0526 -实数的概念-1教案.docx

教 案 教学基本信息 课题 实数的概念 学科 数学 学段： 初中 年级 初一 教材 书名：数学 七年级下册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2012年10月 教学设计参与人员 姓名 单位 设计者 范晓婷 北京丰台二中 实施者 范晓婷 北京丰台二中 指导者 刘青岩 丰台教育分院 课件制作者 范晓婷 北京丰台二中 其他参与者 教学目标及教学重点、难点 本节课涉及到的知识要素是无理数概念、实数概念、有限小数、无限循环小数、有理数概念等，主要是在数的开方基础上引进无理数概念，类比有理数分类得到实数分类，在课程中主要培养学生归纳概括能力. 本节课教学将数从有理数范围扩充到实数范围，实数内容的教学十分重要，它为后续的二次根式、一元二次方程以及三角函数学习奠定基础，包括在高中的函数、不等式中都经常使用。由于我教的两个班学生对有理数的掌握程度较好，所以我采用与有理数对比的方式引入无理数教学，揭示出有理数与无理数的联系与区别，有助于学生加深对实数的认识。基于此，本节课的教学重点是了解无理数和实数的概念，并会判断一个数是否是无理数. 无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，学生对无理数几乎没有任何感性认识，尤其是对无理数的存在还有质疑，基于此分析，本节课教学难点是对无理数的认识. 本节课教学目标： 1.了解无理数和实数的概念，学生会辨析一个实数是有理数还是无理数； 2. 理解实数的分类原则，初步形成对实数的整体认识； 3. 学生亲身经历无理数的发现过程，体会无理数引入的必要性,引导学生自己发现问题，提出猜想，建构新的知识体系. 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 （一） 复习引入：从讲起 在前几课中我们学习了平方根、立方根的概念，并对“有多大？”进行了探究。 教师提出问题1：现在我们来思考一个问题是不是我们之前学过的有理数呢？ 我们知道是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，它们之间有什么区别与联系呢? 从学生刚熟悉的数入手，激发思考。 若学生不知如何回答，教师可以提示学生先回忆有理数分类 新课 （二） 探究活动 请把下列分数写成小数形式，你有什么发现？ ，，，，， 要求：学生可以独立在笔记本上进行计算，然后归纳自己的发现. 若学生不能正确寻找结论，教师可以增加追问：我们将计算结果的小数形式全列出来对比一下，看能否从这些数的小数形式特点加以说明？ ，，，，， 我们发现：这些分数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式. 教师再追加一个结论：其实整数也可以看成小数点后是0的小数，比如3看成3.0，-5看成-5.0. 归纳小结：任何一个有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式；反之，任何一个有限小数或者无限循环小数都是有理数. 教师总结：的小数点后面有无数位，它是无限不循环的小数，既不属于整数也不属于分数，所以它不是有理数，教师提出问题2：那到底是什么数呢? 还是回到有理数无理数的小数形式，像这样的数还有无限多个，前面我们学习的很多数的平方根、立方根都是无限不循环小数，比如：，，，还有圆周率，我们把具有这种特点的数都叫做无理数. （三）对无理数的认识 1、引出概念：无理数定义：无限不循环小数叫做无理数. 解读无理数概念揭示的特点： ① 首先是小数； ② 其次是无限小数； ③ 最后是不循环的无限小数. 教师分层次解释无理数的特点，对学生理解很有好处. 而、、、都是无理数，这样的无理数还有很多个. 2、典型例题 例1：判断下列这组数中，哪些是无理数？ ，，，， 辨析：中的分子是无限不循环小数，除以3后结果还是无限不循环小数，所以也是无理数； 同理也是无理数； 与很相近，但它还是个有限小数，小数点后有7位数，所以是有理数； 是循环节为1和9，是无限循环小数，是有理数； 是问立方运算后的3的数，即3的立方根，这是一个无限不循环小数，所以是无理数. 总之，判断是否是无理数一定要扣住定义去辨析. 