第1课时　应用一元二次方程求解几何问题.DOCX

6　应用一元二次方程 第1课时　应用一元二次方程求解几何问题 教师备课　素材示例 ●情景导入　我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，有着优良的传统，并取得了重要成果．我国古代数学家研究过二次方程的解法，已与近代的解法相似． 下面是我国南宋数学家杨辉1275年提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步).只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步．答：阔二十四步，长三十六步．”这里，我们不谈杨辉的解法，你能用已学过的知识解决上面的问题吗？ 【教学与建议】教学：用古代文献导入课题，激起学生的学习兴趣．建议：引导学生积极思考问题，建立方程的模型． ●类比导入　小明把一张边长为20 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)． (1)如果要求长方体的底面面积为256 cm2，那么剪去的正方形边长为多少？ (2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？ 长方体底面积 256 196 144 100 64 36 16 4 正方形边长 2 3 4 5 6 7 8 9 长方体体积 512 588 576 500 384 252 128 36 【教学与建议】教学：通过生活中的实际问题的引入，让学生感觉到数学与生活的联系．建议：让学生体会数学来源于生活，又应用于我们的生活． 命题角度1　列一元二次方程解决等积变形问题 在列一元二次方程解决等积变形问题时，要抓住以下三个等量关系：①图形面积不变，周长变了；②容器形状改变，但容积没变；③原料体积＝成品体积．找出题中的等量关系，列出方程． 【例1】(1)直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为(B) A． B．5 C． D．7 (2)从正方形铁皮的一边切去一个2 cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48 cm2，则原来正方形的铁皮的面积为__64__cm2__． 命题角度2　列一元二次方程解决存在性问题 列一元二次方程解决存在性问题的一般步骤：先根据题意列出方程再根据根的判别式判断是否存在． 【例2】用长为35 m的篱笆围一个矩形养鸡场，如图，一边靠墙(墙足够长)，另三边用篱笆围成．设围成的矩形与墙平行的一边长为x m，面积为y m2. (1)求y关于x的函数关系式； (2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为150 m2? (3)能否围成面积为160 m2的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由． 解：(1)y＝－x2＋x；(2)20或15；(3)不能，理由略． 命题角度3　列一元二次方程解决几何动点问题 解决动点问题的关键是根据动点运动时的起点和终点等条件列出方程． 【例3】如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3 cm，BC＝6 cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1 cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2 cm/s的速度向点A匀速运动，经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ 解：设经过t s，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的. 由题意，得AM＝t cm，AN＝(6－2t)cm， 由△AMN的面积公式，得AN·AM＝AD·AB，t·(6－2t)＝×3×6， 整理，得t2－3t＋2＝0，解得t1＝2，t2＝1. 答：经过1 s或2 s，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的. 命题角度4　列一元二次方程解决阅读理解问题 阅读理解问题是给出一些材料，让学生在阅读的基础上理解材料中所提供的定义、公式、思想方法及解题技巧等知识，用于解决后面的问题． 【例4】(凉山州中考)试验与探究： 三角点阵中前n行的点数计算 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点． 容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和．你能发现300是前多少行的点数和吗？如果用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，虽然你能发现1＋2＋3＋…＋23＋24＝300，得知300是前24行的点数和，但是这样寻找答案需要花费较多时间，能否更简捷地得出结果呢？ 我们先探究三角点阵中前n行的点数和与n的数量关系． 前n行的点数和是1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n.可以发现： 2×[1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n]＝[1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n]＋[n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1]. 把上述等式右边两个中括号中的第一项相加，第二项相加……第n项相加，通过变形，得到1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n＝n(n＋1). 这就是说，三角点阵中前n行的点数和是n(n＋1). 下面用一元二次方程解决上述问题：设三角点阵中前n行的点数和为300，则有n(n＋1)＝300. 整理这个方程，得n2＋n－600＝0. 解方程得n1＝24，n2＝－25. 根据问题中未知数的意义确定n＝24，即三角点阵中前24行的点数和是300. 请你根据上述材料回答下列问题： (1)三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理； (2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，你能探究出前n行的点数之和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数之和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 解：(1)不能，说明略； (2)前n行的点数之和为n(n＋1).