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第四讲 数论复习：不定方程二 本讲概述 主要内容：高次不定方程；指数型不定方程；无穷递降法。 主要方法：因式分解，同余性分析，无穷递降法。 例题精讲 【例1】（勾股数公式）二次方程 x2 + y2 = z2 (1) 的一切正整数解具有下面的形式： x = 2abd，y = (a2 - b2)d，z = (a2 + b2)d ； 或 x = (a2 - b2)d，y =2abd，z = (a2 + b2)d 。 其中a > b > 0，(a, b) = 1，a与b有不同的奇偶性。 【例2】证明：不定方程无整数解 【例3】 求方程(x - 1)! = xy - 1的满足x > 1的正整数解。 【例4】求所有满足的正整数三元组。 【例5】证明方程无整数解. 【例6】求方程的正整数解。 【例7】：试证：当时，不存在个连续自然数，使得它们的平方和是完全平方数. 【例8】证明：方程无正整数解。 【例9】 证明方程 x2 + y2 = x2y2 (1) 没有满足xy ¹ 0的整数解。 【例10】a2 + b2 = k(ab +1),a,b,k为正整数，证明k为完全平方数。 大显身手 1. 求方程2x - 3y = 1的正整数解。 2. 设x，y，z是勾股数，x是素数，证明：2z - 1，2(x + y + 1)都是平方数。 3. 求整数x，y，z，x > y > z，使x - y，x - z，y - z都是平方数。 4. 解不定方程：x2 + 3y2 = z2，x > 0，y > 0，z > 0，(x, y ) = 1。 5. 证明下面的不定方程没有满足xyz ¹ 0的整数解。 (ⅰ) x2 + y2 + z2 = x2y2； (ⅱ) x2 + y2 + z2 = 2xyz。 6. 求方程x2 + y2 = z4的满足(x, y ) = 1，2½x的正整数解。 7. 设2n + 1个有理数a1, a2, L, a2n + 1满足条件P：其中任意2n个数可以分成两组，每组n个数，两组数的和相等，证明： a1 = a1 = L = a2n + 1。 3 高二 ·联赛班·寒假班第四讲·学生版