数学（理科）试题.docx

湘豫名校联考（2022年5月） 数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位，）为实数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数满足约束条件，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 近年来，我国人口老龄化在不断加速，年至年，我国老年（岁及以上）抚养比逐年攀升．下图为国家统计局对年中国岁及以上人口数量与老年抚养比统计． 根据上图进行分析，下列说法不正确的是（ ） A. 年中国岁及以上人口数量为亿，同比年增长了约 B. 年老年抚养比为，较年增加了 C. 年的老年抚养比增速不低于年的老年抚养比增速 D. 年中国岁及以上人口数量的极差为亿，中位数为亿 5. 已知的展开式中所有项的系数之和为，则该展开式中项的系数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，为正方形的对角线与的交点，则下列结论不正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数部分图象如图所示．其中阴影部分的面积为，则函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，点为抛物线上一点，为坐标原点，满足，且直线与直线相交于点，则（ ） A. B. C. D. 11. 在直三棱柱中，，，点为的中点，则四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，若对任意的，都有成立，则整数a的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第Ⅱ卷（非选择题共 90分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数为奇函数，则______． 14. 在正六边形中，已知点，，则点坐标为______． 15. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为，东畔长为，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为______．（注：） 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C相交于A，B两点，且点A在x轴上方，若，，则双曲线C的离心率的取值范围是______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 某医院为筛查某种疾病，需要检验一项血液指标是否为阳性． （1）现有份血液样本，其中有份样本为阳性．若采取逐份检验的方式，求恰好经过次检验就能把阳性样本全部找出来的概率； （2）现有份血液样本送检，该医院打算分别采用甲试剂检验其中的份，采用乙试剂检验另外的份，检验结果如下表： 使用甲试剂 使用乙试剂 合计 阴性 阳性 合计 根据上面的列联表判断，是否有的把握认为检验结果与使用甲、乙试剂的选择有关． 附： ，其中． 19. 已知数列的前项和为，，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 21. 如图，在四棱锥中，平面PAB，平面PAB，．． （1）求证：平面平面ABCD； （2）求平面PCD与平面PAD所成锐二面角的余弦值． 23. 已知椭圆的四个顶点构成的平行四边形的周长为，短轴顶点与焦点构成的平行四边形的周长为12． （1）求椭圆C的标准方程； （2）分别过椭圆的左、右顶点，作直线，，与椭圆C分别相交于点M，N（M，N分别在x轴的上方与下方），与y轴分别相交于点P，Q，若直线MN恒过定点，且（O为坐标原点），求的值． 25. 已知函数（，e为自然对数的底数）． （1）求函数的极值； （2）若方程在区间内有两个不相等的实数根，证明：． （二）选考题：共10分．请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 选修4-4：坐标系与参数方程 27. 在平面直角坐标系中，直线参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的圆心为，半径为． （1）求直线和圆极坐标方程； （2）若直线与圆相交于两点，求值． 选修4-5：不等式选讲 29. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司