2017年安徽省阜阳市太和县中考数学一模试卷.doc

2017年安徽省阜阳市太和县中考数学一模试卷 　 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利50元记作+50元，那么亏本30元记作：（　　） A．﹣30元 B．﹣50元 C．+50元 D．+30元 2．（4分）下列运算正确的是：（　　） A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．a10÷a2=a5 C．（2a2b3）3=8a6b9 D．2a2•3a3=6a6 3．（4分）安徽省，政府工作报告》指出，2017年全年将实施亿元以上技改项目1000项，完成投资6600亿元，把6600亿用科学记数法可表示为（　　） A．6.6×103 B．66×1010 C．6.600×1011 D．0.66×1012 4．（4分）三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）下列二次根式中，与之积为有理数的是（　　） A． B． C． D．﹣ 6．（4分）若|x+y﹣5|与（x﹣y﹣1）2互为相反数，则x2﹣y2的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．13 D．15 7．（4分）如表是某毕业班理化实验测试的分数分布，对于不同的x，下列关于分数的统计量不会发生改变的是（　　） 分数/分 7 8 9 10 频数 2 9﹣x x+14 24 A．众数、方差 B．中位数、方差 C．众数、中位数 D．平均数、中位数 8．（4分）AD是△ABC的高，AC=2，AD=4，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置，如果△ABE是等腰三角形，那么线段BE的长度为（　　） A．2 B．2或5 C．2 D．5 9．（4分）甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车匀速驶向B地，甲车出发30分钟后，乙车才出发，乙先匀速行驶一段时间后，到达货站装货后继续行驶，速度减少了56千米/时，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y（千米）与乙车行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示，下列说法中正确的是（　　） A．甲车从A地到B地行驶了6小时 B．甲的速度是120千米/时 C．乙出发90分钟追上甲 D．当两车在行驶过程中，相距40千米时，x=2或3.5 10．（4分）如图，在矩形ABCD中，P是BC上一点，E是AB上一点，PD平分∠APC，PE⊥PD，连接DE交AP于F，在以下判断中，不正确的是（　　） A．当P为BC中点，△APD是等边三角形 B．当△ADE∽△BPE时，P为BC中点 C．当AE=2BE时，AP⊥DE D．当△APD是等边三角形时，BE+CD=DE 　 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（5分）计算：4cos60°﹣+（3﹣π）0=　 　． 12．（5分）随着各地对房地产市场调控的深入，近来某市房价持续回落，某楼盘原价为每平方米12000元，第一次降价后，销售业绩没有预期回升，于是再次降价，比第一次多降了10%，两次降价后售价为每平方米8640元，设第一次降价百分率为x，则可列方程为：　 　． 13．（5分）分式方程﹣1=的解是x=　 　． 14．（5分）如图，D为△ABC中边BC中点，E为CD上一点，将△ACE沿AE折叠时C与D重合，F为AB上一点，FB=FC，FC与AD、AE分别交于P、Q点，下列结论 ①AE∥DF；②△APQ≌△DPF； ③AF=DF；④． 其中正确的有　 　． 　 三、解答题 15．（8分）求不等式组的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来． 16．（8分）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表： 加数的个数n S 1 2=1×2 2 2+4=6=2×3 3 2+4+6=15=3×4 4 2+4+6+8=20=4×5 5 2+4+6+8+10=30=5×6 （1）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式为：S=2+4+6+8+…+2n=　 　； （2）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律： ①第n行的第一个数可用含n的式子表示为：　 　； ②如果某行的第一个数为157，求其所在的行数． 　 四、解答题 17．（8分）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的△A2B2C2； （3）判断△A1B1C1和△A2B2C2是不是成轴对称？如果是，请在图中作出它们的对称轴． 18．（8分）如图，四边形ABCD是某新建厂区示意图，∠A=75°，∠B=45°，BC⊥CD，AB=500米，AD=200米，现在要在厂区四周建围墙，求围墙的长度有多少米？ 