2021年重庆市中考数学试卷（B卷）【jiaoyupan.com教育盘】.docx

2021年重庆市中考数学试卷（B卷） 1. （2021·重庆市·真题） 3 的相反数是    A． 3 B． 13 C． −3 D． −13 2. （2021·重庆市·真题）不等式 x>5 的解集在数轴．上表示正确的是    A． B． C． D． 3. （2021·重庆市·真题）计算 x4÷x 结果正确的是    A． x4 B． x3 C． x2 D． x 4. （2021·重庆市·真题）如图，在平面直角坐标系中，将 △OAB 以原点 O 为位似中心放大后得到 △OCD，若 B0,1，D0,3，则 △OAB 与 △OCD 的相似比是    A． 2:1 B． 1:2 C． 3:1 D． 1:3 5. （2021·重庆市·真题）如图，AB 是 ⊙O 的直径，AC，BC 是 ⊙O 的弦，若 ∠A=20∘，则 ∠B 的度数为    A． 70∘ B． 90∘ C． 40∘ D． 60∘ 6. （2021·重庆市·真题）下列计算中，正确的是    A． 57−27=21 B． 2+2=22 C． 3×6=32 D． 15÷5=3 7. （2021·重庆市·真题）小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家，如图，反映了小明离家的距离 y（单位：km）与时间 t（单位：h）之间的对应关系，下列描述错误的是    A．小明家距图书馆 3 km B．小明在图书馆阅读时间为 2 h C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足 4 h D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快 8. （2021·重庆市·真题）如图，在 △ABC 和 △DCB 中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明 △ABC 和 △DCB 全等的是    A． ∠ABC=∠DCB B． AB=DC C． AC=DB D． ∠A=∠D 9. （2021·重庆市·真题）如图，把含 30∘ 的直角三角板 PMN 放置在正方形 ABCD 中，∠PMN=30∘，直角顶点 P 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上，点 M，N 分别在 AB 和 CD 边上，MN 与 BD 交于点 O，且点 O 为 MN 的中点，则 ∠AMP 的度数为    A． 60∘ B． 65∘ C． 75∘ D． 80∘ 10. （2021·重庆市·真题）如图，在建筑物 AB 左侧距楼底 B 点水平距离 150 米的 C 处有一山坡，斜坡 CD 的坡度（或坡比）为 i=1:2.4，坡顶 D 到 BC 的垂直距离 DE=50 米（点 A，B，C，D，E 在同一平面内），在点 D 处测得建筑物顶 A 点的仰角为 50∘，则建筑物 AB 的高度约为    （参考数据：sin50∘≈0.77；cos50∘≈0.64；tan50∘≈1.19） A． 69.2 米 B． 73.1 米 C． 80.0 米 D． 85.7 米 11. （2021·重庆市·真题）关于 x 的分式方程 ax−3x−2+1=3x−12−x 的解为正数，且使关于 y 的一元一次不等式组 3y−22≤y−1,y+2>a 有解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是    A． −5 B． −4 C． −3 D． −2 12. （2021·重庆市·真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y=kxk>0,x>0 的图象经过顶点 D，分别与对角线 AC，边 BC 交于点 E，F，连接 EF，AF．若点 E 为 AC 的中点，△AEF 的面积为 1，则 k 的值为    A． 125 B． 32 C． 2 D． 3 13. （2021·重庆市·真题）计算：9−π−10= ． 14. （2021·重庆市·真题）不透明袋子中装有黑球 1 个、白球 2 个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是 ． 15. （2021·重庆市·真题）方程 2x−3=6 的解是 ． 16. （2021·重庆市·真题）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=12，BD=16，分别以点 A，B，C，D 为圆心，12AB 的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 π） 17. （2021·重庆市·真题）如图，△ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，连接 AD，将 △ADC 沿直线 AD 翻折至 △ABC 所在平面内，得 △ADCʹ，连接 CCʹ，分别与边 AB 交于点 E，与 AD 交于点 O．