沪教版数学八上教案：19.2角平分线.doc

学科组长签名及日期 剩余天数 课 题 角的平分线的性质 教学内容 一: 角平分线性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 如图：AB是∠CAD的平分线，则有：CB=BD。 二: 角平分线判定定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 如图：如果有CB=BD ，则有AB是∠CAD的平分线。 三: 三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这个点到三角形三边的距离相等． 如图：在三角形ABC中，AD是∠BAC，BE是∠ABC的角平分线，则有IH=IG=IF。 【求证角平分线的性质定理】 例1：已知：如图，△ABC的角平分线AD与BE交于点I，求证：点I在∠ACB的平分线上 证明：过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分别是点H、G、F． ∵点I在∠BAC的角平分线AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC ∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF（等量代换） 又IG⊥AC、IF⊥BC ∴点I在∠ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上） 即：三角形的三条角平分线交于一点． 【利用角平分线的性质求线段之比】 例2：如图，已知：∠BAC=30，G为∠BAC的平分线上的一点，若EG ∥AC交AB于E，GD ⊥AC 于D，GD：GE=（ ） 【解析】作GF⊥AB于F（目的是为了用定理） ∵AG平分∠BAC，GD ⊥AC ∴ GF=GD（角平分线的性质定理） ∵ EG ∥AC ，∠BAC=300 ∴∠FEG=300 ∴FG：EG=1：2 ∴GD：GE=1：2 【 利用角平分线的性质求角的度数】 例3：在△ABC中，∠ABC=100，∠ACB=20，CE 平分∠ACB交 AB于 E，D在 AC上，且∠CBD=20。求∠CED的度数。 【答案】作EF⊥ AC，延长CB，作EG ⊥CB ， EH⊥ BD ∵CE平分∠ACB，∠ACB=200，∴∠BCE=∠DCE=100， ∵∠CBD=200 ∴ ∠ BDA=40 0 ∵∠ABC=1000， ∠CBD=200 ∴ ∠ABG=800，∠ABD=800 ∴ ∠ABG=∠ABD ∴EH=EG 可证△BEH≌△ BEG（AAS） ∵CE平分∠ACB，∴EF=EG（角平分线性质定理）∴EF=EH ∴DE平分 ∠BDA（角平分线的判定定理）∴∠EDA=200 ∵∠EDA=∠ECA+∠CED∴∠CED=200 -100=100 变形 1. 如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．下列结论错误的是（ A ）．A B C D P A．AD=CP B．△ABP≌△CBP C．△ABD≌△CBD D．∠ADB=∠CDB． 2. 如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（A）A C P B D O 1 2 A.∠1＝∠2　　 　B.∠1＞∠2　　　　C.∠1＜∠2　　　　　D.无法确定 3．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为（A） A、12cm　　　　B、10cm　　　　　C、14cm　　　　D、11cm 4. 已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=5cm,则点D到AC的距离是_5____. 5．如图，已知D为△ABC的BC边的中点，DE、DF分别平分∠ADB和∠ADC，求证：BE＋CF>EF. 在 DA 上取一点 M ，使 DM=DB=DC ，连结 EM 、 MF ， ∵ DE 平分∠ADB ，∴ ∠BDE= ∠EDM. 又∵ DM=BD ， DE=DE ，∴ △BED ≌△MED. 同理可得△MFD ≌△CFD. ∴ BE=EM ， CF=MF. ∵ 在△EMF 中， EM＋MF>EF. ∴ BE＋CF>EF. 6.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，∠ACB=78°，∠BAD=∠ABD，求∠ADB和∠BCE的度数. 【答案】解：在△ABC 中，∵ BD 平分∠ABC ， ∴ ∠DBC= ∠DBA. 又∵∠DBA= ∠DAB ，设∠DBA=x ，那么∠DBC= ∠DAB=x. 又∠ACB=78°，∵ ∠DAB＋∠ABC＋∠ACB=180°， ∴ x＋2x＋78° =180°，解得 x=34°. 故在△ADB 中，∠ADB=180°－∠DAB－∠DBA=180°－2x=112° . 在△BCE 中，∵ CE⊥AB ，∴ ∠CEB=90° . ∴ ∠BCE=180°－∠CBE－∠CEB=180°－2x－90° =22° . 故∠ADB=112°，∠BCE=22° . 课堂作业： 1．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，则点D到AC的距离是( B ) A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 2．如图，已知CE、CF分别是△ABC的内角和外角平分线，则图中与∠BCE互余的角有( C ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是( A ) A. ①②③④ B.①②③ C.④ D.②③ 4．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ B ）【②③】 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．角的平分线上的点到___角两边的距离________相等；到___角两边的距离_____相等的点在这个角的平分线上． 6．如图，△ABC中，AC⊥CB，CD平分∠ACB，点E在AC上，且CE=CB，则下列结论：①CD平分∠BDE；②BD=DE；③∠B=∠CED；④∠A+∠CED=90°．其中正确的有（ D ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5㎝，则M到OB的距离为　1.5　　㎝。 8．