这个三角点阵中前n行的点数之和能是600，此时n＝24. 高效课堂　教学设计 1．通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题． 2．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性． ▲重点 在实际问题中找等量关系． ▲难点 根据等量关系设未知数列方程． ◆活动1　创设情境　导入新课(课件) 　　　　　 提出问题：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ (1)在这个问题中，梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ (2)如果梯子的长度是13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ ◆活动2　实践探究　交流新知 【探究1】 问题1：怎样设未知数？这个问题中存在什么样的等量关系？如何用勾股定理列方程． (1)设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动的距离和它相等． 先求梯子底端原来离墙的距离：__＝＝6(m)__．等量关系是：梯子顶端现在离地的距离与梯子底端现在离墙的距离组成了直角三角形的两条__直角边__，斜边是__梯子的长度__，根据勾股定理可得：__(8－x)2＋(6＋x)2＝102__，解得__x1＝0，x2＝2__． 【探究2】 x1＝0是否符合题意． ∵x＝0时，梯子没有下滑， ∴__x＝0不合题意，舍去，x＝2__． 问题2：你能根据(1)的分析解答出(2)吗？ (2)解：梯子底端原来离墙的距离为＝＝5(m).设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动的距离和它相等． 由题意，得(12－x)2＋(5＋x)2＝132， 解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝7. 答：梯子顶端下滑7 m时，梯子底端滑动的距离和它相等． 归纳：列方程解应用题的步骤是①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答． ◆活动3　开放训练　应用举例 例1　(教材P52例1)如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1 n mile) 【方法指导】(1)要求DE的长，需要如何设未知数？ (2)怎样建立含未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？ (3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？ (4)选定直角三角形后，三条边长都是已知的吗？ 解：连接DF. ∵AD＝CD，BF＝CF， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，且DF＝AB. ∵AB⊥BC，AB＝BC＝200 n mile， ∴DF⊥BC，DF＝100 n mile，BF＝100 n mile. 设相遇时补给船航行了x n mile，那么DE＝x n mile，AB＋BE＝2x n mile，EF＝AB＋BF－(AB＋BE)＝(300－2x) n mile. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002＋(300－2x)2， 整理，得3x2－1 200x＋100 000＝0. 解这个方程，得x1＝200－≈118.4，x2＝200＋(不合题意，舍去). 答：相遇时补给船大约航行了118.4 n mile. 例2　如图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35 m. (1)若所围的面积为150 m2，试求此长方形鸡场的长和宽； (2)若墙长为18 m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？ (3)能围成面积为160 m2的长方形鸡场吗？说说你的理由． 【方法指导】(1)若设BC＝x m，则AB的长为 m，若设AB＝x m，则BC＝(35－2x) m，再利用题设中的等量关系，可求出(1)的解；(2)墙长为18 m，意味着BC边的长应小于或等于18 m，从而对(1)的结论进行甄别即可；(3)可借助(1)的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得结论． 解：(1)设BC＝x m，则AB＝CD＝ m. 依题意可列方程为x·＝150， 整理，得x2－35x＋300＝0. 解这个方程，得x1＝20，x2＝15. 当BC＝20 m时，AB＝CD＝7.5 m， 当BC＝15 m时，AB＝CD＝10 m. 即这个长方形鸡场的长与宽分别为20 m，7.5 m或15 m，10 m； (2)当墙长为18 m时，显然BC＝20 m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15 m，10 m； (3)不能围成面积为160 m2的长方形鸡场．理由如下：设BC＝x m，则AB＝ m．依题意可列方程为x·＝160，整理，得x2－35x＋320＝0.此时Δ＝352－4×1×320＝1 225－1 280＜0，原方程没有实数根，从而知用35 m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160 m2的鸡场． ◆活动4　随堂练习 1．直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为(B) A． B．5 C． D．7 2．从正方形铁皮的一边切去一个2 cm宽的长方形，若余下的长方形面积是48 cm2，则原来正方形铁皮的面积是__64__cm2__． 3．课本P53随堂练习 解：设相遇时用的时间为x，依题意可列方程为(3x)2＝(7x－10)2－102，整理，得2x2－7x＝0.解这个方程，得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝3.5，∴3x＝3×3.5＝10.5，7x＝7×3.5＝24.5. 答：相遇时，甲走了24.5步，乙走了10.5步． ◆活动5　课堂小结与作业 学生活动：这节课的收获是什么？你还有哪些困惑？ 教学说明：多设问题降低难度，鼓励学生能将实际问题抽象为几何方程模型． 作业：P53习题2.9中的T1、T2、T3、T4. 本节课无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学．