19．（10分）某校组织学生参观航天展览，甲、乙、丙、丁四位同学随机分成两组乘车． （1）哪两位同学会被分到第一组，写出所有可能； （2）用列表法（或树状图法）求甲、乙分在同一组的概率． 20．（10分）如图，A、B、C为⊙O上的点，PC过O点，交⊙O于D点，PD=OD，若OB⊥AC于E点． （1）判断A是否是PB的中点，并说明理由； （2）若⊙O半径为8，试求BC的长． 21．（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，m）在边AB上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且cos∠BOA=． （1）求边AB的长； （2）求反比例函数的解析式和m的值； （3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，点G、H分别是y轴、x轴上的点，当△OGH≌△FGH时，求线段OG的长． 22．（12分）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息： ①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间（第x天） 1 3 6 10 … 日销售量（m件） 198 194 188 180 … ②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表： 时间（第x天） 1≤x＜50 50≤x≤90 销售价格（元/件） x+60 100 （1）求m关于x的一次函数表达式； （2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】 （3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果． 23．（14分）已知△ABC中，D为AB边上任意一点，DF∥AC交BC于F，AE∥BC，∠CDE=∠ABC=∠ACB=α． （1）如图1，当α=60°时，求证：△DCE是等边三角形； （2）如图2，当α=45°时，求证：①=；②CE⊥DE． （3）如图3，当α为任意锐角时，请直接写出线段CE与DE的数量关系是：=　 　． 　 2017年安徽省阜阳市太和县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）（2017•太和县一模）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利50元记作+50元，那么亏本30元记作：（　　） A．﹣30元 B．﹣50元 C．+50元 D．+30元 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案． 【解答】解：如果盈利50元记作+50元，那么亏本30元记作﹣30元， 故选A． 【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键． 　 2．（4分）（2017•太和县一模）下列运算正确的是：（　　） A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．a10÷a2=a5 C．（2a2b3）3=8a6b9 D．2a2•3a3=6a6 【分析】A、利用完全平方公式进行计算； B、根据同底数幂的除法法则进行计算； C、根据积的乘方，等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算； D、利用单项式乘以单项式的法则进行计算． 【解答】解：A、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，所以此选项不正确； B、a10÷a2=a8，所以此选项不正确； C、（2a2b3）3=8a6b9，所以此选项正确； D、2a2•3a3=6a5，所以此选项不正确； 故选C． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 　 3．（4分）（2017•太和县一模）安徽省，政府工作报告》指出，2017年全年将实施亿元以上技改项目1000项，完成投资6600亿元，把6600亿用科学记数法可表示为（　　） A．6.6×103 B．66×1010 C．6.600×1011 D．0.66×1012 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：数据6600亿用科学记数法可表示：6.600×1011， 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 　 4．（4分）（2017•太和县一模）三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上边看是五个矩形，右边的矩形的边是虚线， 故选：D． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图． 　 5．（4分）（2017•太和县一模）下列二次根式中，与之积为有理数的是（　　） A． B． C． D．