若 AE=BE，BCʹ=2，则 AD 的长为 ． 18. （2021·重庆市·真题）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共 22 个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有 2 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，1 个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为 3:2；C盒中有 1 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，2 个迷你音箱．经核算，A盒的成本为 145 元，B盒的成本为 245 元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为 元． 19. （2021·重庆市·真题）计算： (1) a2a+3b+a−b2； (2) x2−9x2+2x+1÷x+3−x2x+1． 20. （2021·重庆市·真题） 2021 年是中国共产党建党 100 周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了 20 名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为 10 分，9 分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）： 6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 七八年级教师竞赛成绩统计表 年级七年级八年级平均数8.58.5中位数a9众数8b优秀率45%55% 根据以上信息，解答下列问题： (1) 填空：a= ，b= ． (2) 估计该校七年级 120 名教师中竞赛成绩达到 8 分及以上的人数； (3) 根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异． 21. （2021·重庆市·真题）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，连接 AC，且 AC=2AB．请用尺规完成基本作图：作出 ∠BAC 的角平分线与 BC 交于点 E．连接 BD 交 AE 于点 F，交 AC 于点 O，猜想线段 BF 和线段 DF 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 22. （2021·重庆市·真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数 y=x+∣−2x+6∣+m 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x⋯−2−1012345⋯y⋯654a21b7⋯ (1) 写出函数关系式中 m 及表格中 a，b 的值： m= ，a= ，b= ； (2) 根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ； (3) 已知函数 y=16x 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 x+∣−2x+6∣+m>16x 的解集． 23. （2021·重庆市·真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知 3 份“堂食”小面和 2 份“生食”小面的总售价为 31 元，4 份“堂食”小面和 1 份“生食”小面的总售价为 33 元． (1) 求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？ (2) 该面馆在 4 月共卖出“堂食”小面 4500 份，“生食”小面 2500 份．为回馈广大食客，该面馆从 5 月 1 日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低 34a%．统计 5 月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与 4 月相同，“生食”小面的销量在 4 月的基础上增加 52a%，这两种小面的总销售额在 4 月的基础上增加 511a%．求 a 的值． 24. （2021·重庆市·真题）对于任意一个四位数 m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的 2 倍，则称这个四位数 m 为“共生数”．