专题复习：整式的运算.doc

优秀领先 飞翔梦想 成人成才 专题 整式的运算 ☞解读考点 知　识　点 名师点晴 整式的有关概念 单项式 知道单项式、单项式的系数、次数 多项式 知道多项式、多项式的项、多项式的次数、常数项. 同类项 能够分清哪些项是同类项. 整式的运算 1.幂的运算 能运用幂的运算法则进行同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方运算 2.整式的加、减、乘、除法运算法则 能按照运算法则进行整式的加、减、乘、除法运算以及整式的混合运算 3.乘法公式 能熟练运用乘法公式 ☞2年中考 【2015年题组】 1．（2015北海）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】 试题分析：A．与不是同类项，不能合并，故错误； B．，故错误； C．正确； D．，故错误； 故选C． 考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．合并同类项；3．去括号与添括号；4．同底数幂的除法． 2．（2015南宁）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 考点：1．整式的除法；2．同底数幂的乘法；3．幂的乘方与积的乘方；4．二次根式的乘除法． 3．（2015厦门）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】 试题分析：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母． A．系数是﹣2，错误； B．系数是3，错误； C．次数是4，错误； D．符合系数是2，次数是3，正确； 故选D． 考点：单项式． 4．（2015厦门）可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】 试题分析：A．==，故正确； B．=，故错误； C．=，故错误； D．=，故错误； 故选A． 考点：1．负整数指数幂；2．有理数的乘方；3．同底数幂的乘法；4．同底数幂的除法． 5．（2015镇江）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 考点：整式的加减． 6．（2015广元）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】 试题分析：A．，正确； B．，故错误； C．，股错误； D．，故错误． 故选A． 考点：1．平方差公式；2．合并同类项；3．同底数幂的除法；4．完全平方公式． 7．（2015十堰）当x=1时，的值为－2，则的值为的值为（　　） A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16 【答案】A． 【解析】 试题分析：∵当x=1时，的值为﹣2，∴，∴，∴=（﹣3﹣1）×（1+3）=﹣16．故选A． 考点：整式的混合运算—化简求值． 8．（2015黄冈）下列结论正确的是（ ） A． B．单项式的系数是 C．使式子有意义的x 的取值范围是 D．若分式的值等于0，则 【答案】B． 考点：1．合并同类项；2．单项式；3．分式的值为零的条件；4．二次根式有意义的条件． 9．（2015佛山）若，则=（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵==，∴m=1，n=﹣2．∴m+n=1﹣2=﹣1．故选C． 考点：多项式乘多项式． 10．（2015天水）定义运算：a⊗b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗（﹣2）=6，②a⊗b=b⊗a，③若a+b=0，则（a⊗a）+（b⊗b）=2ab，④若a⊗b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（　　） A．①④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A． 考点：1．整式的混合运算；2．有理数的混合运算；3．新定义． 11．（2015邵阳）已知，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵，，∴==9﹣2×2=5，故选C． 考点：完全平方公式． 12．（2015临沂）观察下列关于x的单项式，探究其规律： x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，… 按照上述规律，第2015个单项式是（　　） A．2015x2015 B．4029x2014 C．4029x2015 D．4031x2015 【答案】C． 【解析】 试题解析：系数的规律：第n个对应的系数是2n﹣1．指数的规律：第n个对应的指数是n．故第2015个单项式是4029x2015．故选C． 考点：1．单项式；2．规律型． 13．（2015日照）观察下列各式及其展开式： ； ； ； ； … 请你猜想的展开式第三项的系数是（　　） A．36 B．45 C．55 D．66 【答案】B． 考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题． 14．（2015连云港）已知，则= ． 【答案】1． 【解析】 试题分析：=mn﹣（m+n）+1，∵m+n=mn，∴（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=1，故答案为：1． 考点：整式的混合运算—化简求值． 15．（2015珠海）填空： =． 【答案】25；5． 【解析】 试题分析：∵10x=2×5x，∴=．故答案为：25；5． 考点：完全平方式． 16．（2015郴州）在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为 ． 【答案】． 考点：1．列表法与树状图法；2．完全平方式． 17．（2015大庆）若若，，则= ． 【答案】． 【解析】 试题分析：∵，，∴，∴，∴=，故答案为：． 考点：幂的乘方与积的乘方． 18．（2015牡丹江）一列单项式：，，，，…，按此规律排列，则第7个单项式为 ． 【答案】． 【解析】 试题分析：第7个单项式的系数为﹣（2×7﹣1）=﹣13，x的指数为8，所以，第7个单项式为．故答案为：． 考点：1．