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吉林市普通中学2021—2022学年度高中毕业班第三次调研测试 文科数学参考答案 一、 选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A B D C C A B A C D 12. 解析：当时，由不等式得最大； 下面比较和. 构造函数，定义域为，则， 设，则. 易知在上是减函数. . 即在上是增函数. ，即在上是增函数. . 即. 综上， 二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分， 第二个空填对得3分. 13. 14. 15. ①③ 16. (2分)， （3分） （第2个空,写不等式形式也给分） 17． 【解析】 （Ⅰ）证明：. 又，. 即 4分 平面平面 平面 6分 （Ⅱ）法一： 由（Ⅰ）可知，平面 所以即为三棱锥的高 平面 9分 在中， 所以 即三棱椎的体积为 12分 法二：过作于 由（Ⅰ）可知，平面且平面 所以平面平面，平面平面，又平面 所以平面，所以即为三棱锥的高. 9分 又平面 即三棱椎的体积为 12分 （法二需证EF是高，只做垂直未证明扣2分） 18． 【解析】 （Ⅰ）根据已知条件，可得列联表如下： 男性 女性 合计 喜欢冰雪运动 (注：1分) 不喜欢冰雪运动 (注：1分) 合计 3分 的观测值 5分 所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“喜欢冰雪运动”与“性别”有关系； 6分 （此处值接近，其余作答正确，仅扣1分） （Ⅱ）设“获得一等奖的两人年龄都在岁到岁之间”为事件 8分 利用分层抽样的方法抽取，在岁以上的人员中抽取人，记其为；在20岁到40岁 之间的人员中抽取人，记其为；在岁以下的人员中抽取人，记其为 在抽奖的人中人获得一等奖的基本事件为： 共种 满足条件的基本事件为：共种 10分 所以 即获得一等奖的两人年龄都在岁到岁之间的概率为. 12分 19. 【解析】 （Ⅰ） 由正弦定理得 2分 即 6分 （此处，由角之间的关系算对，都给满分） （Ⅱ）方法一： 9分 12分 方法二：在中，由余弦定理： 8分 在中，由正弦定理， 在中，由正弦定理， , （此处需要证明线段的比例关系，也可以用证明，但此次考试未证明不扣分） 在中，由余弦定理： 设，则 即 解得或 11分 中，由余弦定理：是钝角 在中 12分 方法三：在中，由正弦定理， 在中，由正弦定理， , 8分 （此处需要证明线段的比例关系，也可以用证明，但此次考试未证明不扣分） 10分 12分 （其他方法做对，给满分） 20.【解析】 （Ⅰ）由已知： 2分 椭圆的离心率 4分 椭圆的标准方程为 5分 （Ⅱ）当直线斜率存在时，设直线方程:，， 直线与圆相切 圆心到直线的距离 7分 联立方程组得， ， 9分 11分 当直线斜率不存在时，易知: 联立方程组得， ，即. 综上所述， 12分 （此处，直线设法不同，做对都给分） 【教学建议】 1. 该题可变式[1].椭圆，直线与椭圆交于两点，且与圆相切，求证:为定值； 2. 通过两题归纳得出，时，（定值）； 3. 该题可变式[2].双曲线，直线与双曲线交于两点，且与圆相切，求证:为定值； 4. 通过类比椭圆，归纳得出，双曲线中的结论，当时，（定值）. 21.【解析】 解：（Ⅰ）的定义域为， 2分 当时，恒成立，在上单调递增 3分 当时，令，，令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 5分 （建议：书写综上所述，即下结论，本次考试不写不扣分） （Ⅱ）法一：当时，，定义域为 7分 令 在上单调递增 且 ，使 9分 在上单调递减，在上单调递增. 易知在上单调递减 即证. 12分 法二：欲证，只需证 即证 7分 令 在上单调递减，在上单调递增. 9分 再令 在上单调递增，在上单调递减. 故成立. 12分 法三：令 在上单调递增，在上单调递减. 即 7分 ① 令 9分 在上单调递减，在上单调递增. ② 由①②得，.即证. 12分 22. 【解析】 （Ⅰ）由曲线的参数方程（为参数） 可得： 即曲线的普通方程为 3分 由，代入上式可得曲线的极坐标方程为 即曲线的极坐标方程为 5分 （结果书写形式不同，也给分） （Ⅱ）因为是曲线上的两点且 由在曲线上可知：. 同理在曲线上可知： 8分 10分 23.【解析】 （Ⅰ）不等式可转化为： 或或 解得：或 或 3分 所以不等式的解集为： 5分 （此处，结果形式错误扣1分） （法二:用绝对值的几何意义求解；法三：利用分段函数图象求解，结果对给满分） （Ⅱ）由绝对值的三角不等式可得： ，当且仅当时等号成立 所以函数的最小值 即 8分 由柯西不等式可知： 即 当且仅当，，时等号成立(注明取“=”条件即可，不求不扣分） 即的最小值为 10分