例如：m=3507，因为 3+7=2×5+0，所以 3507 是“共生数”；m=4135，因为 4+5≠2×1+3，所以 4135 不是“共生数”． (1) 判断 5313，6437 是否为“共生数”？并说明理由； (2) 对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的 2 倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被 9 整除时，记 Fn=n3．求满足 Fn 各数位上的数字之和是偶数的所有 n． 25. （2021·重庆市·真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx−4（a≠0）与 x 轴交于点 A−1,0，B4,0，与 y 轴交于点 C． (1) 求该抛物线的解析式； (2) 直线 l 为该抛物线的对称轴，点 D 与点 C 关于直线 l 对称，点 P 为直线 AD 下方抛物线上一动点，连接 PA，PD，求 △PAD 面积的最大值． (3) 在（2）的条件下，将抛物线 y=ax2+bx−4（a≠0）沿射线 AD 平移 42 个单位，得到新的抛物线 y1，点 E 为点 P 的对应点，点 F 为 y1 的对称轴上任意一点，在 y1 上确定一点 G，使得点 D，E，F，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 26. （2021·重庆市·真题）在等边 △ABC 中，AB=6，BD⊥AC，垂足为 D，点 E 为 AB 边上一点，点 F 为直线 BD 上一点，连接 EF． (1) 将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 60∘ 得到线段 EG，连接 FG． ①如图 1，当点 E 与点 B 重合，且 GF 的延长线过点 C 时，连接 DG，求线段 DG 的长； ②如图 2，点 E 不与点 A，B 重合，GF 的延长线交 BC 边于点 H，连接 EH，求证：BE+BH=3BF； (2) 如图 3，当点 E 为 AB 中点时，点 M 为 BE 中点，点 N 在边 AC 上，且 DN=2NC，点 F 从 BD 中点 Q 沿射线 QD 运动，将线段 EF 绕点 E 顺时针旋转 60∘ 得到线段 EP，连接 FP，当 NP+12MP 最小时，直接写出 △DPN 的面积． 答案 1. 【答案】C 【知识点】相反数的定义 2. 【答案】A 【解析】不等式 x>5 的解集在数轴上表示为：5 右边的部分，不包括 5， 故选：A． 【知识点】不等式解集的数轴表示 3. 【答案】B 【解析】 原式=x4−1=x3． 【知识点】同底数幂的除法 4. 【答案】D 【解析】 ∵B0,1，D0,3， ∴OB=1，OD=3， ∵△OAB 以原点 O 为位似中心放大后得到 △OCD， ∴△OAB 与 △OCD 的相似比是 OB:OD=1:3， 故选：D． 【知识点】位似图形的性质应用 5. 【答案】A 【解析】 ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠C=90∘， ∵∠A=20∘， ∴∠B=90∘−∠A=70∘． 【知识点】圆周角定理推论 6. 【答案】C 【解析】A．57−27=37，此选项计算错误； B．2 与 2 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； C．3×6=3×3×2=32，此选项计算正确； D．15÷5=15÷5=3，此选项计算错误． 【知识点】二次根式的乘法 7. 【答案】D 【解析】由图象知： A．小明家距图书馆 3 km，正确； B．小明在图书馆阅读时间为 3−1=2 小时，正确； C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足 4 h，正确； D．因为小明去图书馆需要 1 小时，回来不足 1 小时，所以小明去图书馆的速度比回家时的速度快，错误，符合题意． 故选：D． 【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系 8. 【答案】B 【解析】在 △ABC 和 △DCB 中， ∵∠ACB=∠DBC，BC=BC， A：当 ∠ABC=∠DCB 时，△ABC≌△DCB（ASA）， 故A能证明； B：当 AB=DC 时，不能证明两三角形全等， 故B不能证明； C：当 AC=DB 时，△ABC≌△DCB（SAS）， 故C能证明； D：当 ∠A=∠D 时，△ABC≌△DCB（AAS）， 故D能证明； 故选：B． 【知识点】综合判定 9. 【答案】C 【解析】在 Rt△PMN 中，∠MPN=90∘， ∵O 为 MN 的中点， ∴OP=12MN=OM， ∵∠PMN=30∘， ∴∠MPO=30∘， ∴∠DPM=150∘， 在四边形 ADPM 中， ∵∠A=90∘，∠ADB=45∘，∠DPM=150∘， ∴ ∠AMP=360∘−∠A−∠ADB−∠DPM=360∘−90∘−45∘−150∘=75∘. 