沪教版数学八上教案：17.3一元二次方程的应用.doc

一元二次方程根的应用 知识精要 1、 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法；（2）因式分解（3）配方法； （4）公式法；一元二次方程的求根公式是 2、 一元二次方程的根的判别式． 当时，方程有两个不相等的实数根 ，； 当时，方程有两个相等实数根； 当时，方程没有实数根． 3、二次三项式的因式分解： （1）形如（，，都不为0）的多项式称为二次三项式。 （2）当，先用公式法求出方程的两个实数根、，再写出分解式． 当，方程没有实数根，在实数范围内不能分解因式。 4、一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去． 列一元一次方程解应用题的步骤： 审题，②设出未知数. ③找等量关系. ④列方程， ⑤解方程， ⑥答. 精解名题： 1、在实数范围内因式分解 例1．（1） （2） （3） （4） （5） （6） （1）4x2+2x－3 (2)-6 x-2x+1 =4（x+）（x+） =-6（x+）（x+） （3）（x）（） （4）x3-5x =(x-)(x+)() =x(x-)(x+) （5）x-4x-2 （6）x4－x2－6 =(x-2-)(x-2+) =(x-)(x+)() 2、增长率与降低率问题、利滚利问题 解决增长率与降低率问题的公式,其中是原有量,增长（或降低）率,为增长（或降低）的次数,为增长（或降低）后的量。 利滚利问题： 年利息＝本金×年利率年利率为； 存一年的本息和：本金×； 存两年的本息和：本金×； 存三年的本息和：本金×； 存n年的本息和：本金×， 即本金×。 例2、我村2006年的人均收入为1200元，2008年的人均收入为1452元，求人均收入的年平均增长率。 解：设均收入的年平均增长率，则1200×（1+x）2=1452 解得：x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去） ∴人均收入的年平均增长率为10%。 例3、某工厂今年利润为万元，计划今后每年增长，年后的利润为多少万元？ a(1+m%)n 例4、截止到2000年12月31日，我国的上网计算机总数为892万台；截止到2002年12月31日，我国的上网计算机总数以达2083万台.求2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）. 解：设2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计算机台数的年平均增长率为x. . 解得 ∵，∴不合题意，舍去. 3、面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题 例5．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 解：（1）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m 依题意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6 整理，得：5x2+6x-8=0 解得：x1==0.8m，x2=-2（舍） ∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m． （2）=25天 答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道． 例6. 用12米长的一根铁丝围成长方形。 （1）如果长方形的面积为5m,那么此时长方形的长是多少？宽是多少？如果面积是8 m 呢？ （2）能否围成面积是10 m的长方形？为什么? (3)能围成的长方形的最大面积是多少？ 解：（1）设长方形的宽为xm,则长为（6-x）m， x（6-x）=5 解得x1=1，x2=5 ∴当长方形的宽为1m，长为5m或宽为5 m，长为1 m时，面积为5m 同样面积为8时x（6-x）=8 解得x1=2，x2=4 ∴当长方形的宽为2m，长为4m或宽为4 m，长为2 m时，面积为5m （2）x（6-x）=10 △=-4<0，方程没有实数根 所以这样的长方形不存在 （3）设围成的长方形面积为k,则x（6-x）=k 要使方程有解，必须有36-4k≥0,即k≤9 ∴最大的k只能是9，即最大的面积为9，此时x=3，这时所围成的图形是正方形。 4、通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题． 例7、某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶200m需要多长时间? 分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把s=200代入求关系t的一元二次方程即可． 解：当s=200时，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0 解得t=（s） t=-10舍去 答：行驶200m需s． 热身练习 1、如果、是一元二次方程的两个根，那么分解因式 a(x－x1)(x－x2) 。 2、当 时，二次三项式的实数范围内可以分解因式。 3、如果二次三项式是关于的完全平方式，那么k= 10 。 4、某商亭十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率是 20% 5、某商品连续两次降价10%后的价格为a元，该商品的原价应为 元 。 6、某工厂第一季度生产机器a台，第二季度生产机器b台，第二季度比第一季度增长的百分率是 7、某工厂今年利润为万元，比去年增长10%，去年的利润为万元。 9、一个两位数，它的数字和为9，如果十位数字是a，那么这个两位数是 9a+9 ；把这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，这个数与原数的差为 81－18a 。 10、甲、乙二人同时从A地出发到B地。甲的速度为km/h，乙的速度为km/h(其中a>b)，二人出发5h后相距 5a－5b km。 11、二次三项式分解因式的结果是( B ) A. B. C. D. 12、 二次三项式分解因式的结果是( D ) A. B. C. D. 13．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程为（B ）． A. B. C. D. 14．某商店将一件商品的进价提价20%后又降价20%，以96元的价格出售，则该商店卖出这种商品的盈亏情况是（ B）． A．不亏不赚 B．亏4元 C．赚6元 D．亏24元 15．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同． （1）该公司2006年盈利多少万元？ （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？ 解（1）设每年盈利的年增长率为x， 根据题意得1500（1+x）2=2160． 解得x1=0.2，x2=－2.2（不合题意，舍去）∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800． 答：2006年该公司盈利1800万元． （2）2160（1+0.2）=2592． 答：预计2008年该公司盈利2592万元． 16. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元? 老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+×100） 解：设每张贺年卡应降价x元 则（0.3-x）（500+）=120 解得：x=0.1 答：每张贺年卡应降价0.1元． 17. 一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）? 分析：（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为=10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间． （2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可． （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出x的值． 解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是=10（m/s） 那么从刹车到停车所用的时间是=2.5（s） （2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是=8（m/s） （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s 则这段路程内的平均车速为=（20-4x）m/s 所以x（20-4x）=15 整理得：4x2-20x+15=0 解方程：得x= x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s） 答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s． 18. 要做一个高是8cm，底面的长比宽多5cm，体积是528的长方体木箱，问底面的长和宽各是多少？ 解：设长方体的宽为x（cm），则长为（x+5）cm，底面积为x（x+5）. x（x+5）×8=528.化简、整理后得解得：. 检验：不符合实际情况，舍去.当x=6时，符合题意. ∴方程的解为x=6.∴长方体的长为6+5=11（cm）. 答：长方体的宽为6cm，长为11cm. 19. 制造一种产品，原来每件的成本是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使第二个月的销售利润达到原来的水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 解 设平均每月应降低，则，，（不合题意，舍去） 20. 如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与平行,另一条与垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144平方米,求甬路的宽度? 解:可设甬路宽为米,依题意,得 , 解得(不合题意,舍去). 答:甬路的宽度为2米. 自我测试 1.红星电扇厂4月份生产电风扇2000台，以后每月的产量递增，且增长率相同，第二季度总共生产9500台，求后两个月的每月平均增长率。 解：设增长率为x 2000+2000(1+x)+2000(1+x)=9500 解得x=1/2,x=-7/2(舍去) ∴增长率为0.5 2. 已知：如图3-9-3所示，在△中，.点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动. （1）如果分别从同时出发，那么几秒后，△的面积等于4cm2？ （2）如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？ （3）在（1）中，△的面积能否等于7cm2?说明理由. 解 （1）设s后，△的面积等于4cm2，此时，，. 由得 . 整理，得 . 解方程，得 . 当时，,说明此时点越过点，不合要求. 答：1s后，△的面积等于4cm2. （2）仿（1），由 得. 整理，得 解方程，得（不合，舍去），. 答：2s后， 的长度等于5cm. （3）仿（1），得 整理，得 容易判断此方程无解.答：△的面积不可能等于7cm2.