﹣ 【分析】将各式与相乘，判断即可． 【解答】解：A、=3，3×=6，符合题意； B、原式=，×=，不符合题意； C、原式=2，2×=2，不符合题意； D、原式=﹣3，﹣3×=﹣3，不符合题意， 故选A 【点评】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． 　 6．（4分）（2017•太和县一模）若|x+y﹣5|与（x﹣y﹣1）2互为相反数，则x2﹣y2的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．13 D．15 【分析】根据相反数性质列出关系式，再利用非负数的性质求出x与y的值，即可确定出原式的值． 【解答】解：由题意得：|x+y﹣5|+（x﹣y﹣1）2=0， ∴， 则原式=（x+y）（x﹣y）=5， 故选B 【点评】此题考查了解二元一次方程组，相反数，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 7．（4分）（2017•太和县一模）如表是某毕业班理化实验测试的分数分布，对于不同的x，下列关于分数的统计量不会发生改变的是（　　） 分数/分 7 8 9 10 频数 2 9﹣x x+14 24 A．众数、方差 B．中位数、方差 C．众数、中位数 D．平均数、中位数 【分析】由频数分布表可知8分、9分两组的频数和为23，即可得知总人数，结合7分、10分两组的频数知出现次数最多的数据及数据的中位数，可得答案． 【解答】解：分数为8分和9分的人数之和为9﹣x+x+14=23， 则抽取的总人数为2+23+24=49人， 由统计表可知10分的人数最多，有24人，故众数为10； 其中位数为第25个数据，即中位数为9分， ∴对于不同的x，众数和中位数不会发生改变， 故选：C． 【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 　 8．（4分）（2017•太和县一模）AD是△ABC的高，AC=2，AD=4，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置，如果△ABE是等腰三角形，那么线段BE的长度为（　　） A．2 B．2或5 C．2 D．5 【分析】分两种情形：①当高AD在△ABC内时．②当高AD在△ACB′外时．分别求解即可． 【解答】解：如图①当高AD在△ABC内时，由题意EA=EB=AC=2． ②当高AD在△ACB′外时，设AB′=B′E=x． 在Rt△ADC中，CD===2， 由题意DE=DC=2， 在Rt△AED中，∵AB′2=AD2+DB′2， ∴x2=42+（x﹣2）2， ∴x=5． ∴线段BE的长度为2或5， 故选B． 【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，出现高的问题，注意高在三角形内和三角形外两种情形，属于中考常考题型． 　 9．（4分）（2017•太和县一模）甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车匀速驶向B地，甲车出发30分钟后，乙车才出发，乙先匀速行驶一段时间后，到达货站装货后继续行驶，速度减少了56千米/时，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y（千米）与乙车行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示，下列说法中正确的是（　　） A．甲车从A地到B地行驶了6小时 B．甲的速度是120千米/时 C．乙出发90分钟追上甲 D．当两车在行驶过程中，相距40千米时，x=2或3.5 【分析】利用图中信息，先求出两人的速度，再寻找等量关系，列出方程，一一判断即可． 【解答】解：A、错误．甲车从A地到B地行驶了6.5小时． B、错误．甲的速度为=80千米/时． C、错误．设乙开始的速度为x千米/时，由题意3x+2.5（x﹣56）=520，解得x=120， 设乙出发t小时追上甲，则（120﹣80）t=0.5×80，t=1， 所以乙出发t小时追上甲． D、正确．由题意甲的函数解析式为y=80x+40， 乙开始的函数解析式为y=120x，装货后的解析式为y=64x+136， 由题意120x﹣（80x+40）=40或64x+136﹣（80x+40）=40， 解得x=2或3.5． 故选D． 【点评】本题考查一次函数的应用、行程问题的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会寻找等量关系列出方程解决问题，属于中考常考题型． 　 10．（4分）（2017•太和县一模）如图，在矩形ABCD中，P是BC上一点，E是AB上一点，PD平分∠APC，PE⊥PD，连接DE交AP于F，在以下判断中，不正确的是（　　） A．当P为BC中点，△APD是等边三角形 B．当△ADE∽△BPE时，P为BC中点 C．当AE=2BE时，AP⊥DE D．