圆：与圆有关的位置关系（答案版）.doc

2021全国中考真题分类汇编（圆） ----与圆有关的位置关系 一、选择题 1. （2021•山东省临沂市）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（　　） A．110° B．120° C．125° D．130° 【分析】由切线的性质得出∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝110°，再利用圆周角定理可求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB． 【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD， ∵AP、BP是⊙O切线， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°， ∴∠ADB＝AOB＝55°， 又∵圆内接四边形的对角互补， ∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°． 故选：C． 2. （2021•山东省泰安市）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（　　） A．50° B．48° C．45° D．36° 【分析】连接AD,根据切线的性质得到AD⊥BC,根据垂直的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90°,根据直角三角形的性质得到∠B＝30°,根据三角形的内角和定理得到∠GAD＝60°,根据等腰三角形的性质得到∠AED＝∠ADE＝72°,根据圆周角定理即可得到结论。 【解答】解：连接AD, ∵BC与⊙A相切于点D， ∴AD⊥BC, ∴∠ADB＝∠ADC＝90°, ∵AB＝6,AG＝AD＝3, ∴AD＝AB, ∴∠B＝30° ∴∠GAD＝60°, ∵∠CDE＝18°， ∴∠ADE＝90°﹣18°＝72°, ∵AD＝AE, ∴∠AED＝∠ADE＝72°, ∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°, ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+36°＝96°, ∴∠GFE＝GAE＝96°＝48°, 故选：B． 3. （2021•上海市）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ） A. 点C在圆A外，点D在圆A内 B. 点C在圆A外，点D在圆A外 C. 点C在圆A上，点D在圆A内 D. 点C在圆A内，点D在圆A外 【答案】C 【解析】 【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可 【详解】 ∵圆A与圆B内切，，圆B的半径为1 ∴圆A的半径为5 ∵<5 ∴点D在圆A内 在Rt△ABC中， ∴点C在圆A上 故选：C 4. （2021•山西）如图，在eO 中，AB 切eO 于点 A，连接 OB 交eO 于点 C，过点 A 作 AD//OB 交eO 于点 D，连接 CD.若ÐB = 50° ，则ÐOCD 为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 5. （2021•四川省凉山州）如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可． 【详解】解：连接QC和PC， ∵PQ和圆C相切， ∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值， ∴当CP最小时，PQ最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB， ∵AB=BC=AC=4， ∴AP=BP=2， ∴CP==， ∵圆C的半径CQ=， ∴PQ==3， 故答案为：3． 6. （2021•泸州市）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，根据勾股定理求得，即可得AD=BG=2，BC= 8，再证明△HAO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得AH=BC=8，即可求得HD= 10；在Rt△ABD中，根据勾股定理可得；证明△DHF∽△BCF，根据相似三角形的性质可得，由此即可求得． 【详解】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H， ∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E， ∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°， ∵DG⊥BC， ∴四边形ABGD为矩形， ∴AD=BG，AB=DG=8， 在Rt△DGC中，CD=10， ∴， ∵AD=DE，BC=CE，CD=10， ∴CD= DE+CE = AD+BC =10， ∴AD+BG +GC=10， ∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8， ∵∠DAB=∠ABC=90°， ∴AD∥BC， ∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO， ∵OA=OB， ∴△HAO≌△BCO， ∴AH=BC=8， ∵AD=2， ∴HD=AH+AD=10； 在Rt△ABD中，AD=2，AB=8， ∴， ∵AD∥BC， ∴△DHF∽△BCF， ∴， ∴， 解得，． 故选A． 7. （2021•浙江省嘉兴市）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【解答】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外，点B在⊙O上， ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D． 