试真题分析(二)（上）【考百分kao100.com】.doc

第九讲 一试真题分析（二） 名人名言 希尔伯特 我们必须知道，我们必将知道． 这是年希尔伯特（D·Hilbert,1862~1943,德国数学家）在科尼斯堡讲演的最后一句话，题为《认识自然和逻辑》．无论从哪个角度看，这都是伟大而有决定意义的诗句，表达了数学家探索数学的决心和信心．正如年库朗（R.Courant,1988~1972,德国数学家）在纪念希尔伯特诞生周年大会上发表的演讲“我确信，希尔伯特那具有感染力的乐观主义，即使到今天也在数学中保持着它的生命力．唯有希尔伯特精神，才会引导数学继往开来，不断成功．”此外年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的演讲．他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了个最重要的数学问题．这个问题被称为“希尔伯特问题”，称为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响并积极地推动作用． 希尔伯特是一位正直的数学家，第一次世界大战前夕，他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字．战争期间，他敢于公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布（Darboux，1842~1917，法国数学家）．希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策．由于纳粹政府的反动政策日益加剧，许多科学家被迫移居外国，曾经盛极一时的哥廷根学派衰落了，希尔伯特也于年在孤独中逝世．然而，希尔伯特的精神却在历史深处发出永远的回响，那就是他在科尼斯堡演说的最后一句话：我们必须知道，我们必将知道． 知识点拨 一、空间中角和距离的计算 1．求异面直线所成角：平移法、向量法 2．求直线与平面所成角：定义法、用法向量 3．求二面角 ①用定义直接算； ②面积射影定理：设二面角的大小为（），平面内一个平面图形的面积为，在内的射影图形的面积为，则．（当为钝角时取“”）； ③法向量法 4．求点到平面的距离 ①直接计算从点到平面所引垂线段的长度； ②转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离； ③（体积法）转化为求一个棱锥的高，其中为棱锥体积，为底面面积，为底面上的高． ④在平面上取一点，求与平面的法向量的夹角的余弦，则点到平面的距离为． 5．解题思想与方法 ①空间想象能力；②数形结合能力；③平几与立几间的相互转化；④向量法． 二、三角函数 1．三角函数基础公式：诱导公式、积化和差、和差化积、半角公式、万能公式。 2．有关公式和定理 ①正弦定理、余弦定理； ②射影定理：； ③面积公式：； ④辅助角公式； ⑤若，则。 例题精讲 【例1】 （2009年全国高中数学联赛） 已知直线和圆，点在直线上，，为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围为 ． 【例2】 （2003年全国高中数学联赛） 将个半径都为的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于___________． 【例3】 （2007年全国高中数学联赛） 如图，在正四棱锥中，，则二面角的平面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【例4】 （2007年全国高中数学联赛） 已知正方体的棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于___________． 【例5】 （2004年全国高中数学联赛） 顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆的圆心，，垂足为，，垂足为，且，为的中点，则当三棱锥的体积最大时，的长是（ ） A． B． C． D． 【例6】 （2005年全国高中数学联赛） 内接于单位圆，三个内角、、的平分线延长后分别交此圆于、、．则的值为（ ） A． B． C． D． 【例7】 ⑴（2003年全国高中数学联赛） 若，则的最大值是（ ） A． B． C． D． ⑵（2007年全国高中数学联赛） 已知函数，则的最小值为__________． 【例8】 （2004年全国高中数学联赛） 已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为． ⑴ 求； ⑵ 证明：对于，若， 则． 大显身手 1． （2006年全国高中数学联赛） 设，则的值域为_________． 2． （2004年全国高中数学联赛） 在平面直角坐标系中，给定两点和，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为______． 3． （2008年全国高中数学联赛） 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是________． | 高二·数学·第9讲·联赛班·学生版 | 57