沪教版数学八上教案：18.2反比例函数.doc

反比例函数 知识精要 一．反比例函数概念 1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例 2．解析式形如y=（k是常数,k≠0）的函数叫做反比例函数，其中常数k叫做比例系数 反比例函数y=的定义域是不等于零的一切实数。 3． 一般地，反比例函数y=（k是常数，k）的图像叫做双曲线，它有两分支。 二．反比例函数性质 1.当k>0时，函数图像的两分支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小。 2. 当k<0时，函数图像的两分支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大。 3.图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交。 精解名题 例1.下列函数是不是反比例函数？为什么？ （1）y= (2) y=- (3) y= （4）y= （5）y= （6）y=+7 解：(2) ,(4)是反比例函数 例2．若函数是反比例函数，则m的值为（ ） A.1 B.2 C.1或2 D.-1 解：一个函数是反比例函数必须同时满足两个条件： (1)函数关系式中，自变量x的指数是-1 (2)比例系数k≠0 故本题中m应满足，得到m=1,选A 例3.已知y与成反比例，且点（4，-2）在它的图像上，求y与x的函数解析式。 解：设y=（k） 把点（4，-2）代入，得-2=，解得k=－4,∴函数解析式为y=，即y=。 例4.已知y=y1+y2，若y1与x-1正比例，y2与x+1成反比例函数，且当x=0时y=－5，当x=2时y=1 (1)求y与x间的函数关系式； (2) 当y=－3时，x的值。 解：(1) 根据题意，设y1=k1(x-1), y2=, 从而可以得到y=, 把x=0，y=-5和x=2，y=1代入，得： ， 解得k1=2, k2=－3 所以得到。 (2) 当y=-3时， , 即 2x2+3x-2=0 ∴x1=，x2=-2 ∴x的值为或-2 例5.已知反比例函数y= (1)若该函数图像经过点（2，-1），求k的值。 (2)若该函数图像在每一象限内y随x的增大而减小，求k的取值范围。 解：(1)因为函数图像经过点（2，-1），把点代入解析式，得-1= ，得到k= (2)由题意，该函数函数图像在每一象限内y随x的增大而减小， 所以函数在一、三象限内，所以2k+1>0，∴k的取值范围是 例6. 已知反比例函数的图像上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，且x1<x2,那么下列结论正确的是（ ） （A）y1<y2 （B）y1>y2 （C）y1=y2 （D）y1与y2的大小关系无法确定 解：因为k=－1<0，且x1<x2 所以当x1<x2<0时，y1<y2 当0<x1<x2时，y1<y2 当x1<0<x2时，y1>y2 故选D 例7.一个反比例函数在第三象限的图像如图所示，若A是图像上任意一点，AM⊥x轴于M，O是原点，如果△AOM的面积是3，求这个反比例函数的关系式。 又因为双曲线在第三象限，则k>0，取k=6 所以，这个反比例函数的关系式为 热身练习 一．选择题： 1.已知-6=0，则y是x的（ B ）. （Α）正比例函数 （B）反比例函数 （C）一次函数 （D）不成函数关系 2.在下列各式中，不是反比例函数关系的是（ B ）. （Α）4xy=1 （B）=2 （C）y=mx-1(m≠0) （D）y= 3.若点Α（x1,y1）、B（x2,y2）在函数y=-的图象上，且点Α在第四象限，则有( A ) （Α）x1<x2,y1<y2 （B）x1<x2,y1>y2 （C）x1>x2,y1<y2 （D）x1>x2,y1>y2 （A）y2>y3>y1 (B)y2>y1>y3 (C)y3>y1>y2 (D)y3>y2>y1 5.如图8-41，点P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则反比例函数的解析式为（ B ）. （Α） （B） （C） （D） 6. 已知函数与y=x图象的交点是（-2，5），则它们的另一个交点是（ A ）. （Α）（2，-5） （B）（5，-2） （C）（-2，-5） （D）（2，5） 7.已知y是x的函数，y与x-1成正比例，如果这个函数的图象经过点（α,α）(α≠0),则它的图象大致是图8-42中的（ B ）. 8.已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（ A ）. （Α）（-1，-2）（B）（-1，2） （C）（1，-2） （D）（-2，1） 9.