第2课时　公式法的应用.DOCX

第2课时　公式法的应用 教师备课　素材示例 ●置疑导入　(1)你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？ (2)怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？ (3)在一块长为16 m，宽为12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你觉得这个方案能实现吗？请展示设计方案． 【教学与建议】教学：通过问题情境的设计，让学生主动地投入到学习过程中．建议：提出问题后给学生一定的思考时间． ●复习导入　(1)公式法求解一元二次方程，它的一般步骤是什么？ ①把方程化为一般形式，进而确定a，b，c的值．(注意符号) ②求出b2－4ac的值．(先判别方程是否有根) ③在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根． (2)解方程： ①x2＋2x－2＝0; ②(x－2)(1－3x)＝6. 公式法和配方法解方程都是基础，方程是解决实际问题比较常用的数学模型，这节课我们来应用方程解决几何问题． 【教学与建议】教学：帮助学生复习一元二次方程及其解法，为列方程解决实际问题打好基础．建议：复习公式法求解一元二次方程的时候，强调各环节的注意事项． 命题角度1　列一元二次方程解决与矩形面积相关的问题 解决与矩形面积相关的问题，理解题目对分割或填充的描述，然后结合剪拼的思路，利用矩形面积公式列方程． 【例1】(1)如图，在一块长为40 m，宽为30 m的矩形土地中，修两条宽度均为x m的路，则剩余的土地面积为__(40－x)(30－x)__m2.(只列式，不要求化简) 　　　 (2)如图是一块矩形场地ABCD，长AB＝102 m，宽AD为51 m，从A，B两处入口的小路宽都为1 m，两小路汇合处路宽为2 m，其余部分种植草坪，则草坪面积为__5__000__m2，路的面积为__202__m2. 　 命题角度2　列一元二次方程解决与三角形的关联问题 利用一元二次方程解决有关三角形边长、面积问题． 【例2】(1)如图，由点A(a，0)，O(0，0)，B(－a，a＋3)(a>0)确定的△AOB的面积为2，则a的值为__1__． (2)已知整数k<5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2－3x＋8＝0，则△ABC的周长是__6，12或10__． 命题角度3　用公式法探究存在性问题 在解决实际问题时，利用根的判别式判断一元二次方程解的存在性问题． 【例3】小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于44 cm2.”他的说法对吗？请说明理由． 解：小峰的说法正确．理由如下：设剪成的较短的这段为m cm，则较长的这段为(40－m)cm. 由题意，得＋＝44， 整理，得m2－40m＋448＝0. ∵Δ＝－192<0，∴原方程无解． ∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于44 cm2. 高效课堂　教学设计 1．能够利用一元二次方程解决实际问题． 2．根据具体问题的实际意义检验结果的合理性． ▲重点 运用一元二次方程解决简单的实际问题． ▲难点 综合运用一元二次方程解决简单的实际问题． ◆活动1　创设情境　导入新课(课件) 同学们，前面我们已经学习了利用配方法和公式法解一元二次方程，你能利用一元二次方程来解决生活中的实际问题吗？本节课我们继续来学习解一元二次方程，并体会一元二次方程在生活中的应用． ◆活动2　实践探究　交流新知 【探究1】提出问题(多媒体出示) 在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？ 【探究2】方案解析 小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等． 设花园四周小路的宽度均为x m，根据题意可列怎样的一元二次方程？ 复习列方程解应用题的步骤，然后找出问题中的等量关系：花园的面积＝矩形的面积，从而列出方程：(16－2x)(12－2x)＝×16×12，即__x2－14x＋24＝0__．解得__x1＝2__，__x2＝12__． 【探究3】验证结果 (1)验证解的正确性(学生解方程，教师借助实物投影展示)． (2)讨论解的合理性：因为荒地的宽为12 m，并且小路的宽应小于荒地宽的一半，所以小路的宽不能为12 m，它不是实际问题的解，应舍去．而小路的宽2 m符合这个实际问题，所以小路的宽是2 m. 通过对小明的设计方案的解析，你有什么收获？ 归纳：列一元二次方程解应用题，解完一元二次方程之后，不要急于下结论，而要按题意来检验这些根是不是实际问题的解． 【探究4】应用新知，实战演练 同学们，对于花园设计问题，小亮和小颖也有自己的设计方案，你能根据对小明设计方案的解析，帮小亮和小颖求出图中的x吗？(多媒体出示) (1)小亮的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同，你能帮他求出图中的x吗？ 列式为：__16×12－πx2＝×16×12__． 　　　　　 (2)小颖的设计方案如图所示，你能帮她求出图中的x吗？ 列式为：__(16－x)(12－x)＝×16×12__． ◆活动3　开放训练　应用举例 例1　有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四周各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去边长为多大的正方形？ 【方法指导】先审题，确定好问题类型，然后指导学生按照图形面积公式进行解答． 解：设铁皮各角应切去边长为x cm的正方形． 根据题意，得(100－2x)(50－2x)＝3 600. 整理，得x2－75x＋350＝0，解得x1＝5，x2＝70. ∵当x＝70时，100－2x＝－40＜0，50－2x＝－90＜0， ∴x＝70不合题意，舍去，∴x＝5. 答：铁皮各角应切去边长为5 cm的正方形． 例2　将一条长20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ (2)两个正方形的面积之和可能等于12 cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 【方法指导】两段铁丝做成的是两个正方形，且已知两个正方形的面积之和，只需设出正方形的边长或用未知数表示出边长，列方程解答即可． 解：设一个正方形的周长为x cm，则另一个正方形的周长为(20－x)cm. (1)根据题意，得＋＝17.整理，得x2－20x＋64＝0，解得x1＝16，x2＝4.所以两段铁丝的长度分别为16 cm和4 cm； (2)根据题意，得＋＝12.整理，得x2－20x＋104＝0.∵b2－4ac＝(－20)2－4×1×104＝－16＜0，∴此方程无解．∴两个正方形的面积之和不可能等于12 cm2. ◆活动4　随堂练习 1．用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为(B) A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64 C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝64 2．改善小区环境，争创文明家园．如图，某社区决定在一块长(AD)16 m，宽(AB)9 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112 m2，则小路的宽应为多少？ 解：设小路的宽应为x m．根据题意，得(16－2x)(9－x)＝112.整理，得x2－17x＋16＝0.解得x1＝1，x2＝16.∵16＞9，∴x＝16不符合题意，舍去．∴x＝1. 答：小路的宽应为1 m. ◆活动5　课堂小结与作业 学生活动：通过本节课对矩形花园的设计的学习，你复习了哪些旧知识呢？你又掌握了哪些基本内容？感受了哪些数学思想？学会了哪些方法？还有哪些疑惑？ 教学说明：学生结合本节课所学知识，按教师的提问畅谈收获，提出自己的疑惑，教师给予点评和总结． 作业：1.课本P44中的随堂练习． 2．课本P44习题2.6中的T1、T2、T3、T4. 本节课在课堂引入环节中，由于教材问题设置较为复杂，所以教师做好必要的引导是关键，帮助学生分析图形之间的比例关系，使学生清晰认识问题；在随堂练习环节中，学生能够顺利地解答，实现了高效课堂．