当△APD是等边三角形时，BE+CD=DE 【分析】A、先判断出△APB≌△DPC，进而可以得出∠APD=60°，即可得出结论； B、虽然题目中有相似三角形和直角三角形，但没有告诉线段与线段之间的倍数关系和没出现含30°的直角三角形，所以没办法得出点P是BC的中点； C、先求出∠BAP，进而得出∠ADE=∠PDE，即可判断出△ADE≌△PDE，最后用三角形三线合一的性质即可得出结论； D、先求出∠BPE=∠APE=∠PAB=30°，再用含30°的直角三角形的性质和勾股定理即可得出结论． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠A=∠B， ∵点P是BC的中点， ∴PB=PC， 在△APB和△DPC中，， ∴△APB≌△DPC， ∴PA=PD，∠APB=∠DPC， ∵PD平分∠APC， ∴∠APD=∠CPD， ∴∠APB=∠APD=∠CPD， ∵∠APB+∠APD+∠CPD=180°， ∴∠APD=60°， ∵PA=PD， ∴△APD是等边三角形； ∴A正确，故A不符合题意； C、∵PD⊥PE， ∴∠BPE+∠DPC=90°，∠APE+∠APD=90°， ∵∠APD=∠CPD， ∴∠APE=∠BPE， ∴， ∵AE=2BE， ∴， 在Rt△ABP中，sin∠BAP=， ∴∠BAP=30°， ∴∠APB=60°， ∴∠BPE=∠APE=30°=∠BAP， ∴AE=PE， ∵EA⊥AD，EP⊥PD， ∴∠ADE=∠PDE， 在△ADE和△PDE中，， ∴△ADE≌△PDE， ∴∠AED=∠PED， ∵AE=PE， ∴DE⊥AP， ∴C正确，故C不符合题意； D、∵△APD是等边三角形， ∴AP=DP，∠APD=60°， ∴∠CPD=60°， ∴∠APB=60°， ∴∠BPE=∠APE=∠PAB=30° ∴AE=PE 设BE=a， 在Rt△PBE中，BP=BE=a，PE=2a， ∴AE=2a， ∴CD=AB=BE+AE=3a， 易证△APB≌△DPC， ∴PB=PC， ∴AD=BC=2BP=2a， 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得，DE==4a， ∵BE+CD=a+3a=4a=DE， ∴D正确，故D不符合题意； ∴符合题意的只有B． 故选B． 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键：A、判断出△APB≌△DPC，C、求出∠BAP，D、求出∠BPE=∠APE=∠PAB=30°，是一道综合性比较强的题目． 　 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（5分）（2017•太和县一模）计算：4cos60°﹣+（3﹣π）0=　1　． 【分析】原式利用特殊角的三角函数值，立方根定义，以及零指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=4×﹣2+1=2﹣2+1=1， 故答案为：1 【点评】此题考查了实数的运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 12．（5分）（2017•太和县一模）随着各地对房地产市场调控的深入，近来某市房价持续回落，某楼盘原价为每平方米12000元，第一次降价后，销售业绩没有预期回升，于是再次降价，比第一次多降了10%，两次降价后售价为每平方米8640元，设第一次降价百分率为x，则可列方程为：　12000（1﹣x）（1﹣x﹣10%）=8640　． 【分析】设第一次降价百分率为x，得出第一次降价后的价格是12000（1﹣x）元，再根据第二次比第一次多降了10%，两次降价后售价为每平方米8640元，列出方程即可． 【解答】解：设第一次降价百分率为x，根据题意得： 12000（1﹣x）（1﹣x﹣10%）=8640； 故答案为：12000（1﹣x）（1﹣x﹣10%）=8640． 【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程． 　 13．（5分）（2017•太和县一模）分式方程﹣1=的解是x=　﹣5　． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：6﹣x2+9=﹣x2﹣3x， 解得：x=﹣5， 经检验x=﹣5是分式方程的解． 故答案为：﹣5 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 　 14．（5分）（2017•太和县一模）如图，D为△ABC中边BC中点，E为CD上一点，将△ACE沿AE折叠时C与D重合，F为AB上一点，FB=FC，FC与AD、AE分别交于P、Q点，下列结论 ①AE∥DF；②△APQ≌△DPF； ③AF=DF；④． 其中正确的有　①②④　． 【分析】①正确．由DF⊥BC，AE⊥BC，即可推出DF∥AE． ②正确．只要证明DF=AQ即可解决问题． ③错误．如图2中，当∠AFQ设钝角是，AQ＞AF，即DF＞AF，故③错误． ④正确．由△AFP∽△CFA，可得AF2=FP•FC，时PF=PQ=a，则FQ=QC=2a，推出AF2=4a2，推出AF=2a，PC=3a，由此即可判断． 【解答】解：∵FB=FC，D为△ABC中边BC中点， ∴DF⊥BC， ∵将△ACE沿AE折叠时C与D重合， ∴AE⊥BC， ∴AE∥DF；故①正确； ∵BD=CD，DE=CE， ∴DE=CE=BD， ∵DF∥AE， ∴==，=， ∴AE=DF，QE=DF， ∴=3，∴QE=AQ， ∴DF=AQ， 在△APQ与△DPF中， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，， ∴△APQ≌△DPF，故②正确； 如图2中，当∠AFQ设钝角是，AQ＞AF，即DF＞AF，故③错误． 