类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法.doc

优秀领先 飞翔梦想 成人成才 类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法 ——直接法、间接法一网搜罗 　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明 1．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E，连接AG. (1)求证：AG＝CG； (2)求证：AG2＝GE·GF. 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F. (1)若FD＝2FB，求的值； (2)若AC＝2，BC＝，求S△FDC的值． 类型二　利用等线段代换 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：＝. 类型三　找中间比利用等积式代换 4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP，垂足为G，交CE于D，求证：CE2＝PE·DE. 参考答案与解析 1．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F＝∠FCD.在△ADG与△CDG中，∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，AG＝CG. (2)∵∠EAG＝∠DCG，∠F＝∠DCG，∴∠EAG＝∠F.又∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴＝，∴AG2＝GE·GF. 2．解：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ABC＝∠DCB＋∠ABC，∴∠A＝∠DCB.∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EA，∴∠A＝∠EDA.∵∠BDF＝∠EDA，∴∠DCB＝∠BDF.又∵∠F＝∠F，∴△BDF∽△DCF，∴FD∶CF＝BF∶FD＝1∶2. (2)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ACB.∵∠ABC＝∠CBD，∴△BDC∽△BCA，∴BD∶CD＝BC∶AC＝∶2＝1∶2.在Rt△BAC中，由勾股定理可得AB＝5，∴＝＝，∴S△BDC＝××2×＝3.∵△BDF∽△DCF，∴＝＝，即＝.∵S△BDC＝3，∴S△FDC＝4. 3．证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝.又∵AB＝AD，∴＝. 4．证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCE，∴Rt△ACE∽Rt△CBE，∴＝，∴CE2＝AE·BE.又∵BG⊥AP，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DGP＝∠PEA＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠3，∴△AEP∽△DEB，∴＝，∴PE·DE＝AE·BE，∴CE2＝PE·DE. 第 3 页 共 3 页