如图8-43，反比例函数y=的图象经过点Α，则k的值是（ C ）. （Α）2 （B）1.5 （C）-3 （D）- 10. 已知推动某物体沿直线运动所做的功是15焦，则表示力与物体在力的方向上通过的距离之间函数关系的图像大致是下图中的（B） 11.下列函数中，其图像在其所在的每个象限内，y的值随x的增大而增大的有（ A ）个。 ① ② ③ ④ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 12.如图，直线y=2x与双曲线的图像的一个交点坐标为（2，4）。 则它们的另一个交点坐标为（A） （A）（-2，-4） （B）（-2，4） （C）（-4，-2） （D）（2，-4） 13.下列反比例函数图像的一个分支，在第三象限的是( B ) 二．填空题： 1、已知反比例函数的函数图象位于第一、三象限，则m的取值范围是 m<2 。 2、下列函数中，其图象位于第二、四象限的有 (1) (4) ，在其图象所在的象限内，y随x的减小而增大的有 (2)(3) 。 3、下列函数中，其图象位于第一、三象限的有 (1) (4) ，在其图象所在的象限内，y随x的增大而增大的有 (2)(3) 。 4、函数的图象在第 二、四 象限；在其图象所在的象限内，y随x的减小而 减小 ；函数的图象在第 一、三 象限；在其图象所在的象限内，y随x的减小而 增大 ； 5.若是反比例函数，则k= 0 。 6.已知正比例函数y=kx与反比例函数图像的一个交点坐标是（1，3），则反比例函数的解析 式是。 7.已知反比例函数，（x1,y1）（x2,y2）为其图像上的两点，若当x1<0<x2时，y1>y2,则k的取 值范围是 k<-1 。 8. 已知A(a,b)、B(a-1,c)均在双曲线上，若a<0,则b > c.(填“>”、“<”或“=”) 自我测试 1.直线y=kx(k>0)与双曲线交于A(x1,y1)、B(x2、y2)两点，求2x1y2－7x2y1的值。 解：根据题意，得，∴kx12=kx22=4，即x12=x22= ∴x1=－x2 ，y1=－y2 ∴2x1y2－7x2y1=2x1（－y1）－7（－x1）y1=5x1y1=5x1=20 2.如图，反比例函数(k<0)的图像经过点A(,m)，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积 为,求k和m的值； 解：根据题意，得 ∴k=，反比例函数解析式为 将A(,m)代入，解得m=2 3.如图，已知反比例函数的图像与一次函数y=kx+4 的图像相交于P、Q两点，并且P点的纵坐 标是6. （1）求这个一次函数的解析式； （2）求△POQ的面积。 解：（1）将P点纵坐标6代入，解得横坐标为2，∴P（2，6） 将P（2，6）代入y=kx+4，解得k=1 ∴一次函数的解析式为y=x+4 （2） 设一次函数y=x+4与x轴、y轴分别交于点M、点N，则 M（-4，0），N（0，4），Q（-6，-2） 4.已知反比例函数，求k的值，并求当x=时的函数值。 解：∵为反比例函数，∴=0，解得 函数解析式为 ，当x=时， 5.设正比例函数y=kx与反比例函数的图像有两个交点，其中一个交点的横坐标是1，求k的 值和这两个函数的解析式。 解：将x=1分别代入两个函数解析式，得k=2-k，解得k=1 ∴正比例函数解析式为y=x，反比例函数解析式为 6.设y1=和y2=,当x=2时，y1+y2=1,y1-y2=3,求k1、k2的值。 解：根据题意，得 ， 解得k1=4,k2=-2 7.已知y=y1-y2,其中y1与x2成正比例，y2与（x+3）成反比例，并且当x=0时，y=2；当x=1时，y=0. 求x=2时，y的值。 解：根据题意，设y1=k1x2，y2= (k1、k2≠0) ∴y=y1-y2=k1x2－ 将（0，2）、（1，0）分别代入，得，解得 ∴y=k1x2－=，当x=2时，y= 8.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地。为了安全、迅速地通过这片湿地， 他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时通道。若木版对地面的压强p(Pa)是木板面积S （m2）的反比例函数，已知当木板面积为1.5m2时，压强为400Pa. (1)求这一函数表达式和自变量取值范围； (2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？ (3)如果要求压强不超过1000Pa，木板的面积至少要多大？ 解：（1）设p与S之间的函数解析式是（k≠0） 将p=1.5，S=400代入，解得k=600 ∴函数解析式是 （S>0） （2）将S=0.2代入解析式，得p=3000(Pa) (3)≤1000，解得S≥0.6（m2）