8. （2021•湖北省荆门市）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（　　） A．30° B．35° C．45° D．55° 【分析】连接OA，根据切线的性质得到∠PBO＝∠PAO＝90°，根据四边形的内角和等于360°得到∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：连接OA， ∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点， ∴∠PBO＝∠PAO＝90°， ∵∠P＝70°， ∴∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠BOA）＝（180°﹣110°）＝35°， 故选：B． 9. （2021•福建省）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB＝6，PC＝4，则sin∠CAD等于（　　） A． B． C． D． 10. （2021•吉林省长春市）如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 11. （2021•广西贺州市）如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】连接OD，EF，可得OD∥BC，EF∥AC，从而得，，进而即可求解． 【详解】解：连接OD，EF， ∵与相切于点，BF是的直径， ∴OD⊥AC，FE⊥BC， ∵， ∴OD∥BC，EF∥AC， ∴，， ∵，， ∴OD=OB=2，AO=5-2=3，BF=2×2=4， ∴，， ∴BC=，BE=， ∴CE=-=． 故选：B． 12. （2021•贵州省贵阳市）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　） A．144° B．130° C．129° D．108° 【分析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论． 【解答】解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°， ∴∠E＝∠D＝108°， ∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点， ∴∠OAE＝∠OCD＝90°， ∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°， 故选：A． 13. （2021•湖南省娄底市）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论． 【详解】如下图所示，连接，过点作， 此时点坐标可表示为， ∴，， 在中，， 又∵半径为5， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∵左右两侧都有相切的可能， ∴A点坐标为， 故选：D． 二．填空题 1. （2021•岳阳市）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则． 【答案】①②④⑤ 2. （2021•江苏省南京市） 如图，是五边形外接圆的切线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由切线的性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半． 【详解】如图：过圆心连接五边形的各顶点， 则 ． 故答案为：． 3. （2021•陕西省）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切）　3+1　． 【分析】当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可． 【解答】解：当⊙O与CB、CD相切时，如图， 过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F， ∴OE＝OF＝1， ∴OC平分∠BCD， ∵四边形ABCD为正方形， ∴点O在AC上， ∵AC＝BC＝5OE＝， ∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3， 即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+3， 故答案为3+2． 4. （2021•湖北省荆州市）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E．若AD＝4，DF＝，则BE＝　　． 【分析】根据垂径定理得到AD＝DC，根据三角形中位线定理求出OC，根据勾股定理求出OD，证明△AOD∽△AEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵OD⊥AC，AD＝4， ∴AD＝DC＝4， ∵DF∥OC，DF＝， ∴OC＝2DF＝5， 在Rt△COD中，OD＝＝3， ∵BE是⊙O的切线， ∴AB⊥BE， ∵OD⊥AD， ∴∠ADO＝∠ABE， ∵∠OAD＝∠EAB， ∴△AOD∽△AEB， ∴＝，即＝， 解得：BE＝， 故答案为：． 5. （2021•青海省）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙的半径是 　6.5cm或2.5cm　． 【分析】点应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点P在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离． 