故选：C． 【知识点】正方形的性质 10. 【答案】D 【解析】 ∵ 斜坡 CD 的坡度（或坡比）为 i=1:2.4， ∴DE:CE=5:12， ∵DE=50 米， ∴CE=120 米， ∵BC=150 米， ∴BE=150−120=30 米， ∴AB=tan50∘×30+50=85.7 米． 故选：D． 【知识点】解直角三角形的实际应用 11. 【答案】B 【解析】关于 x 的分式方程 ax−3x−2+1=3x−12−x 的解为 x=6a+4， 因为关于 x 的分式方程 ax−3x−2+1=3x−12−x 的解为正数， 所以 a+4>0， 所以 a>−4． 因为关于 x 的分式方程 ax−3x−2+1=3x−12−x 有可能产生增根 2， 所以 6a+4≠2， 所以 a≠−1． 解关于 y 的一元一次不等式组 3y−22≤y−1,y+2>a 得： y≤0,y>a−2. 因为关于 y 的一元一次不等式组 3y−22≤y−1,y+2>a 有解， 所以 a−2<0， 所以 a<2． 综上，−4<a<2 且 a≠−1． 因为 a 为整数， 所以 a=−3或−2或0或1． 所以满足条件的整数 a 的值之和是：−3−2+0+1=−4． 【知识点】去分母解分式方程、含参一元一次不等式组 12. 【答案】D 【解析】设 Aa,0， ∵ 矩形 ABCD， ∴Da,ka， ∵ 矩形 ABCD，E 为 AC 的中点， 则 E 也为 BD 的中点， ∵ 点 B 在 x 轴上， ∴E 的纵坐标为 k2a， ∴E2a,k2a， ∵E 为 AC 的中点， ∴ 点 C3a,ka， ∴ 点 F3a,k3a， ∵△AEF 的面积为 1，AE=EC， ∴S△ACF=2， ∴12×ka−k3a×2a=2， 解得：k=3． 故选：D． 【知识点】反比例函数与四边形综合 13. 【答案】 2 【解析】 原式=3−1=2． 【知识点】算术平方根的运算、零指数幂运算 14. 【答案】 49 【解析】列表如下 黑白白黑黑,黑白,黑白,黑白黑,白白,白白,白白黑,白白,白白,白由表可知，共有 9 种等可能结果，其中前后两次摸出的球都是白球的有 4 种结果， 所以前后两次摸出的球都是白球的概率为 49． 【知识点】列表法求概率 15. 【答案】 x=6 【解析】方程两边同除以 2 得： x−3=3， 移项，合并同类项得： x=6． 【知识点】去括号 16. 【答案】 96−100π 【解析】在菱形 ABCD 中，有：AC=12，BD=16， ∴AB=12BD2+12AC2=10． ∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360∘， ∴ 四个扇形的面积，是一个以 12AB 的长为半径的圆． ∴ 图中阴影部分的面积 =12×12×16−π×102=96−100π． 【知识点】扇形面积的计算 17. 【答案】 3 【解析】由题意可得， △DCA≌△DCʹA，OC=OCʹ，∠COD=∠CʹOD=90∘， ∴ 点 O 为 CCʹ 的中点， ∵ 点 D 为 BC 的中点， ∴OD 是 △BCCʹ 的中位线， ∴OD=12BCʹ，OD∥BCʹ， ∴∠COD=∠ECʹB=90∘， ∵AE=BE，BCʹ=2， ∴OD=1， 在 △ECʹB 和 △EOA 中， ∠ECʹB=∠EOA,∠CʹEB=∠OEA,BE=AE, ∴△ECʹB≌△EOAAAS， ∴BCʹ=AO， ∴AO=2， ∴AD=AO+OD=2+1=3， 故答案为：3． 【知识点】折叠问题、三角形的中位线 18. 【答案】 155 【解析】因为蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共 22 个，A盒中有 2 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，1 个迷你音箱；C盒中有 1 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，2 个迷你音箱； 所以B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共 22−2−3−1−1−3−2=10（个）， 因为B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为 3:2， 所以B盒中有多接口优盘 10×12=5（个），蓝牙耳机有 5×33+2=3（个），迷你音箱有 10−5−3=2（个）， 设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为 a 元，b 元，c 元， 由题知：2a+3b+c=145, ⋯⋯①3a+5b+2c=245, ⋯⋯② 因为① ×2− ②得：a+b=45， ② ×2− ① ×3 得：b+c=55， 所以C盒的成本为：a+3b+2c=a+b+2b+2c=45+55×2=155（元）． 【知识点】三元一次方程（组）的应用 19. 