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第十一章 三角形 教材内容 本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和。 三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线；2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形；3、会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心；2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识；3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平页镶嵌设计是难点。 课时分配 11.1与三角形有关的线段 ……………………………………… 2课时 11.2 与三角形有关的角 ………………………………………… 2课时 11.3多边形及其内角和 ………………………………………… 2课时 本章小结 ………………………………………………………… 2课时 11.1.1三角形的边 [教学目标]1、了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形 ；2、理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. [重点难点] 三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程] 一、情景导入 三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。 a b c 那么什么叫做三角形呢？ 二、三角形及有关概念 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示. 三、三角形三边的不等关系 探究：[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？ 有两条路线：（1）从B→C，（2）从B→A→C；不一样， AB+AC＞BC ①；因为两点之间线段最短。 同样地有 AC+BC＞AB ② AB+BC＞AC ③ 由式子①②③我们可以知道什么？ 三角形的任意两边之和大于第三边. 四、三角形的分类 我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。 按角分类: 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。 三边都相等的三角形叫做等边三角形； 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。腰 腰 底边 顶角 底角 底角 显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。 按边分类: 三角形 不等边三角形 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 等边三角形 五、例题 例 用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？ 分析：（1）等腰三角形三边的长是多少？若设底边长为x㎝，则腰长是多少？（2）“边长为4㎝”是什么意思？ 解：（1）设底边长为x㎝，则腰长2 x㎝。 x+2x+2x=18 解得x=3.6 所以，三边长分别为3.6㎝，7.2㎝，7.2㎝. （2）如果长为4㎝的边为底边，设腰长为x㎝，则 4+2x=18 解得x=7 如果长为4㎝的边为腰，设底边长为x㎝，则 2×4+x=18 解得x=10 因为4+4＜10，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4㎝的等腰三角形。 由以上讨论可知，可以围成底边长是4㎝的等腰三角形。 五、课堂练习 课本第4页练习1、2题。课本第8页1、2、6题 六、课堂小结 1、三角形及有关概念； 2、三角形的分类； 3、三角形三边的不等关系及应用。 作业： 课本第8页习题11.1第7题。 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 〔教学目标〕1、经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线；毛 2、会画三角形的高、中线与角平分线；3、了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点. 〔重点难点〕三角形的高、中线与角平分线是重点；三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高是难点. 〔教学过程〕 一、导入新课 我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高。三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值得我们研究。 二、三角形的高 请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法。 从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。 注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。 请你再画出这个三角形AB 、AC边上的高，看看有什么发现？ 三角形的三条高相交于一点。 如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？ 现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。 A B C O D E F 显然，上页的结论成立。 请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。 上页的结论还成立。 三、三角形的中线 如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝1/2BC或2BD=2DC=BC. 请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？ 三角的三条中线相交于一点。 如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？请画图回答。 上页的结论还成立。 四、三角形的角平分线 如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。 思考：三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？ 三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。 请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？ 三角形三个角的平分线相交于一点。 如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？请画图回答。 上页的结论还成立。 想一想：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？ 三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。 五、课堂练习 课本第5页练习1、2题。 六、课堂小结 1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。 2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。 作业： 课本第8页习题11.1第4题，第9页第9题。 11.1.3三角形的稳定性 [教学目标] 1、知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。 [重点难点] 三角形稳定性及应用。 [教学过程] 一、情景导入 盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？ 二、三角形的稳定性 〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ （2） 不会改变。 2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 会改变。 3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 不会改变。 从上页的实验中，你能得出什么结论？ 三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。 三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用 三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。如： 钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。 你还能举出一些例子吗？ 四、课堂练习 1、下列图形中具有稳定性的是（ ） A正方形 B长方形 C直角三角形 D平行四边形 2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？ 3、课本第7页练习。 作业：课本第8页习题11.1第5题。 11.2.1三角形的内角 [教学目标]掌握三角形内角和定理。 [重点难点] 三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点。 [教学过程] 一、导入新课 我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？ 二、三角形内角和的证明 回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？ 把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出 ∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。[投影1] 图1 想一想，还可以怎样拼？ ①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。 图2 ②把和剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。 如果把上页移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？ 已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800。 证明一 过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM， 又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800 ∴∠A+∠B+∠ACB=1800。 即：三角形的内角和等于1800。 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。 三、例题 例 如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ 分析：怎样能求出∠ACB的度数？ 根据三角形内角和定理，只需求出AB和∠CBA的度数即可。 ∠CAB等于多少度？怎样求∠CBA的度数？ 解：∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300 ∵AD∥BE ∴∠BAD+∠ABE=1800 ∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000 ∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600 ∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900 答：从C岛看AB两岛的视角∠ACB=1800是。 在直角三角形ABC中，∠C＝ 900由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=1800， 所以∠A+∠B＝900 三角形内角和定理的推论：直角三角形的两个锐角互余。 四、课堂练习 课本13页1、2题。 作业： 课本16页习题11.2 第3、4。 第十一章复习一（11.1-11.2.1） 一、双基回顾 1、三角形：由 的三条直线 所组成的图形，叫做三角形。 〔1〕图中有 个三角形，用符号表示为 。A D C B E 2、三角形的分类 ：（1）按角分类： 三角形 （2）按边分类: 三角形 〔2〕 三角形中最大的角是700，那么这个三角形是 三角形。 3、三角形三角的关系：三角形三个内角的和是 。 4、三角形的三边关系：三角形的两边之和 第三边，两边之差 第三边。 〔3〕一个三角形的两边长分别是3和8，则第三边的范围是 . 5、三角形的高、中线、角平分线 从三角形的 向它的 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 注意：三角形的高与垂线不同；三角形的高可能在三角形内部，可能在三角形的边上，可能在三角形的外部。 在三角形中,连接 与它 的线段，叫做三角形的中线. 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 与 之间的线段,叫做三角形的角平分线。A B C D E 注意：三角形的角平分线与角的平分线不同. 〔4〕如图，以AE为高的三角形是 . 6、三角形的三条高所在的直线相交于一点。这点可能在三角形的 ，可能在三角形的 ，可能在三角形的 。 三角形的三条中线相交于一点。这点在三角形的 . 三角形的三条角平分线相交于一点。这点在三角形的 。 〔5〕 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是[ ] A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 7、三角形的稳定性： 具有稳定性， 具有不稳定性. 〔6〕有些窗户是可以向外推开的，当我们把窗户推开后，就顺手把风钩勾上，为什么这样做呢？我们的校门是铁栅栏，为什么既能拉开，又能推拢去呢？ 二、例题导引 例1 两根木棒长分别为3厘米和6厘米，要截取其中一根木棒将它钉成一个三角形，如果要求三边长为整数，那么截取的情况有几种？ 例2 如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6厘米，AC=8厘米，BCA B C D E ＝10厘米，∠CAB=900,试求（1）AD的长；（2） △ABE的页积；（3） △ACE与 △ABE的周长的差。 例3 如图，BE平分∠ABC,CD平分∠ACB， ∠A＝500，求∠BOC的度数。O A B C D E 1 2 三、练习升华 夯实基础 1、有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )  A.1、2、3 B.1、2、4 C.2、3、4 D.2、3、6 2、如图，工人师傅把新做好的门框上方钉两根木条后存放起来，这是防止 ，根据是 . E A B C D E A B C D 2题 3题 4题 3、图中共有 个三角形。 4、如图，AB⊥BD于B, DC⊥AC于C,AC与BD交于点E,那么△ADE的边DE上的高为 ，AE上的高为 . 5、下列说法正确的是〔 〕 A、直角三角形只有一条高 B、三角形的三条中线相交于一点 C、三角形的三条高相交于一点 D、三角形的角平分线是射线 6、如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )毛 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.钝角或直角三角形 7、现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取 〔 〕的木棒  A.10cm B.20cm C.50cm D.60cm 8、在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm, 求AD的长. 