在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝5㎝，BD＝3㎝，则点D到AB的距离为　2㎝　　。 9．如图,∠A＝90°,BD是△ABC的角平分线,AC＝8㎝,DC＝3DA,则点D到BC的距离为2㎝　。 10．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（　D　） A、PD＝PE　　B、OD＝OE　　C、∠DPO＝∠EPO　　D、PD＝OD 11．如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则下列结论：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠6；④AC垂直且平分BD，其中正确的有（ D ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①③④ 12．如图，三条公路两两交于点A、B、C，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有（A ）A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 13．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，且BD：CD=3：2，BC=2㎝15cm，则点D到AB的距离是____2㎝______． 14．如图，已知点D是△ABC中AC边一点，点E在AB延长线上，且△ABC≌△DBE，∠BDA=∠A．若∠A：∠C=5：3，则∠DBE的度数是（D ） A．100° B．80° C．60° D．120° 15．如图，已知△ABC中，∠C=90°，E是AB的中点，D在∠B的平分线上，且DE⊥AB，则( B ) A.BD＜AE B.BC=AE C.BC＜AE D.以上都不对 16．如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则下列结论：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠6；④AC垂直且平分BD，其中正确的有( D ) A.①②③④ B.①②③ C.①③ D.①③④ 17．已知：如图⑷，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，写出图中一组相等的线段 (只需写出一组即可). 【PD=PC】 18．如图，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=2cm，则AB与CD之间的距离是____12_______． 如图，过点P作PM⊥AB于M，作PN⊥CD于N， ∵AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC， ∴PM=PE=PN，∴AB与CD之间的距离=PM+PN=6+6=12． 19．用直尺和圆规平分已知角的依据是____SSS__________． 20．到三角形三边的距离相等的点是三角形（B ） A．三条边上的高的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三边上的中线的交点 D．以上结论都不对 21．如图△ABC中,∠C＝90°,AC＝BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且AB＝6㎝,则△DEB的周长为（　B　）A、4㎝　　B、6㎝　　C、10㎝　　D、不能确定 22．如图,MP⊥NP,MQ为△MNP的角平分线,MT＝MP,连接TQ,则下列结论中不正确的是（D ） A、TQ＝PQ　　B、∠MQT＝∠MQP　　C、∠QTN＝90°　　D、∠NQT＝∠MQT 23．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC， 求证：BE＝CF。 ∵DE⊥AB,DF⊥AC ∴∠DEB=∠DFC=90° ∵AD平分∠BAC∴DE=DF（角平分线上的点到角两边距离相等） ∵DB=DC∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）∴EB=FC 24．已知，如图BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于D，求证：PM＝PN。 ∵∠ABD=∠CBD,AB=CA,BD=BD ∴△BAD≌△BCD ∴∠ADB=∠CDB∴BD为∠ADC的平分线 ∵点D在BD上，且PM⊥AD于M，PN⊥CD于N ∴PM=PN 25．如图，B是∠CAF内一点，D在AC上，E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等。求证：AB平分∠CAF。 因为DC=EF，△DCB和△EFB面积想等，所以B到AC，AF的距离相等，所以AB平分∠CAF。 26．如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于点O． ⑴若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上． ⑵若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB． ①证明△COE≌△BOD得到OE=OD； ②先由角平分线的性质证明OE=OD，再证明△COE≌△BOD. 27．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，求证：PB=PC。 先证Rt△ABC≌Rt△ADC，再证△APB≌△APD. 28．如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O且交角为90°，某仓库G在A区，到公、铁路距离相等，且到公路与铁路的相交点O的距离为200ｍ。在图上标出仓库G的位置。（比例尺：1：10000。用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 作∠NOQ的平分线OP在OP上截取OG=2cm。 29．如图，已知点P是△ABC中BC边的中点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E． ①当PD=PE时，求证：AB=AC; ②当AB=AC时，求证：PD=PE。 ①连接AP，证明AD=AE和BD=CE； ②证明AP平分∠BAC