【答案】 (1) 原式=2a2+3ab+a2−2ab+b2=3a2+ab+b2. (2) 原式=x+2x−3x+12÷x2+xx+1+3−x2x+1=x+3x−3x+12÷x+3x+1=x+3x−3x+12⋅x+1x+3=x−3x+1. 【知识点】含括号的混合运算、需去括号的混合运算 20. 【答案】 (1) 8；9 (2) 该校七年级 120 名教师中竞赛成绩达到 8 分及以上的人数 =1720×100%×120=102（人）． (3) 根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%，55%．故八年级的教师学习党史的竞赛成绩谁更优异. 【解析】 (1) 因为七年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 所以中位数 a=8． 根据扇形统计图可知 D 类是最多的，故 b=9． 【知识点】中位数、众数、统计表、用样本估算总体 21. 【答案】如图： 猜想：DF=3BF． 证明： ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴OA=OC，OD=OB， ∵AC=2AB， ∴AO=AB， ∵∠BAC 的角平分线与 BC 交于点 E． ∴BF=FO， ∴DF=3BF． 【知识点】平行四边形及其性质 22. 【答案】 (1) −2，3，4 (2) 图象如图，根据图象可知当 x=3 时函数有最小值 y=1； (3) x<0 或 x>4 【解析】 (1) 当 x=0 时，∣6∣+m=4， 解得：m=−2， 即函数解析式为：y=x+∣−2x+6∣−2， 当 x=1 时，a=1+∣−2+6∣−2=3， 当 x=4 时，b=4+∣−2×4+6∣−2=4， (3) 根据当 y=x+∣−2x+6∣−2 的函数图象在函数 y=16x 上的图象上方时，不等式 x+∣−2x+6∣−2>16x 成立， ∴x<0 或 x>4． 【知识点】图像法、反比例函数与方程、不等式、列表法、解析式法 23. 【答案】 (1) 设每份“堂食”小面的价格为 x 元，每份“生食”小面的价格为 y 元， 根据题意得：3x+2y=31,4x+y=33.解得：x=7,y=5.答：每份“堂食”小面的价格为 7 元，每份“生食”小面的价格为 5 元． (2) 由题意得：4500×7+25001+52a%×51−34a%=4500×7+2500×51+511a%， 设 a%=m，则方程可化为：9×7+251+52m1−34m=9×7+251+511m.375m2−30m=0.m25m−2=0.解得：m1=0舍,m2=225.∴a=8. 【知识点】销售问题、经济问题 24. 【答案】 (1) ∵5+3=2×3+1， ∴5313 是”共生数， ∵6+7≠2×3+4， ∴6437 不是“共生数”． (2) ∵n 是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字， 设 n 的千位上的数字为 a，则十位上的数字为 2a,1≤a≤4， 设 n 的百位上的数字为 b， ∵ 个位和百位都是 0∼9 的数字， ∴ 个位上的数字为 9−b，且 9−b>b， ∴0≤b≤4， ∴n=1000a+100b+20a+9−b； ∴Fn=1000a+100b+20a+9−b3=340a+33b+3， 由于 n 是“共生数”， ∴a+9−b=2×2a+b，即 a+b=3， 可能的情况有：a=1,b=2. a=2,b=1. a=3,b=0. ∴n 的值为 1227 或 2148 或 3069，各位数和为偶数的有 2148 和 3069， ∴n 的值是 2148 或 3069． 【知识点】二元一次方程整数解 25. 【答案】 (1) 将 A−1,0，B4,0 代入 y=ax2+bx−4 得 a−b−4=0,16a+4b−4=0, 所以 a=1,b=−3, 所以 y=x2−3x−4． (2) 当 x=0 时，y=−4， 所以点 C0,−4， 因为点 D 与点 C 关于直线 l 对称， 所以 D3,−4， 因为 A−1,0， 所以直线 AD 的函数关系式为：y=−x−1， 设 Pm,m2−3m−4， 作 PE∥y轴 交直线 AD 于 E， 所以 Em,−m−1， 所以 PE=−m−1−m2−3m−4=−m2+2m+3， 所以 S△APD=12×PE×4=2−m2+2m+3=−2m2+4m+6， 当 m=−42×−2=1 时， S△APD 最大为 =8． (3) 所以直线 AD 与 x 轴正方形夹角为 45∘， 所以沿 AD 方向平移 42，实际可看成向右平移 4 个单位，再向下平移 4 个单位， 因为 P1,−6， 所以 E5,−10， 抛物线 y=x2−3x−4 平移后 y1=x2−11x+20， 所以抛物线 y1 的对称轴为：直线 x=112， 当 DE 为平行四边形的边时： 若 D 平移到对称轴上 F 点，则 G 的横坐标为 152， 代入 y1=x2−11x+20 得 y=−254， 所以 G152,−254， 若 E 平移到对称轴上 F 点，则 G 的横坐标为 72， 代入 y1=x2−11x+20 得 y=−254， 所以 G72,−254， 若 DE 为平行四边形的对角线时， 若 E 平移到对称轴上 F 点，则 G 平移到 D 点， 所以 G 的横坐标为 52， 代入 y1=x2−11x+20 得 y=−54， 所以 G52,−54， 所以 G52,−54 或 G72,−254 或 G152,−254． 