拓广探索 例2：已知数，它的特点是从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0，这个数是有理数还是无理数，为什么？ 辨析：还是扣住定义，这是个无限不循环小数，应该是无理数. 再追问一下，你能编出类似的数吗？ 例3：辨析概念，并说明理由. ① 无理数都是无限小数； ② 无限小数都是无理数； ③ 带根号的数都是无理数. 分析：①无理数都是无限小数。这句话的题设是“无理数”，结论是“无限小数”，根据定义，无理数是无限不循环小数，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无理数范围小，无限小数范围大，无理数是包含在无限小数范围内的，所以无理数是无限小数这句话是正确的。 ②无限小数是无理数。通过对比发现，这句话与第一句话交换了题设和结论的位置，无限小数的范围是比无理数的范围更大些的，比如无限小数里有一类“无限循环小数”是属于有理数范围的，而不是无理数，所以无限小数都是无理数这句话是错误的； ③带根号的数都是无理数。大家想想“带根号的数”是什么数，我们可以先举一些的具体数，比如之类的，是无理数，而是求4的算术平方根，可以化简为有理数2，是求9的算术平方根，可以化简为有理数3，所以“带根号的数”既包含有理数，也包含无理数，所以带根号的数都是无理数这句话是错误的。 实际上还有一种快速判断的方法，只要举出一个反例，比如，因为这个数满足“是个带根号”的数的题设，但不符合是“无理数”的结论，就可以说明这个命题不正确了。在今后的练习中大家可以尝试使用不同的方法进行判断. （四）对实数的认识 1、实数的概念 讲解：在我们认识的数里，有理数可以写成有限小数、无限循环小数，新学的无理数是无限不循环小数，但它们都是对现实世界中客观存在的量的反映。 所以我们将无理数与有理数归为一类，统称实数。现在我们之前的有理数的体系被大大的扩充了，在“实数”范围内继续研究及解决问题就是我们这一章的学习重点. 我们继续思考，实数可以怎么分类呢？ 我们类比有理数的分类，“有理数分为整数和分数” 将实数分分类. 2、 实数的分类 有理数里分为正有理数、0、负有理数，同样无理数里也分为正无理数、负无理数，注意0不可以归为无理数中. 教师提问题3：因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小关系对实数重新分类吗？ 讲解：注意分类的原则是“大小关系”，要按这个标准不重不漏的进行。实数的分类可以有不同的方法. 预计：学生讨论交流，得到如下分类： 3、典型例题 例：判断正误，并说明理由. ① 是无理数 ② 0 既不是有理数也不是无理数. 辨析： （1）因为是分数，它=0.142857142857循环，是无限循环的小数，属于有理数，所以这句话错误. 第二句话，实数按有理数、无理数的形式分类时，0既不是正有理数也不是负有理数，但0是属于有理数的，所以这句话是错的。 总结：判断一个数到底属于哪一类数系，要深入理解实数的分类体系. 例:在 0.23,,,, 0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）这五个数中，既是正实数也是无理数的数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：符合题意得为0.2020020002…，选A 例题: 把下列各数分别填到相应的集合中： . 有理数集合 无理数集合 例题 有一个数值转换器，操作如下图所示，则当输入的 x 为 81 时，输出的 y 是 ( ). A. B. C.3 D.9 分析：仔细阅读操作图，我们先来理解这个操作过程，输入一个x(x>0), 求它的算术平方根，如果这个算术平方根是无理数，则输出结果，如果是有理数，则返回，再次求这个有理数的算术平方根；如果是无理数则输出结果，如果还是有理数，则再次返回，一直到算术平方根是无理数，输出为止，也就是说y一定是个无理数，这题最后应选B. 4、认识实数价值 回顾一下我们对数的认识过程，引入负数后我们将数系扩充到有理数范围，引入无理数后我们将数系扩充到实数范围.数的范围不断扩大体现了人类认识的不断进步，实数的概念就是数学发展史的一个重要里程碑. 