连接DQ，易证四边形AFDQ是平行四边形， ∴AF∥DQ， ∴∠FAP=∠ADQ， ∵∠ADC=∠ACD，∠QDC=∠QCE， ∴∠ADQ=∠ACF=∠FAP， ∵∠AFP=∠CFA， ∴△AFP∽△CFA，可得AF2=FP•FC，时PF=PQ=a，则FQ=QC=2a， ∴AF2=4a2， ∴AF=2a，PC=3a， ∴，故④正确， 故答案为①②④． 【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、平行四边形的判定和性质．相似三角形的判定和性质等知识，本题的突破点设证明DF=AQ，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 　 三、解答题 15．（8分）（2017•太和县一模）求不等式组的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解：解①得x＜4， 解②得x≥﹣2． 则不等式组的解集是：﹣2≤x＜4． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 　 16．（8分）（2017•太和县一模）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表： 加数的个数n S 1 2=1×2 2 2+4=6=2×3 3 2+4+6=15=3×4 4 2+4+6+8=20=4×5 5 2+4+6+8+10=30=5×6 （1）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式为：S=2+4+6+8+…+2n=　n（n+1）　； （2）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律： ①第n行的第一个数可用含n的式子表示为：　n2﹣n+1　； ②如果某行的第一个数为157，求其所在的行数． 【分析】（1）根据和等于加数的个数乘以首尾两个加数和的一半列式计算即可得解； （2）①根据第n行的第n个数字的变换规律进行判断即可； ②依据①中的规律，列出方程式进行求解即可． 【解答】解：（1）2+4+6+8+…+2n=n•=n（n+1）． 故答案为：n（n+1）． （2）①∵第一行的第一个数字1=12﹣0， 第二行的第一个数字3=22﹣1， 第三行的第一个数字7=32﹣2， 第四行的第一个数字13=42﹣3， 以此类推，第n行的第一个数字为n2﹣（n﹣1）=n2﹣n+1， 故答案为：n2﹣n+1； ②当n2﹣n+1=157时，解得n=13或﹣12（舍去）， ∴其所在的行数为13． 【点评】本题是对数字变化规律以及解一元二次方程的考查，观察出相乘的两个因数与偶数的关系是解题的关键．探寻数列规律时：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 　 四、解答题 17．（8分）（2017•太和县一模）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的△A2B2C2； （3）判断△A1B1C1和△A2B2C2是不是成轴对称？如果是，请在图中作出它们的对称轴． 【分析】（1）根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可得出三顶点的对应点，顺次连接得到答案． （2）先画出三角形各顶点绕着点O逆时针旋转90°后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到旋转后的三角形； （3）根据轴对称的定义可得对称轴． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作三角形； （2）如图，△A2B2C2即为所求作三角形； （3）如图，直线l即为△A1B1C1和△A2B2C2的对称轴． 【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换和旋转变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点的位置． 　 18．（8分）（2017•太和县一模）如图，四边形ABCD是某新建厂区示意图，∠A=75°，∠B=45°，BC⊥CD，AB=500米，AD=200米，现在要在厂区四周建围墙，求围墙的长度有多少米？ 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，根据∠B=45°可得出△ABE是等腰直角三角形，故可得出AE=BE，∠BAE=∠B=45°．再由∠A=75°可得出∠DAF的度数，进而可得出AF及DF的长，根据BC⊥CD可得出四边形CDFE是矩形，故可得出CD=EF，CE=DF，据此可得出结论． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F， ∵∠B=45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=BE，∠BAE=∠B=45°． ∵AB=500米， ∴AE=BE=500×=500米． ∵∠A=75°， ∴∠DAF=75°﹣45°=30°． ∵AD=200米， ∴DF=AD=100米，AF=200×=100米． ∵BC⊥CD， ∴四边形CDFE是矩形， ∴CD=EF=AE﹣AF=（500﹣100）米，CE=DF=100米， ∴AB+BC+AD+CD=500+（500+100）+200+（500﹣100）=（1300+500﹣100）米． 答：围墙的长度是（1300+500﹣100）米． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 　 19．（10分）（2017•太和县一模）某校组织学生参观航天展览，甲、乙、丙、丁四位同学随机分成两组乘车． （1）哪两位同学会被分到第一组，写出所有可能； （2）用列表法（或树状图法）求甲、乙分在同一组的概率． 【分析】（1）根据题意写出可能出现的结果即可； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与甲、乙分在同一组的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）所有可能的结果是：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁； （2）根据题意画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，甲、乙分在同一组的有2种情况， ∴甲、乙分在同一组的概率为． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 　 20．（10分）（2017•太和县一模）如图，A、B、C为⊙O上的点，PC过O点，交⊙O于D点，PD=OD，若OB⊥AC于E点． （1）判断A是否是PB的中点，并说明理由； （2）若⊙O半径为8，试求BC的长． 【分析】（1）连接AD，由CD是⊙O的直径，得到AD⊥AC，推出AD∥OB，根据平行线等分线段定理得到PA=AB； （2）根据相似三角形的性质得到OB=8，求得AD=4，根据勾股定理得到AC==4，根据垂径定理得到AE=CE=2，由勾股定理即可得到结论 【解答】解：（1）A是PB的中点， 理由：连接AD， ∵CD是⊙O的直径， ∴AD⊥AC， ∵OB⊥AC， ∴AD∥OB， ∵PD=OD， ∴PA=AB， ∴A是PB的中点； （2）∵AD∥OB， ∴△APD∽△BPO， ∴， ∵⊙O半径为8， ∴OB=8， ∴AD=4， ∴AC==4， ∵OB⊥AC， ∴AE=CE=2， ∵OE=AD=2， ∴BE=6， ∴BC==4． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 　 21．（12分）（2017•太和县一模）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，m）在边AB上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且cos∠BOA=． （1）求边AB的长； （2）求反比例函数的解析式和m的值； （3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，点G、H分别是y轴、x轴上的点，当△OGH≌△FGH时，求线段OG的长． 【分析】（1）由矩形的性质可求得OA，由三角函数定义可求得OB，则可求得AB的长； （2）由条件可求得D点坐标，代入反比例函数解析式，可求得其解析式，把E点坐标代入解析式可求得m的值； （3）由反比例函数解析式可求得F点坐标，则可求得CF的长，设OG=x，利用三角形全等的性质可表示出CG和FG，在Rt△CGF中利用勾股定理可得到方程，可求得OG的长． 【解答】解： （1）∵点E（4，m）在边AB上， ∴OA=4， 在Rt△AOB中， ∵cos∠BOA=， ∴OB=5， ∴AB==3； （2）由（1），可得点B的坐标为（4，3）， ∵点D为OB的中点， ∴点D（2，1.5）． ∵点D在反比例函数（k≠0）的图象上， ∴k=3， ∴反比例函数解析式为， 又∵点E（4，n）在反比例函数图象上， ∴； （3）设点F（a，3）， ∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F， ∴a=1， ∴CF=1， 设OG=x， ∵△OGH≌△FGH， ∴OG=FG=x，CG=3﹣x， 在Rt△CGF中， 由勾股定理可得GF2=CF2+CG2， 即x2=（3﹣x）2+12， 解得x=， ∴OG=． 【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、三角函数的定义、矩形的性质、全等三角形的性质及方程思想．在（1）中利用三角函数的定义求得OB的长是解题的关键，在（2）中利用矩形的性质求得D点坐标是解题的关键，在（3）中用OG的长分别表示出CG和FG是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 　 22．