单项式；2．规律型． 19．（2015安顺）计算：= ． 【答案】9． 考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．同底数幂的乘法． 20．（2015铜仁）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）： 根据前面各式的规律，则= ． 【答案】． 【解析】 试题分析：=．故本题答案为：． 考点：1．完全平方公式；2．规律型：数字的变化类；3．综合题． 21．（2015南宁）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【解析】 试题分析：先利用乘法公式展开，再合并得到答案，然后把代入计算即可． 试题解析：原式==，当时，原式=2×=1． 考点：整式的混合运算—化简求值． 22．（2015无锡）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2）． 考点：1．整式的混合运算；2．实数的运算；3．零指数幂． 23．（2015内江）填空：= ； = ； = ． （2）猜想：= （其中n为正整数，且）． （3）利用（2）猜想的结论计算：． 【答案】（1） ，，；（2） ；（3）342． 【解析】 试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可； （2）根据（1）的规律可得结果； （3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果． 试题解析：（1）=； =； =； 故答案为：，，； （2）由（1）的规律可得：原式=，故答案为：； （3）令，∴ ==，∴S=342． 考点：1．平方差公式；2．规律型；3．阅读型；4．综合题． 24．（2015咸宁）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 考点：1．整式的混合运算；2．实数的运算；3．零指数幂． 25．（2015随州）先化简，再求值：，其中． 【答案】，5． 【解析】 试题分析：利用平方差公式、单项式乘以多项式法则、单项式除法运算，合并得到最简结果，把ab的值代入计算即可求出值． 试题解析：原式==，当时，原式=4+1=5． 考点：整式的混合运算—化简求值． 26．（2015北京市）已知． 求代数式的值． 【答案】7． 【解析】 试题分析：利用单项式乘以多项式法则、平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 试题解析：∵，即，∴原式===6+1=7． 考点：整式的混合运算—化简求值． 27．（2015茂名）设，若代数式化简的结果为，请你求出满足条件的a值． 【答案】a=﹣2或0． 【解析】 试题分析：因式分解得到原式=，再把当代入得到原式=，所以当满足条件，然后解关于a的方程即可． 试题解析：原式=，当时，代入原式得，即，解得：a=﹣2或0． 考点：1．整式的混合运算；2．平方根． 28．（2015河北省）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图： （1）求所捂的二次三项式； （2）若，求所捂二次三项式的值． 【答案】（1）；（2）6． 考点：整式的混合运算—化简求值． 【2014年题组】 1．（2014年百色中考） 下列式子正确的是（　　） A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B． （a﹣b）2=a2﹣b2 C．（a﹣b）2=a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2 【答案】A． 【解析】 试题分析：A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故A选项正确；B．（a﹣b）2≠a2﹣b2，故B选项错误；C．（a﹣b）2≠a2+2ab+b2，故C选项错误；D．（a﹣b）2≠a2﹣ab+b2，故D选项错误；故选A． 考点：完全平方公式． 2.（2014年镇江中考）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A． 考点：1.幂的乘方和积的乘方；2.合并同类项；3.同底幂乘除法． 3.（2014年常州中考）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C． 【解析】 试题分析：根据同底幂乘法，同底幂乘除法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断： A. ，选项错误； B. ，选项错误； C. ，选项正确； D. ，选项错误. 故选C． 考点：1.同底幂乘法；2.同底幂乘除法；3.幂的乘方和积的乘方． 4.（2014年抚顺中考）下列运算正确的是（　　） A．-2（a-1）=-2a-1B．（-2a）2=-2a2C．（2a+b）2=4a2+b2 D． 3x2-2x2=x2 【答案】D． 【解析】 试题分析：A、-2（a-1）=-2a+2，故A选项错误；B、（-2a）2=4a2，故B选项错误；C、（2a+b）2=4a2+4ab+b2，故C选项错误；D、3x2-2x2=x2，故D选项正确． 故选D． 考点：1.完全平方公式；2.合并同类项；3.去括号与添括号；4.幂的乘方与积的乘方． 5.（2014年眉山中考）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C． 考点：1.同底数幂的除法；2.合并同类项；3.同底数幂的乘法；4.幂的乘方与积的乘方． 6.（2014年资阳中考）下列运算正确的是（　　） A．a3+a4=a7 B． 2a3•a4=2a7 C． （2a4）3=8a7 D． a8÷a2=a4 【答案】B． 【解析】 试题分析：A、a3和a4不能合并，故A错误；B、2a3•a4=2a7，故B正确；C、（2a4）3=8a12，故C错误； D、a8÷a2=a6，故D错误； 故选B． 考点：整式的运算． 7.（2014年镇江中考）化简： ． 【答案】． 【解析】 试题分析：第一项利用平方差公式展开，去括号合并即可得到结果：． 考点：整式的混合运算． 8.（2014年吉林中考）先化简，再求值：x（x+3）﹣（x+1）2，其中x=+1． 【答案】x﹣1；． 