【解答】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm， ∴直径AB＝4cm+9cm＝13cm， ∴半径r＝6.5cm； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm， ∴直径AB＝9cm﹣4cm＝5cm， ∴半径r＝2.5cm； 故答案为：6.5cm或2.5cm． 6. （2021•浙江省杭州）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，T为切点，连结OT，则PT=　　． 【分析】根据圆的切线性质可得出△OPT为直角三角形，再利用勾股定理求得PT长度． 【解答】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点， ∴OT⊥PT， 在Rt△OPT中，OT═1， ∴PT═══， 故：PT═． 7. （2021•浙江省温州市）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝　85　度． 【分析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，连接OO′，如图，再根据旋转的性质得∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，则判断△OO′B为等边三角形得到∠OBO′＝60°，所以∠ABA′＝60°，然后利用三角形外角性质计算∠OCB． 【解答】解：∵⊙O与△OAB的边AB相切， ∴OB⊥AB， ∴∠OBA＝90°， 连接OO′，如图， ∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B， ∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′， ∵OB＝OO′， ∴△OO′B为等边三角形， ∴∠OBO′＝60°， ∴∠ABA′＝60°， ∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°． 故答案为85． 8. （2021•浙江省温州市）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2）　6﹣2　；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，C′,以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点A′，B′，则当点A′，B′，C′在圆内或圆上时。圆的最小面积为 　(16﹣8)π　． 【分析】如图，连接FH,由题意可知点A′,O,C′在线段FH上,连接OB′,B′C′,过点O作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°,解直角三角形求出JK,OH,B′H,再求出OB′2,可得结论． 【解答】解：如图，连接FH,O,C′在线段FH上,B′C′． ∵大正方形的面积＝12， ∴FG＝GH＝2, ∵EF＝HK＝2, ∴在Rt△EFG中，tan∠EGF＝＝＝, ∴∠EGF＝30°, ∵JK∥FG, ∴∠KJG＝∠EGF＝30°, ∴d＝JK＝GK＝﹣6)＝6﹣2, ∵OF＝OH＝FH＝, ∴OC′＝﹣, ∵B′C′∥QH,B′C′＝2, ∴∠OC′H＝∠FHQ＝45°, ∴OH＝HC′＝﹣2, ∴HB′＝2﹣(﹣6)＝3﹣, ∴OB′5＝OH2+B′H2＝(﹣1)2+(8﹣)2＝16﹣3, ∵OA′＝OC′＜OB′, ∴当点A′，B′，圆的最小面积为(16﹣8． 故答案为：6﹣2，(16﹣8． 9. （2021•北京市）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝　 　． 三、解答题 1. （2021•甘肃省定西市）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值． 【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出,∠OCA＝∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，进而得到∠OCD＝90°，即可得出结论； （2）根据平行线分线段成比例定理得到＝＝,设BD＝2x,则OB＝OC＝3x,OD＝OB+BD＝5x,在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x＝1,即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB＝∠EOC,在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC＝2,即tan∠OCB＝2． 【解答】（1）证明：∵OA＝OC, ∴∠OAC＝∠OCA, ∵∠DCB＝∠OAC, ∴∠OCA＝∠DCB, ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°, ∴∠OCA+∠OCB＝90°, ∴∠DCB+∠OCB＝90°, 即∠OCD＝90°, ∴OC⊥DC, ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵OE∥AC， ∴＝, ∵CD＝4，CE＝6， ∴＝＝, 设BD＝2x,则OB＝OC＝3x,OD＝OB+BD＝5x, ∵OC⊥DC, ∴△OCD是直角三角形， 在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2, ∴(3x)2+42＝(5x)2, 解得，x＝1, ∴OC＝3x＝3,即⊙O的半径为3， ∵BC∥OE, ∴∠OCB＝∠EOC, 在Rt△OCE中，tan∠EOC＝＝＝2, ∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2． 2.（2021•湖南省常德市）如图，在中，，以的中点O为圆心，为直径的圆交于D，E是的中点，交的延长线于F． （1）求证：是圆O的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形性质，直角三角形证明即可； （2）设OD=x，求证，列比例求解即可． 