专题2 第3讲.docx

第3讲　空间中的平行与垂直问题 例4　如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD. (1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD. 审题破题　(1)根据中位线找线线平行关系，再利用线面平行的判定定理．(2)先利用线面垂直的判定定理，再利用性质定理． 证明　(1)连接AC，则F是AC的中点，又∵E为PC的中点， ∴在△CPA中，EF∥PA， 又∵PA⊂平面PAD， EF⊄平面PAD， ∴EF∥平面PAD. (2)∵平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， 又∵CD⊥AD， ∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA. 又PA＝PD＝AD， ∴△PAD是等腰直角三角形， 且∠APD＝90°，即PA⊥PD. 又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD， 又∵PA⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PCD. 第一步：将题目条件和图形结合起来； 第二步：根据条件寻找图形中的平行、垂直关系； 第三步：和要证结论相结合，寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系； 第四步：严格按照定理条件书写解题步骤. 跟踪训练4　(2013·山东)如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求证：平面EFG⊥平面EMN. 证明　(1)方法一　取PA的中点H，连接EH，DH. 又E为PB的中点， 所以EH綊AB. 又CD綊AB，所以EH綊CD. 所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH. 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD. 所以CE∥平面PAD. 方法二　连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝AB. 又CD＝AB，所以AF＝CD. 又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD， 又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD. 因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA. 又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD. 因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD. 又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD. (2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA. 又因为AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG. 又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG. 所以AB⊥平面EFG. 又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD， 又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG. 又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.