2016年湖南省岳阳市中考试题【jiaoyupan.com教育盘】.doc

优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2016年湖南省岳阳市中考数学试卷 　 一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分） 1．（3分）（2016•岳阳）下列各数中为无理数的是（　　） A．﹣1 B．3.14 C．π D．0 2．（3分）（2016•岳阳）下列运算结果正确的是（　　） A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a6 C．a2•a3=a6 D．3a﹣2a=1 3．（3分）（2016•岳阳）函数y=中自变量x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4 4．（3分）（2016•岳阳）某小学校足球队22名队员年龄情况如下： 年龄（岁） 12 11 10 9 人数 4 10 6 2 则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（　　） A．11，10 B．11，11 C．10，9 D．10，11 5．（3分）（2016•岳阳）如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体 6．（3分）（2016•岳阳）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 7．（3分）（2016•岳阳）下列说法错误的是（　　） A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．菱形的对角线相等 D．平行四边形是中心对称图形 8．（3分）（2016•岳阳）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 　 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 9．（4分）（2016•岳阳）如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是　　　　　　． 10．（4分）（2016•岳阳）因式分解：6x2﹣3x=　　　　　　． 11．（4分）（2016•岳阳）在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为　　　　　　cm． 12．（4分）（2016•岳阳）为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产业园，预计2016年建好主体工程，将124000万元用科学记数法表示为　　　　　　元． 13．（4分）（2016•岳阳）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=　　　　　　度． 14．（4分）（2016•岳阳）如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　　　　　　米． 15．（4分）（2016•岳阳）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是　　　　　　． 16．（4分）（2016•岳阳）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为　　　　　　． 　 三、解答题（本大题共8道小题，满分64分） 17．（8分）（2016•岳阳）计算：（）﹣1﹣+2tan60°﹣（2﹣）0． 18．（6分）（2016•岳阳）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD． 19．（6分）（2016•岳阳）已知不等式组 （1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解； （2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率． 20．（8分）（2016•岳阳）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时． 21．（8分）（2016•岳阳）某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题： AQI指数 质量等级 天数（天） 0﹣50 优 m 51﹣100 良 44 101﹣150 轻度污染 n 151﹣200 中度污染 4 201﹣300 重度污染 2 300以上 严重污染 2 （1 ）统计表中m=　　　　　　，n=　　　　　　．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占　　　　　　%； （2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？ （3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议． 22．（8分）（2016•岳阳）已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）． 23．（10分）（2016•岳阳）数学活动﹣旋转变换 （1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小； （2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆． （Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论； （Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度； （3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示） 24．（10分）（2016•岳阳）如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）． （1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式； （2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC，记S=S四边形MAOC﹣S△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值； （3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2016年湖南省岳阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分） 1．（3分）（2016•岳阳）下列各数中为无理数的是（　　） A．﹣1 B．3.14 C．π D．0 【分析】π是圆周率，是无限不循环小数，所以π是无理数． 【解答】解：∵π是无限不循环小数， ∴π是无理数． 故选C． 【点评】此题是无理数题，主要考查了无理数的定义，了解π，解本题的关键是明白无理意义．数的 　 2．（3分）（2016•岳阳）下列运算结果正确的是（　　） A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a6 C．a2•a3=a6 D．3a﹣2a=1 【分析】利用幂的有关运算性质逐一计算后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故错误； B、（a2）3=a6，正确，符合题意； C、a2•a3=a5，故错误； D、3a﹣2a=a，故错误， 故选B． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项及同底数幂的乘法的知识，解题的关键是牢记有关的幂的运算性质，难度不大． 　 3．（3分）（2016•岳阳）函数y=中自变量x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4 【分析】根据二次根式有意义的条件可得出x﹣4≥0，解该不等式即可得出结论． 【解答】解：∵x﹣4≥0， ∴x≥4． 故选D． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围以及二次根式有意义的条件，解题的关键是得出不等式x﹣4≥0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次根式有意义的条件得出不等式是关键． 　 4．（3分）（2016•岳阳）某小学校足球队22名队员年龄情况如下： 年龄（岁） 12 11 10 9 人数 4 10 6 2 则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（　　） A．11，10 B．11，11 C．10，9 D．10，11 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 【解答】解：年龄是11岁的人数最多，有10个人，则众数是11； 把这些数从小到大排列，中位数是第11，12个数的平均数， 则中位数是=11； 故选B． 【点评】此题考查了中位数和众数，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 　 5．（3分）（2016•岳阳）如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体 【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据左视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案． 【解答】解：∵几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形， ∴该几何体是一个柱体， 又∵俯视图是一个圆， ∴该几何体是一个圆柱． 