【详解】解：证明：连接OD，如图： ∵AB为直径， ∴， ∵点E是BC的中点， ∴ED=EB， ∴， ∵， ∴， ∵OA=OD， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴是圆O的切线． （2）∵E是BC中点，BC=4, ∴BE=2， ∴， 在和中，，， ∴， ∴设OD为x， 则， 解得：, 则． 3.（2021•湖南省衡阳市）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长． 【分析】(1)连结OD，利用已知条件证明OD⊥CD即可求证CD是⊙O的切线； (2)连结OE，根据∠BDE＝30°，E为的中点即可求出∠BOD度数以及求证三角形EOD为等边三角形，进而求出∠DOC度数，再利用tan∠DOC的值即可求出CD的长． 【解答】解：（1）证明：连结OD，如图所示： ∵AB是直径， ∴∠BDA＝90°， ∴∠BDO+∠ADO＝90°， 又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B， ∴∠B＝∠BDO＝∠CDA， ∴∠CDA+∠ADO＝90°， ∴OD⊥CD，且OD为⊙O半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）连结OE，如图所示： ∵∠BDE＝30°， ∴∠BOE＝2∠BDE＝60°， 又∵E为的中点， ∴∠EOD＝60°, ∴△EOD为等边三角形， ∴ED＝EO＝OD＝2, 又∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝120°， ∴∠DOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°, 在Rt△DOC中，∠DOC＝60°,OD＝2， ∴tan∠DOC＝tan60°＝＝＝, ∴CD＝2． 4.（2021•怀化市）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求AD的长． 【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD∥OC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线； （2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝6，再证明△DAC∽△CAB，得＝，即＝，从而可得AD＝． 【解答】（1）证明：连接OC，如图： ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠CAO， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC， ∵AD⊥DC， ∴CO⊥DC， ∴CD是⊙O的切线； （2）∵E是BC的中点，且OA＝OB， ∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE， ∵OE＝3， ∴AC＝6， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°＝∠ADC， 又∠DAC＝∠CAB， ∴△DAC∽△CAB， ∴＝，即＝， ∴AD＝． 5.（2021•江苏省连云港） 如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分． （1）求证：是切线； （2）延长、相交于点E，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明，可得，即可得证； （2）由已知条件可得，可得出，进而得出即可求得； 【详解】（1）∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴是的切线． （2）由（1）可知，， 又， ∴． ∵，且， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴ 6. （2021•宿迁市）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD= BD． （1）判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由； （2）已知AB=40，求的半径． 【答案】（1）直线CD与圆O相切，理由见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接 证明可得 从而可得答案； （2）由 设 则 再求解 再表示 再利用 列方程解方程，可得答案． 【详解】解：（1）直线CD与圆O相切，理由如下： 如图，连接 为的半径， 是的切线． （2） 设 则 （负根舍去） 的半径为： 7.（2021•山东省聊城市）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）， 【解析】 【分析】（1）因为AE是直径，所以只需证明EFAE即可； （2）因EF∥BG，可利用，将要求的EF的长与已知量建立等量关系；因四边形ABCD是圆内接四边形，可证得，由此建立CD与已知量之间的等量关系． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC， ． 又∵AE是O的直径， ． ． ∵AB=AC， ∴AEBC． ∴∠AHC=90°． ∵EF∥BC， ∴∠AEF=∠AHC=90°． ∴EFAE． ∴EF是O的切线． （2）如图所示，连接OC，设O的半径为r． 在Rt△COH中， ∵， 又∵OH=AH-OA=3-r， 解得，． ∵EF∥BC， ∴． ∵四边形ABCD内接于， 8.（2021•湖北省随州市）如图，是以为直径的上一点，过点的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，垂足为点． （1）求证：； （2）若的直径为9，． ①求线段的长； ②求线段的长． （1）见解析；（2）①；② 【分析】 （1）连接，由是的切线，可得，可证，可得．