【解析】 试题分析：先利用整式的乘法和完全平方公式计算，再进一步合并化简，最后代入数值即可． 试题解析：原式=x2+3x﹣x2﹣2x﹣1=x﹣1，当x=+1时，原式=+1﹣1=． 考点：1．整式的运算；2．化简求值． 9.（2014年绍兴中考）先化简，再求值：，其中． 【答案】a2+b2,． 考点：整式的混合运算—化简求值． 10.（2014年杭州中考）设，是否存在实数，使得代数式能化简为？若能，请求出所有满足条件的值，若不能，请说明理由． 【答案】能． 【解析】 试题分析：化简代数式，根据代数式恒等的条件列关于k的方程求解即可 试题解析：∵，∴ ． ∴要使代数式，只要． ∴，解得k=±或k=±． 考点：1. 代数式的化简；2. 代数式恒等的条件；3.解高次方程． ☞考点归纳 归纳 1：整式的有关概念 基础知识归纳： 整式：单项式与多项式统称整式． （1）单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式（单独一个数或字母也是单项式）.单项式中的 数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项,其中次数最高的项的 次数叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做常数项． 2. 同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项. 基本方法归纳：要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同． 注意问题归纳： 1、单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独一个非0数的次数是0； 2、多项式的次数是指次数最高的项的次数． 3、同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同． 【例1】下列式子中与3m2n是同类项的是（ ） A.3mn B.3nm2 C.4m D.5n 【答案】B． 考点：同类项． 归纳 2：幂的运算 基础知识归纳： （1）同底数幂相乘：am·an＝am＋n（m，n都是整数，a≠0） （2）幂的乘方：（am）n＝amn（m，n都是整数，a≠0） （3）积的乘方：（ab）n＝an·bn（n是整数，a≠0，b≠0） （4）同底数幂相除：am÷an＝am－n（m，n都是整数，a≠0） 注意问题归纳：（1）幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；（2）在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理． 【例2】下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C． 考点：幂的运算． 归纳 3：整式的运算 基础知识归纳： 1.整式的加减法:，实质上就是合并同类项 1.整式乘法 ①单项式乘多项式：m（a＋b）＝ma+mb； ②多项式乘多项式：（a＋b）（c＋d）＝ac+ad+bc+bd ③乘法公式：平方差公式:（a+b）（a-b）=a2-b2；完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2． 3.整式除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加． 注意问题归纳：注意整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算． 【例3】下列计算正确的是（ ） A．2x－x＝x　　　　　B．a3·a2＝a6 C．（a－b）2＝a2－b2 D．（a＋b）（a－b）＝a2＋b2 【答案】A． 【解析】A、原式=x，正确；B、原式=x5，错误；C、原式=a2-2ab+b2，错误；D、原式=a2-b2，故选A． 考点：整式的运算． 【例4】先化简，再求值：，其中、． 【答案】-1． 【解析】原式； 当、时，原式． 考点：整式的混合运算—化简求值． 【例5】计算 【答案】． 【解析】原式=（2x+1）（2x﹣1）÷[（2x﹣1）（2x+1）]=． 考点：整式的混合运算． ☞1年模拟 1、（2015届云南省剑川县九上第三次统一模拟考试数学试卷）下列运算正确的是（ ） A．＝ B． C． D． 【答案】C． 考点：整式的运算． 2．（2015届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷）下列运算正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】 试题分析：因为，所以A错误；因为，所以B正确；因为，所以C错误；因为，所以D错误； 故选B． 考点：1.幂的运算；2.整式的加减． 3．（2015届重庆市合川区清平中学等九年级模拟联考数学试卷）下列运算正确的是（ ） A．＝ B． C． D． 【答案】D． 考点：1．同底数幂的除法；2．幂的乘方与积的乘方；3．同底数幂的乘法． 4．（2015届云南省腾冲县九年级上学期五校联考摸底考试数学试卷）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】 试题分析：A．和不能合并，故错误；B．，故错误；C．，故正确；D．，故错误； 故选C． 考点：1．二次根式的混合运算；2．整式的混合运算． 5．（2015届山东省日照市中考一模）观察下列各式及其展开式： （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（ ） A．36 B．45 C．55 D．66 【答案】B． 考点：完全平方公式． 6．（2015届云南省腾冲县九年级上学期五校联考摸底考试数学试卷）若与能够进行加减运算，则=_________________； 【答案】－1或9． 【解析】 试题分析：∵与能够进行加减运算，∴，即：，解得：或，①当时，=－1，②当时，=9．故答案为：－1或9． 考点：1、同类项；2、解一元二次方程-因式分解法；3、分类讨论． 7．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）已知a2-2a-3=0，求代数式2a（a-1）-（a+2）（a-2）的值． 【答案】7． 考点：整式的混合运算—化简求值． 第 19 页 共 19 页