（12分）（2015•茂名）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息： ①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间（第x天） 1 3 6 10 … 日销售量（m件） 198 194 188 180 … ②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表： 时间（第x天） 1≤x＜50 50≤x≤90 销售价格（元/件） x+60 100 （1）求m关于x的一次函数表达式； （2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】 （3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果． 【分析】（1）根据待定系数法解出一次函数解析式即可； （2）设利润为y元，则当1≤x＜50时，y=﹣2x2+160x+4000；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论； （3）直接写出在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元． 【解答】解：（1）∵m与x成一次函数， ∴设m=kx+b，将x=1，m=198，x=3，m=194代入，得： ， 解得：． 所以m关于x的一次函数表达式为m=﹣2x+200； （2）设销售该产品每天利润为y元，y关于x的函数表达式为：， 当1≤x＜50时，y=﹣2x2+160x+4000=﹣2（x﹣40）2+7200， ∵﹣2＜0， ∴当x=40时，y有最大值，最大值是7200； 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000， ∵﹣120＜0， ∴y随x增大而减小，即当x=50时，y的值最大，最大值是6000； 综上所述，当x=40时，y的值最大，最大值是7200，即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元； （3）在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元． 【点评】本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题． 　 23．（14分）（2017•太和县一模）已知△ABC中，D为AB边上任意一点，DF∥AC交BC于F，AE∥BC，∠CDE=∠ABC=∠ACB=α． （1）如图1，当α=60°时，求证：△DCE是等边三角形； （2）如图2，当α=45°时，求证：①=；②CE⊥DE． （3）如图3，当α为任意锐角时，请直接写出线段CE与DE的数量关系是：=　1　． 【分析】（1）想办法证明△CFD≌△DAE即可解决问题． （2）①如图2中，作FG⊥AC于G．只要证明△CFD∽△DAE，推出=，再证明CF=AD即可． ②作CE′⊥DE于E′，只要证明点E与点E′重合，即可推出CE⊥DE． （3）想办法证明EC=ED即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵∠ABC=∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC=BA， ∵DF∥AC， ∴∠BFD=∠BCA=60°，∠BDF=∠BAC=60°， ∴△BDF是等边三角形， ∴BF=BD， ∴CF=AD，∠CFD=120°， ∵AE∥BC， ∴∠B+∠DAE=180°， ∴∠DAE=∠CFD=120°， ∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE， ∵∠CDE=∠B=60°， ∴∠FCD=∠ADE， ∴△CFD≌△DAE， ∴DC=DE，∵∠CDE=60°， ∴△CDE是等边三角形． （2）证明：①如图2中，作FG⊥AC于G． ∵∠B=∠ACB=45°， ∴∠BAC=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵DF∥AC， ∴∠BDF=∠BAC=90°， ∴∠BFD=45°，∠DFC=135°， ∵AE∥BC， ∴∠BAE+∠B=180°， ∴∠DFC=∠DAE=135°， ∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE， ∵∠CDE=∠B=45°， ∴∠FCD=∠ADE， ∴△CFD∽△DAE， ∴=， ∵四边形ADFG是矩形，FC=FG， ∴FG=AD，CF=AD， ∴=， ②作CE′⊥DE于E′ ∵∠CDE=45°， ∴DE′=CD•cos45°=CD， ∵DE=CD， ∴点E与点E′重合， ∴CE⊥DE． （3）解：如图3中，设AC与DE交于点O． ∵AE∥BC， ∴∠EAO=∠ACB， ∵∠CDE=∠ACB， ∴∠CDO=∠OAE，∵∠COD=∠EOA， ∴△COD∽△EOA， ∴=， ∴=，∵∠COE=∠DOA， ∴△COE∽△DOA， ∴∠CEO=∠DAO． ∵∠CED+∠C