9、在△ABC中,高CE,角平分线BD交于点O, ∠ECB=50°,求∠BOC的度数. 能力提高 10、在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形. 11、任何一个三角形的三个角中至少有〔 〕 A、一个锐角 B、两个锐角 C、一个直角 D、一个钝角 12、已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为〔 〕  A.13 B.15 C. 14 D. 13或15 13、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_______. 14、在△ABC中,AD是BC上的中线,且S△ACD=12,S△ABC＝ . 15、在△ABC中,AB=AC, AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。 A B C D E 16、如图，△ABC中,AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠C＝600，∠B＝280，求∠DAE的度数。 探究创新 17、如图，线段、相交于点，能否确定与的大小，并加以说明．毛 11.2.2三角形的外角 [教学目标] 1、理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。 [重点难点] 三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点。 [教学过程] 一、导入新课 〔投影1〕如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？ 是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800。 若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？ 二、三角形外角的概念 ∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 想一想，三角形的外角共有几个？ 共有六个。 注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角. 三、三角形外角的性质 容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？ 〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？ ∵CE∥AB， ∴∠A=∠1，∠B=∠2 又∠ACD=∠1+∠2 ∴∠ACD=∠A+∠B 你能用文字语言叙述这个结论吗？ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 四、例题 〔投影3〕例 如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？ 分析：∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？ 解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800， ∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400 又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800 ∴∠1+∠2+∠3==3600。 你能用语言叙述本例的结论吗？ 三角形外角的和等于3600。 五、课堂练习 课本15页练习； 六、课堂小结 1、什么是三角形外角？ 2、三角形的外角有哪些性质？ 作业： 课本17页习题11.2第8、9题。 11.3．1 多边形 [教学目标] 1、了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念．2、区别凸多边形与凹多边形． [重点难点] 多边形及有关概念、正多边形的概念是重点；区别凸多边形与凹多边形是难点。 [教学过程] 一、情景导入 [投影1]看下页的图片，你能从中找出由一些线段围成的图形吗？ 二、多边形及有关概念 这些图形有什么特点？ 由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接． 这种在平页内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。 与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。[投影2] 连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？画图看看。 你能猜想n边形有多少条对角线吗？说说你的想法。 n边形有1/2n（n－3）条对角线。因为从n边形的一个顶点可以引n－3条对角线，n个顶点共引n（n－3）条对角线，又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的，所以，n边形有1/2n（n－3）条对角线。 三、凸多边形和凹多边形 [投影3]如图，下页的两个多边形有什么不同？ 在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。 注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形． 四、正多边形的概念 我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 [投影4]下页是正多边形的一些例子。 五、课堂练习 课本81页练习1。 2、有五个人在告别的时候相互各握了一次手，他们共握了多少次手？你能找到一个几何模型来说明吗？ 六、课堂小结 1、多边形及有关概念。 2、区别凸多边形和凹多边形。 3、正多边形的概念。 4、n边形对角线有条。 作业： 课本21页练习1，2。 11.3．2 多边形的内角和 [教学目标]1、了解多边形的内角、外角等概念；2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算． [重点难点]多边形的内角和与多边形的外角和公式是重点；多边形的内角和定理的推导是难点。 [教学过程] 一、复习导入 我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？ 二、多边形的内角和 〔投影1〕如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？ A B C D 可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°。 类似地，你能知道五边形、六边形…… n边形的内角和是多少度吗？ 〔投影2〕观察下页的图形，填空： 五边形 六边形 从五边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将五边形分成 三角形，五边形的内角和等于 ； 从六边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将六边形分成 三角形，六边形的内角和等于 ； 〔投影3〕从n边形一个顶点出发，可以引 对角线，它们将n边形分成 三角形，n边形的内角和等于 。 n边形的内角和等于（n一2）·180°． 从上页的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求。现在以五边形为例，你还有其它的分法吗？ 分法一 〔投影3〕如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形。 ∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°。 图1 图2 分法二 〔投影4〕如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形。 ∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180° 如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和＝（n一2）×180°． 三、例题 〔投影6〕例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系． 分析：∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系？ 解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×180°=360° 又∠A＋∠C＝180° ∴∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）=180° 这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补． 〔投影7〕例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？ 如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值． 分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？ 解：∵∠1+∠BAF=180° ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠BAD=180° ∠4+∠CDE=180° ∠5+∠DEF=180° ∠6+∠EFA=180° ∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BAD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180° 又∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180° ∴∠BAF+∠ABC+∠BAD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360° 这就是说，六边形形的外角和为360°。 如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果： n边形的外角和等于360°。 对此，我们也可以这样来理解。〔投影8〕如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°． 四、课堂练习 课本24页练习1、2、3题。 五、课堂小结 n边形的内角和是多少度？ n边形的外角和是多少度？ 作业： 25页习题11.3 第4、5、6、题。 第十一章复习二（11.2.2－11.3） 一、双基回顾 1、三角形的外角：三角形 与另 组成的角叫做三角形的外角.如图1，∠ 是△ABC的一个外角. x 1450 图1 图2 2、三角形外角的性质 (1)三角形的一个外角等于 两个内角和. 注意：三角形的外角和等于3600. 〔1〕如图2，∠＝450，则x= . (2)三角形的一个外角 与它不相邻的任何一个内角. 〔2〕如图，△ABC中，∠1与 ∠A有什么关系？为什么？ A B C 1 2 3、多边形和正多边形 在平页内，由 相接组成的图形叫做多边形。 注意：多边形分为凸多边形和凹多边形，我们现在只研究凸多边形. 各 相等，各 相等的多边形叫做正多边形。 4、对角线 连接多边形 线段叫做对角线。 〔3〕从九边形的一个顶点作对角线，能作 条，可把九边形分成 个三角形。 5、多边形的内角和、外角和 n边形的内角和是 ；n边形的外角和是 . 〔4〕一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 边形。 6、平页镶嵌 能单独镶嵌的图形有 。 〔5〕正五边形不能单独镶嵌的原因是什么？ 用多种正多边形镶嵌必须满足条件：几种多边形在 的内角的和为 . 〔6〕某公园便道用三种不同的正多边形地砖镶嵌，已选好了正十二边形和正方形两种，还需选用 . 二、例题导引 例1（1）已知正多边形的一个内角是 150°，求这个多边形对角线的条数？ （2）n边形的边数每增加1条，其内角和增加多少度？ 例2 如图，一个任意五角星的五个角的和是多少？ 例 3 一个零件形状如图所示，按规定∠BAC=900, ∠B=210, ∠C=200,检验工人量得∠BDC=1300，就断定此零件不合格，请运用所学知识说明理由。（运用三种方法） A B C D 三、练习提高 夯实基础 1、若三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )毛 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 2、如图,∠CAB的外角为120°,∠B为40°,则∠C 的度数是___ . 3、如图1，AB∥CD，∠A= 38°∠C= 80°，则∠M为（ ） A、52° B、42° C、10° D、40° 2题 3题 4、如图，在△ABC中，E是AC延长线上的一点，D是BC上的一点，∠1 与∠A的大小关系是 . 5、若从一个多边形的一个顶点最多可以引10条对角线,则它是( ) A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形 6、下列可能是n边形内角和的是 （ ） A、300° B、550° C、720° D、960° 7、一个多边形的每一个外角都等于24°,则这个多边形是 边形. 8、一个多边形的内角和与外角和的比是7∶2，则这个多边形是 边形. 9、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是( ) A、三角形 B、矩形 C、正八边形 D、正六边形 10、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线，∠2=350,∠4=65°, 求∠ADB的度数. 能力提高 11、用边长相等的正多边形进行密铺，下列正多边形能和正八边形密铺的是〔 〕 A、正三角形 B、正六边形 C、正五边形 D、正四边形 12、如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是____度. 13、如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( ) A.120° B.115° C.110° D.105° 13题 15题 14、一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 15、.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________. 16、一个多边形的每一个内角都比相邻的外角的3倍还多20°，求这个多边形对角线的条数。 17、如图所示,△ABC两外角的平分线BP、CP交于点P,已知∠A=500，求∠P的度数. 探究创新 18、如图，求∠1+∠2+∠3 +∠4+∠5+∠6+∠7的度数。 本章小结 一、知识结构 三角形 与三角形有关的线段 三角形的内角和 三角形的外角和 高 中线 角平分线 多边形的内角和 多边形的外角和 二、回顾与思考 1、什么是三角形？什么是多边形？什么是正多边形？ 三角形是不是多边形？ 2、什么是三角形的高、中线、角平分线？什么是对角线？ 三角形有对角线吗？n边形的的对角线有多少条？ 3、三角形的三条高，三条中线，三条角平分线各有什么特点？ 4、三角形的内角和是多少？n边形的内角和是多少？ 你能用三角形的内角和说明n边形的内角和吗？ 5、三角形的外角和是多少？n边形的外角和是多少？ 你能说明为什么多边形的外角和与边数无关吗？ 三、例题导引 例1 如图，在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于点H，求∠BHC的度数。 A B C D E H 例2 如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时， 探索∠A与∠1＋∠2有什么数量关系？并说明理由。 1 2 例3 如图所示,在△ABC中,△ABC的内角平分线与外角平分线交于点P,试说明∠P＝1/2∠A. 四、巩固练习 课本29页复习题11（第3题可不做）.