由，可得即可； （2）①连接，由的直径为9，，可求．可证，由，． ②由（1）可知，可证∽，由性质可得，解方程得． 【详解】 （1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴； （2）①连接， ∵的直径为9， ∴， 在中， ∵， ∴． 又∵，且， ∴， 在中， ∵， ∴． ②由（1）可知， ∴∠DOE=∠FBE，∠ODE=∠BFE， ∴∽， ∴，即， 解得． 经检验符合题意． 9.（2021•湖北省宜昌市）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1． ①求的长； ②求AD的长． 【分析】（1）过点O作OM⊥BC于点M，证明OM＝OE即可； （2）①先求出∠HOE＝120°，再求出OH＝4，代入弧长公式即可； ②过A作AN⊥BD，由△DOG∽△DAN，对应边成比例求出AD的长． 【解答】解：（1）证明：如图1，过点O作OM⊥BC于点M， ∵BD是菱形ABCD的对角线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵OM⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OM， ∴BC是⊙O的切线． （2）①如图2， ∵G是OF的中点，OF＝OH， ∴OG＝OH， ∵AB∥CD，OE⊥AB， ∴OF⊥CD， ∴∠OGH＝90°， ∴sin∠GHO＝， ∴∠GHO＝30°， ∴∠GOH＝60°， ∴∠HOE＝120°， ∵OG＝2， ∴OH＝4， ∴由弧长公式得到的长：＝． ②如图3，过A作AN⊥BD于点N， ∵DG＝1，OG＝2，OE＝OH＝4， ∴OD＝，OB＝2，DN＝， ∴△DOG∽△DAN， ∴， ∴， ∴AD＝． 10.（2021•山东省菏泽市）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE＝FP． （1）求证：FE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为8，sinF＝，求BG的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠AEO，∠FPE＝∠FEP，由余角的性质可求∠FEP+∠AEO＝90°，可得结论； （2）由余角的性质可求∠F＝∠EOG，由锐角三角函数可设EG＝3x，OG＝5x，在Rt△OEG中，利用勾股定理可求x＝2，即可求解． 【解答】解：（1）如图，连接OE， ∵OA＝OE， ∴∠A＝∠AEO， ∵CD⊥AB， ∴∠AHP＝90°， ∵FE＝FP， ∴∠FPE＝∠FEP， ∵∠A+∠APH＝∠A+∠FPE＝90°， ∴∠FEP+∠AEO＝90°＝∠FEO， ∴OE⊥EF， ∴FE是⊙O的切线； （2）∵∠FHG＝∠OEG＝90°， ∴∠G+∠EOG＝90°＝∠G+∠F， ∴∠F＝∠EOG， ∴sinF＝sin∠EOG＝＝， 设EG＝3x，OG＝5x， ∴OE＝＝＝4x， ∵OE＝8， ∴x＝2， ∴OG＝10， ∴BG＝10﹣8＝2． 11. （2021•四川省成都市）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长； （3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长． 【分析】（1）连接OC,由AB为⊙O的直径，可得∠A+∠ABC＝90°，再证明∠ABC＝∠BCO,结合已知∠BCD＝∠A，可得∠ACB＝90°，从而证明CD是⊙O的切线； （2）过C作CM⊥AB于M,过B作BN⊥CD于N,由△ABC的面积为2,可得CM＝2，由∠BCM＝∠A得＝，可解得BM＝﹣1，根据△BCM≌△BCN，可得CN＝CM＝2，再由△DBN∽△DCM,得＝＝即＝＝，解DN＝2﹣2，故CD＝DN+CN＝2; （3）过C作CM⊥AB于M,过E作EH⊥AB于H,连接OE,由CM⊥AB，EH⊥AB，可得＝＝,而＝，故HE＝1，MF＝2HF,Rt△OEH中，OH＝2，可得AH＝OA﹣OH＝﹣2，设HF＝x,则MF＝2x,则(﹣1)+2x+x+(﹣2)＝2,可解得HF＝1,MF＝2,从而BF＝BM+MF＝(﹣1)+2＝+1． 【解答】（1）证明：连接OC,如图： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°， ∵OB＝OC, ∴∠ABC＝∠BCO, 又∠BCD＝∠A， ∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠ACB＝90°， ∴OC⊥CD, ∴CD是⊙O的切线； （2）过C作CM⊥AB于M,过B作BN⊥CD于N,如图： ∵⊙O的半径为， ∴AB＝2， ∵△ABC的面积为2, ∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2， ∴CM＝2， Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA, Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA, ∴∠BCM＝∠A, ∴tan∠BCM＝tanA,即＝, ∴＝, 解得BM＝﹣1，(BM＝+1已舍去）， ∵∠BCD＝∠A,∠BCM＝∠A, ∴∠BCD＝∠BCM, 而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC, ∴△BCM≌△BCN(AAS), ∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1， ∵∠DNB＝∠DMC＝90°,∠D＝∠D, ∴△DBN∽△DCM, ∴＝＝, 即＝＝， 解得DN＝2﹣2， ∴CD＝DN+CN＝2; （3）过C作CM⊥AB于M,过E作EH⊥AB于H,连接OE,如图： ∵CM⊥AB，EH⊥AB， ∴＝＝, ∵＝， ∴＝＝， 由（2）知CM＝2，BM＝﹣1， ∴HE＝1，MF＝2HF, Rt△OEH中，OH＝＝＝2， ∴AH＝OA﹣OH＝﹣2， 设HF＝x,则MF＝2x, 由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2， ∴(﹣1)+2x+x+(﹣2)＝2, 解得：x＝1, ∴HF＝1,MF＝2, ∴BF＝BM+MF＝(﹣1)+2＝+1． 