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元； （2）设这所学校再次购买y个乙种足球，可得：50×（1+10%）×（50﹣y）+70×（1﹣10%）y≤2900， 解得：y≤18.75， 由题意可得，最多可购买18个乙种足球， 答：这所学校最多可购买18个乙种足球． 　 22．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点． （1）求证：BD=CE； （2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转， ①当∠EAC=90°时，求PB的长； ②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值． 【考点】三角形综合题． 【分析】（1）欲证明BD=CE，只要证明△ABD≌△ACE即可． （2）①分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．由△PEB∽△AEC，得=，由此即可解决问题．b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．解法类似． ②a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．分别求出PB即可． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE， 在△ADB和△AEC中， ∴△ADB≌△AEC， ∴BD=CE． （2）①解：a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1． ∵∠EAC=90°， ∴CE==， 同（1）可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠PEB=∠AEC， ∴△PEB∽△AEC． ∴=， ∴=， ∴PB= b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3． ∵∠EAC=90°， ∴CE==， 同（1）可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠BEP=∠CEA， ∴△PEB∽△AEC， ∴=， ∴=， ∴PB=， 综上，PB=或． ②解：a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小． 理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小） ∵AE⊥EC， ∴EC===， 由（1）可知，△ABD≌△ACE， ∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=， ∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°， ∴四边形AEPD是矩形， ∴PD=AE=1， ∴PB=BD﹣PD=﹣1． b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大． 理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大） ∵AE⊥EC， ∴EC===， 由（1）可知，△ABD≌△ACE， ∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=， ∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°， ∴四边形AEPD是矩形， ∴PD=AE=1， ∴PB=BD+PD=+1． 综上所述，PB长的最小值是﹣1，最大值是+1． 　 23．如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的解析式； （2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）； （3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）将A，B点坐标代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式； （2）由解析式先求得点D、C坐标，再根据S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC，列式计算即可； （3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、E对称，则AP=EP，AQ=EQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等的性质可用t表示E点坐标，又E在二次函数的图象上，所以代入即可求t，进而E可表示． 【解答】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）， ∴， 解得：， ∴y=x2﹣x﹣4； （2）过点D作DM⊥y轴于点M， ∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣1）2﹣， ∴点D（1，﹣）、点C（0，﹣4）， 则S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC =×（1+3）×﹣×（﹣4）×1﹣×3×4 =4； （3）四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣，﹣）．理由如下 如图2，E点关于PQ与A点对称，过点Q作，QF⊥AP于F， ∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ ∴AP=AQ=QE=EP， ∴四边形AQEP为菱形， ∵FQ∥OC， ∴==， ∴== ∴AF=t，FQ=t• ∴Q（3﹣t，﹣t）， ∵EQ=AP=t， ∴E（3﹣t﹣t，﹣t）， ∵E在二次函数y=x2﹣x﹣4上， ∴﹣t=（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4， ∴t=，或t=0（与A重合，舍去）， ∴E（﹣，﹣）． 　 第29页（共29页）