【知识点】二次函数的图象变换、二次函数的最值、二次函数的解析式 26. 【答案】 (1) ①过 D 作 DH⊥GC 于 H，如图： ∵ 线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 60∘ 得到线段 EG，点 E 与点 B 重合，且 GF 的延长线过点 C， ∴BG=BF，∠FBG=60∘， ∴△BGF 是等边三角形， ∴∠BFG=∠DFC=60∘，BF=GF， ∵ 等边 △ABC，AB=6，BD⊥AC， ∴∠DCF=180∘−∠BDC−∠DFC=30∘，∠DBC=12∠ABC=30∘，CD=12AC=12AB=3， ∴∠BCG=∠ACB−∠DCF=30∘， ∴∠BCG=∠DBC， ∴BF=CF， ∴GF=CF， Rt△BDC 中，CF=CDcos∠DCF=3cos30∘=23， ∴GF=23， Rt△CDH 中，DH=CD⋅sin30∘=32，CH=CD⋅cos30∘=332， ∴FH=CF−CH=32， ∴GH=GF+FH=532， Rt△GHD 中，DG=GH2+DH2=21； ②过 E 作 EP⊥AB 交 BD 于 P，过 H 作 MH⊥BC 交 BD 于 M，连接 PG，作 BP 中点 N，连接 EN，如图： ∵EF 绕点 E 逆时针旋转 60∘ 得到线段 EG， ∴△EGF 是等边三角形， ∴∠EFG=∠EGF=∠GEF=60∘，∠EFH=120∘，EF=GF， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=60∘， ∴∠ABC+∠EFH=180∘， ∴B，E，F，H 共圆， ∴∠FBH=∠FEH， 而 △ABC 是等边三角形，BD⊥AC， ∴∠DBC=∠ABD=30∘，即 ∠FBH=30∘， ∴∠FEH=30∘， ∴∠FHE=180∘−∠EFH−∠FEH=30∘， ∴EF=HF=GF, ⋯⋯① ∵EP⊥AB，∠ABD=30∘， ∴∠EPB=60∘，∠EPF=120∘， ∴∠EPF+∠EGF=180∘， ∴E，P，F，G 共圆， ∴∠GPF=∠GEF=60∘， ∵MH⊥BC，∠DBC=30∘， ∴∠BMH=60∘， ∴∠BMH=∠GPF, ⋯⋯② 而 ∠GFP=∠HFM, ⋯⋯③ 由①②③得 △GFP≌HFMAAS， ∴PF=FM， ∵EP⊥AB，BP 中点 N，∠ABD=30∘， ∴EP=12BP=BN=NP， ∴PF+NP=FM+BN， ∴NF=12BM， Rt△MHB 中，MH=12BM， ∴NF=MH， ∴NF+BN=MH+EP，即 BF=MH+EP， Rt△BEP 中，EP=BE⋅tan30∘=33BE， Rt△MHB 中，MH=BH⋅tan30∘=33BH， ∴BF=33BE+33BH， ∴BE+BH=3BF． (2) 433 【解析】 (2) 以 M 为顶点，MP 为一边，作 ∠PML=30∘，ML 交 BD 于 G，过 P 作 PH⊥ML 于 H，设 MP 交 BD 于 K，如图： Rt△PMH 中，HP=12MP， ∴NP+12MP 最小即是 NP+HP 最小，此时 N，P，H 共线， ∵ 将线段 EF 绕点 E 顺时针旋转 60∘ 得到线段 EP， ∴F 在射线 QF 上运动，则 P 在射线 MP 上运动，根据“瓜豆原理”，F 为主动点，P 是从动点，E 为定点，∠FEP=60∘，则 F，P 轨迹的夹角 ∠QKP=∠FEP=60∘， ∴∠BKM=60∘， ∵∠ABD=30∘， ∴∠BMK=90∘， ∵∠PML=30∘， ∴∠BML=60∘， ∴∠BML=∠A， ∴ML∥AC， ∴∠HNA=180∘−∠PHM=90∘， 而 BD⊥AC， ∴∠BDC=∠HNA=∠PHM=90∘， ∴ 四边形 GHND 是矩形， ∴DN=GH， ∵ 等边 △ABC 中，AB=6，BD⊥AC， ∴CD=3， 又 DN=2NC， ∴DN=GH=2， ∵ 等边 △ABC 中，AB=6，点 E 为 AB 中点时，点 M 为 BE 中点， ∴BM=32，BD=AB⋅sinA=6×sin60∘=33， Rt△BGM 中，MG=12BM=34，BG=BM⋅cos30∘=334， ∴MH=MG+GH=114，GD=BD−BG=934， Rt△MHP 中，HP=MH⋅tan30∘=11312， ∴PN=HN−HP=GD−HP=433， ∴S△DPN=12PN⋅DN=433． 【知识点】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形、解直角三角形、等边三角形三个角相等，都等于60°