12.（2021•四川省乐山市）如图，已知点是以为直径的圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接、，根据已知条件证明，即可得解； （2）由（1）可得，得到，令，根据正切的定义列式求解即可； 【详解】解：（1）证明：连结、． ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即是的切线． （2）由（1）知，，又， ∴， ∴，即． 令，∴． 即，即． ∵，即， ∴， 解得或（舍）， ∴的半径为． 13. （2021•四川省凉山州）如图，在中，，AE 平分交BC于点E，点D在AB上，．是的外接圆，交AC于点F． （1）求证：BC是的切线； （2）若的半径为5，，求． 【答案】（1）见解析；（2）20 【解析】 【分析】（1）连接OE，由OA=OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由AE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到AC与OE平行，再根据两直线平行同位角相等及∠C为直角，得到OE与BC垂直，可得出BC为圆O的切线； （2）过E作EG垂直于OD，利用AAS得出△ACE≌△AGE，得到AC=AG=8，从而可得OG，利用勾股定理求出EG，再利用三角形面积公式可得结果． 【详解】解：（1）证明：连接OE， ∵OA=OE， ∴∠1=∠3， ∵AE平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∴OE∥AC， ∴∠OEB=∠C=90°， 则BC为圆O的切线； （2）过E作EG⊥AB于点G， 在△ACE和△AGE中， ， ∴△ACE≌△AGE（AAS）， ∴AC=AG=8， ∵圆O的半径为5， ∴AD=OA+OD=10， ∴OG=3， ∴EG==4， ∴△ADE的面积==20． 14.（2021•泸州市）如图，ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC （1）求证：； （2）若，于点，，，求的值 【答案】（1）证明见详解；（2）18． 【解析】 【分析】（1）连接，根据是⊙O的切线，AE是⊙O的直径，可得，利用，得到，根据圆周角定理可得，则可证得； （2）由（1）可知，易得，则有,则可得，并可求得，连接，易证，则有，可得． 【详解】解：（1）连接 ∵是⊙O的切线，AE是⊙O的直径， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ 根据圆周角定理可得： ∴， ∴； （2）由（1）可知， ∵ ∴ ∴ ∴, ∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵中， ∴， 如图示，连接 ∵， ∴ ∴ ∴． 15. (2021•四川省自贡市)如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EF． 【解析】 【分析】（1）连接OD，BD，由圆的切线的性质结合圆周角定理可求得∠EDA=∠ABD，再利用等角的余角相等，可证明结论； （2）如图，连接BD、BF，利用平行线的性质以及圆周角定理证得∠C=∠ADF，根据（1）的结论可证明△ADF△ACD，可证明结论； （3）设OA=OD=x，利用三角函数的定义和勾股定理得到OC=4x，CD，AC =5x，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 详解】（1）证明：连接OD，BD， ∵ED是⊙O的切线，D为切点， ∴OD⊥ED， ∴∠ODA+∠EDA=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ODA+∠ODB=90°， ∴∠ODB=∠EDA， ∵OB=OD， ∴∠ODB=∠OBD， ∴∠EDA=∠ABD， ∵， ∴∠E=90°， ∴(等角余角相等)； （2）如图，连接BD、BF， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∴BF∥CF， ∴∠C=∠ABF=∠ADF， 由（2）得， ∴△ADF△ACD， ∴, ∴； （3）过D作DH⊥AB于H，连接OD，BD， 设OA=OD=x， 在Rt△ODC中，， ∴OC=4x， 则CD=， AC=OA+OC=5x， 由（2）得，即， ∵∠C+∠DOC=90°，∠ODH+∠DOH=90°， ∴∠ODH=∠C， 在Rt△ODH中，， ∴OH=， ∴DH=， 由（1）得， DH=DE=， ∵∠EFD=∠ABD(圆内接四边形外角等于内对角)， 由（1）得∠EDA=∠ABD， ∴∠EFD=∠EDA， ∴△EAD△EDF， ∴，即， ∴EF， 在Rt△DEF中，，即， 解得：， ∴EF． 16. （2021•天津市） 已知内接于，点D是上一点． （Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作切线，与的延长线交于点E，求的大小． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由圆周角定理的推论可知，，即可推出；由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出，从而求出． （Ⅱ）连接，由平行线的性质可知．由圆内接四边形的性质可求出．再由三角形内角和定理可求出．从而由圆周角定理求出．由切线的性质可知．即可求出． 【详解】（Ⅰ）为的直径， ∴． ∵在中，， ∴； ∵， ∴． ∴． （Ⅱ）如图，连接