上高二中2022届高三月考理科数学答案.docx

上高二中2022届高三月考答案（理科数学） 1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．A 7．B 8．A 9．B 10．C 11．B 12．C 13．-80 14． 15． 16．2 17．(1) (2)， 解：在中，由正弦定理，可得， 又由，得，即， 又因为，可得. (2)解：由（1）得，在中，，， 由余弦定理有，故. 由正弦定理，即，可得. 又因为，故. 因此，. 所以. 18．(1)证明见解析(2) (1) 如图， 取AC中点G，连接FG和EG，由已知得，且． 因为F，G分别为AB，AC的中点，所以，且 所以，且． 所以四边形DEGF是平行四边形． 所以． 因为翻折的，易知． 所以翻折后，． 又因为，EA，平面AEC， 所以平面AEC． 因为， 所以平面AEC． 因为平面AEC，所以． 因为ACE是等边三角形，点G是AC中点，所以 又因为，AC，平面ABC． 所以平面ABC． 因为，所以平面ABC． (2) （方法一）如图， 过点E作，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设，则，，，，则，，， 因为平面AEC．所以是平面AEC的法向量， 设面ACD的法向量为，则 ，即，解得． 取，得． 因为二面角D-AC-E为，所以， 解得，所以，． 记直线AB与平面ACD所成角为， 则， 所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为． （方法二）如图， 连接DG，因为平面AEC，平面AEC，所以． 又因为，，DE，平面DEG．所以平面DEC． 因为EG，平面DEG，所以，，所以∠DGE是二面角D-AC-E的平面角，故． 由△ACE是边长为2的等边三角形，得， 在RtDGE中，，所以，． 过点F作，垂足为I， 因为平面DEGF，平面ACD，所以平面平面ACD． 又因为平面平面，平面DEGF，且， 所以平面ACD． 连接AI，则∠FAI即为直线AB与平面ACD所成的角． 在Rt△DFG中，，，得，由等面积法得，解得． 在RtAFG中，，，所以． 在RtFAI中，， 所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为． 19．(1) (2)小李应选择路线1；理由见解析 (1)设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则， 所以至少遇到一个红灯的事件为， 由对立事件概率公式， 得， 所以若小李下班后选择路线1驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为． (2)设路线1累计增加时间的随机变量为，则， 所以， 设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，， 设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2，则 ， ， ， 所以． 因为， 所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小，小李应选择路线1． 20．(1)(2)证明见解析 (1)解：设，由题意知，所以，． 将代人椭圆方程，得， 当轴时，，解得， 所以，，椭圆C的标准方程为． (2)易得，． 设点，则， 所以直线AP的方程是， 当时， 所以点Q的坐标为． 当轴时， 可得，，， 故． 当PF与x轴不垂直时，，， 所以． 因为，所以， 所以 ， 又因为，，所以， 即． 21．(1)，证明见解析(2)证明见解析 (1)令，得．所以或．即或． 因为点P在点Q的左侧，所以，． 因为， 所以，得点P处的切线方程为，即． 当时，， 因为，且，所以，所以，即． 所以， 所以． (2)不妨设，且只考虑的情形． 因为，所以． 所以点Q处的切线方程为，记， 令，， 设，则． 所以单调递增． 又因为， 所以，当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以在时有极小值，也是最小值， 即，所以当时，． 设方程的根为，则． 易知单调递增，由，所以． 对于（1）中，设方程的根为，则． 易知单调递减，由（1）知，所以． 所以． 因为，易知时，，故；当时，，所以， 所以， 所以． 记，，则恒成立． 所以单调递增，因为，， 所以存在使得． 所以，当时．；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，，由函数图象知当方程（t为实数）有两个正实根时，， 所以． 所以， 即． 22．(1)2 (2) (1)曲线的极坐标方程为和. 设. . (2)设,则. 当,即,等号成立. 所以的最大值为. 23．(1)证明见详解；(2)证明见详解． (1)由题意，因为，且， 所以，当且仅当时，取“=”， 所以，所以． (2)由， 所以 ， ，所以， 所以，所以， 所以． 答案第8页，共8页