讲解无理数历史：公元前6世纪古希腊毕达哥拉斯学派的年轻数学家希帕索斯发现不是有理数，并由此引发了第一次数学危机，大家课下可以去阅读一下教材中58的资料，更详细了解有关无理数的历史知识.事实上无理数只是一个命名，并非“无理”，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映. 让学生从探究活动开始，体会有限小数(循环节为0)和无限循环小数与分数的联系，体会转化的数学思想. 为教师引出无理数概念做准备. 分层记忆概念，可降低难点，达到突出重点的目的. 结合数学史上关于无理数的故事，激发学生的兴趣. 通过自己编无理数的环节，加深学生对概念的理解。 学生抓住特点，还可以编出 这样的无理数. 总之概念是判断命题真假的重要依据. 加深学生对无理数实数的认识，初步形成对实数的整体认识。 无理数的发现引发了数学史上的第一次微机，是数学发展史的重要里程碑，引入无理数，经历了一个漫长而艰苦的过程，这个过程现了人类为追求真理而不懈努力的精神. 例题 巩固练习 练习1. 下列各数中的无理数是（ ）. A. B.3.14 C. D. 分析：这题主要依据是实数的概念及分类。 第一个数是，它可以化简为5，从而判断是个有理数；3.14很明显是有限小数，属于有理数；但是遇到分数比如，要知道分数还是有理数分类中的一类，可以马上判断是有理数，虽然还可以写出它的小数形式，发现它是无限循环小数，但显然时间会花费较多，所以还是依据分类判断会快点；最后一个是+1，是个无限不循环小数，而+1的结果应该还是一个无限不循环小数。 最终这道题的答案是选“D”. 2. 判断正误，并说明理由. ①实数包括正实数、0、负实数； ②无理数包括正无理数、0、负无理数； ③不带根号的数都是有理数. 分析：①实数按大小分类，0是其中一类，可以判断这句话是正确的； ②根据实数的分类，0属于有理数，所以这句话是错误的 ③反例：像0.1010010001（每隔两个1多一个0）…这个数是不带根号，它不是有理数，所以这句话是错误的. 3.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ －3.14，，1.732，，， ，，18， ，0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）. 讲解：这题主要是对概念要充分的理解，从数的小数形式入手更好，但是遇到分数比如，要知道分数还是有理数分类中的一类，可以马上判断是有理数.其余的我们一一来分析。最终这里有三个无理数：，其余的都是有理数。 (练习3的备用题)把下列各数填入相应的集合内： . ①无理数集合：{ …}； ②负实数集合：{ …}. 解答:①无理数集合：{…}； ②负实数集合：…}. 在挑正负实数时注意0既不是正数也不是负数，观察符号将这些数正确分类放入相应的集合中（点一下） 负实数集合：{}.；正实数集合： 4. 在下列每个圈里，至少填入三个适当的数. 有理数集合 无理数集合 解释：如果是自己选三个适当的数，那要注意选用简洁的、熟悉的数字填入对应的集合中。 5. 有一个数值转换器，操作如下图所示，则当输入的x为64时，输出的数值是__________. 仔细阅读操作图，我们先来理解这个操作过程，输入一个x, 求它的立方根，如果立方根是无理数，则输出结果，如果是有理数，则返回，再次求这个有理数的立方根；如果是无理数则输出结果，如果还是有理数，则再次返回，一直到立方根是无理数，输出为止. 答案是： 6.在实数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的平方根及立方根中,哪些是有理数？哪些是无理数？ 注意:数比较多，先列表整理，再观察求值，然后判断类型. 让学生能结合概念解决简单的问题，会辨析概念. 本题主要考查学生是否了解无理数及实数概念的含义，会对有关概念进行辨析. 本题主要考查学生是否会对实数进行分类. 学生积极建构知识的训练. 实际上学生在做这道题时将常用的无理数进行了梳理. 总结 1.了解无理数和实数的概念，梳理本节课的学习思路； 2.了解实数的分类，会在实数范围内对数分类整理. 回想一节课的重点， 培养学生归纳概括的能力. 作业 作业1.书上57页习题6.3复习巩固1、2两个题. 作业2.阅读书上58页《阅读与思考：为什么说不是有理数》. 落实学习成果，帮助学生对新学的无理数的数学史有所了解.