第2课时　应用一元二次方程求解增长率与市场营销问题.DOCX

第2课时　应用一元二次方程求解增长率与市场营销问题 教师备课　素材示例 ●情景导入　我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如2023年我国GDP目标为增长5%左右，职工医保比去年增长2.3%，城乡居民医保同比下降2.5%……由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率与销售利润等问题． 【教学与建议】教学：举出以实际问题为背景的题目，体现了数学在现实生活中的应用价值．建议：创设情境，体现了数学应用于实际的思想． ●置疑导入　王美丽卖玫瑰花，如果每束玫瑰花盈利8元，平均每天可售出50束．经调查发现，若每束降价1元，则平均每天可多售出10束．王美丽的丈夫李贪心认为卖得越多，挣的钱就越多，因此决定让王美丽大幅度降价，王美丽不愿意，王美丽认为应该提升价格，因为提升的越多，盈利的就越多．同学们，他们谁的说法靠谱呢？如果你是卖玫瑰花的老板，你会应用什么方法计算每天的销售利润呢？ 【教学与建议】教学：通过上面两个问题的呈现，引导学生思考对降价促销的理解．为例题2的引入做好铺垫．建议：这两个问题都可采用提问学生回答的方式进行． 命题角度1　列一元二次方程解决增长率问题 利用增长率问题常见的等量关系式解决问题．如①现在产量＝原产量×(1＋增长率)；②现在产量＝原产量×(1±x)n，其中x表示百分率，“＋”表示增长，“－”表示下降，n表示时间段数． 【例1】(1)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为(D) A．48(1－x)2＝36 B．48(1＋x)2＝36 C．36(1－x)2＝48 D．36(1＋x)2＝48 (2)某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为__20%__． 命题角度2　列一元二次方程解决商品营销问题 销售问题中常见的等量关系：①利润＝售价－进价(成本)；②总利润＝每件商品的利润×总件数；③利润率＝×100%. 【例2】(1)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是(A) A．(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(3＋x)(4＋0.5x)＝15 C．(4＋x)(3－0.5x)＝15 D．(1＋x)(4－0.5x)＝15 (2)某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天要盈利1 080元，求每件降价多少元．设每件降价x元，则一件利润为__(20－x)__元，销量为__(40＋10x)__件，可列方程为__(20－x)(40＋10x)＝1__080__． 命题角度3　列一元二次方程解决循环问题 单循环问题(比赛、握手等)总次数＝n(n－1)，双循环问题(互送东西、发信息)总次数＝n(n－1). 【例3】(1)某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有飞机场(D) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 (2)一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡12张，设这个小组共有x人，则可列方程为__x(x－1)＝12__． 高效课堂　教学设计 1．理解一元二次方程在销售、利润、增长率等问题中的实际应用． 2．在列方程解决实际问题的过程中，认识构建方程模型的重要性． ▲重点 能够利用一元二次方程解决有关实际问题． ▲难点 寻找实际问题中的等量关系． ◆活动1　创设情境　导入新课(课件) 问题1：王美丽卖玫瑰花，如果每束玫瑰花盈利10元，平均每天可售出40束．经调查发现，若每束降价1元，则平均每天可多售出8束．王美丽的丈夫李贪心认为卖得越多，挣的钱就越多，因此决定让王美丽大幅度降价，王美丽不愿意，王美丽认为应该提升价格，因为提升的越多，盈利就越多．同学们认为他们谁的说法靠谱呢？ 问题2：如果你是卖玫瑰花的老板，你会应用什么方法计算每天的销售利润呢？ ◆活动2　实践探究　交流新知 出示例题： 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元．调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 问题1：降价前，销售1天获得的利润是多少？你是如何计算的？ 问题2：降价后，哪些量发生了变化？如何计算调价后每天的销售利润呢？ 问题3：本题中我们该设“谁”为未知数好呢？ 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为__(2 900－x)__元． 每天的销售量/台 每台的销售利润/元 总销售利润/元 降价前 8 2 900－2 500 3 200 降价后 8＋4× 2 900－x－2 500 5 000 填完上表后，让学生列出方程即可(不用解方程)． 问题4：如果我们既不设每台的定价是多少，也不设每台降价多少元，想一想，我们还可以怎么“设”呢？ 如果设每台冰箱降了x个50元，那么每台冰箱的定价应为__(2__900－50x)__元． 每天的销售量/台 每台的销售利润/元 总销售利润/元 降价前 8 2 900－2 500 3 200 降价后 8＋4x 2 900－50x－2 500 5 000 填完上表后，让学生再列出新的方程，也不要求解． 问题5：比一比看谁解得又快又对．(课件展示上述两个未求解的方程) ◆活动3　开放训练　应用举例 例1　某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元．为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.05元，那么平均每天可多售出200张．摊主要想平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？ 【方法指导】找出等量关系式，每张贺年卡赢利的钱×张数＝赢利总钱数． 解：设每张贺年卡应降价x元，则现在的利润是(0.3－x)元，多售出200x÷0.05＝4 000x(张). 根据题意，得(0.3－x)(500＋4 000x)＝180， 整理，得400x2－70x＋3＝0. 解得x1＝，x2＝0.1. ∵为了尽快减少库存， ∴x＝0.1. 答：每张贺年卡应降价0.1元． 例2　某小区2020年屋顶绿化面积为2 000 m2，计划2022年屋顶绿化面积要达到2 880 m2.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？ 【方法指导】本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案． 解：设这个增长率是x.根据题意，得 2 000×(1＋x)2＝2 880. 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去). 答：这个增长率是20%. ◆活动4　随堂练习 1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植2株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可列出的方程是(A) A．(2＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋2)(4＋0.5x)＝15 C．(x＋4)(2－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝15 2．某商品的进价为5元，当售价为x元时，此时能销售该商品(x＋5)个，并获利144元，则该商品的售价为__13__元． 3．某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x. (1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为__2.6(1＋x)2__万元； (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率． 解：根据题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146. 解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去). 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%. ◆活动5　课堂小结与作业 学生活动：你这节课的主要收获是什么？ 教学说明：多种练习提高分析问题和解决问题的能力． 作业：课本P55习题2.10中的T1、T2、T3、T4. 这节课学习的是“列一元二次方程解应用题”，这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运．既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用．在课堂中始终贯彻数学源于生活又用于生活的数学概念，同时用方程来解决问题，使学生树立一种数学建模的思想．