故选A． 【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定． 　 6．（3分）（2016•岳阳）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可． 【解答】解：A、因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误； B、因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误； C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误； D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 　 7．（3分）（2016•岳阳）下列说法错误的是（　　） A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．菱形的对角线相等 D．平行四边形是中心对称图形 【分析】A：根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角的两边的距离相等． B：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． C：根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等． D：根据中心对称图形的性质，可得常见的中心对称图形有：平行四边形、圆形、正方形、长方形，据此判断即可． 【解答】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴选项A正确； ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴选项B正确； ∵菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等， ∴选项C不正确； ∵平行四边形是中心对称图形， ∴选项D正确． 故选：C． 【点评】（1）此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个角的平分线把这个角分成两个大小相同的角． （2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）此题还考查了直角三角形斜边上的中线，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． （4）此题还考查了中心对称图形，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 　 8．（3分）（2016•岳阳）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况进行讨论计算， 【解答】解：当x+3≥﹣x+1， 即：x≥﹣1时，y=x+3， ∴当x=﹣1时，ymin=2， 当x+3＜﹣x+1， 即：x＜﹣1时，y=﹣x+1， ∵x＜﹣1， ∴﹣x＞1， ∴﹣x+1＞2， ∴y＞2， ∴ymin=2， 故选B 【点评】此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是分段． 　 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 9．（4分）（2016•岳阳）如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是　2　． 【分析】根据相反数的定义，即可解答． 【解答】解：数轴上点A所表示的数是﹣2，﹣2的相反数是2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义． 　 10．（4分）（2016•岳阳）因式分解：6x2﹣3x=　3x（2x﹣1）　． 【分析】根据提公因式法因式分解的步骤解答即可． 【解答】解：6x2﹣3x=3x（2x﹣1）， 故答案为：3x（2x﹣1）． 【点评】本题考查的是提公因式法因式分解，提公因式法基本步骤：找出公因式；提公因式并确定另一个因式：第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式． 　 11．（4分）（2016•岳阳）在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为　4π　cm． 【分析】直接利用弧长公式求出即可． 【解答】解：半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为：=4π（cm）． 故答案为：4π． 【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键． 　 12．（4分）（2016•岳阳）为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产业园，预计2016年建好主体工程，将124000万元用科学记数法表示为　1.24×109　元． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：124000万=124000 0000=1.24×109， 故答案为：1.24×109． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 　 13．（4分）（2016•岳阳）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=　70　度． 【分析】根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）； 又∵∠BCD=110°， ∴∠BAD=70°． 故答案为：70． 【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质．解答此题时，利用了圆内接四边形的对角互补的性质来求∠BCD的补角即可． 　 14．（4分）（2016•岳阳）如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　100　米． 【分析】根据坡比的定义得到tan∠A=，∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解． 【解答】解：根据题意得tan∠A===， 所以∠A=30°， 所以BC=AB=×200=100（m）． 故答案为100． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式 　 15．（4分）（2016•岳阳）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是　1＜x＜4　． 【分析】先根据图形得出A、B的坐标，根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可． 【解答】解：∵由图象可知：A（1，4），B（4，1），x＞0， ∴不等式＜kx+b的解集为1＜x＜4， 故答案为：1＜x＜4． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点的应用，能读懂图象是解此题的关键，数形结合思想的应用． 　 16．（4分）（2016•岳阳）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为　（504，﹣504）　． 【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2016的在第四象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值=2016÷4，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【解答】解：由规律可得，2016÷4=504， ∴点P2016的在第四象限的角平分线上， ∵点P4（1，﹣1），点P8（2，﹣2），点P12（3，﹣3）， ∴点P2016（504，﹣504）， 故答案为（504，﹣504）． 【点评】本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的大致位置，所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标． 　 三、解答题（本大题共8道小题，满分64分） 17．（8分）（2016•岳阳）计算：（）﹣1﹣+2tan60°﹣（2﹣）0． 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【解答】解：原式=3﹣2+2﹣1 =2． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 18．（6分）（2016•岳阳）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD． 【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90°， ∵EF⊥DF， ∴∠EFD=90°， ∴∠EFB+∠CFD=90°， ∵∠EFB+∠BEF=90°， ∴∠BEF=∠CFD， 在△BEF和△CFD中， ， ∴△BEF≌△CFD（ASA）， ∴BF=CD． 【点评】此题考查了矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键． 　 19．（6分）（2016•岳阳）已知不等式组 （1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解； （2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率． 【分析】（1）首先分别解不等式①②，然后求得不等式组的解集，继而求得它的所有整数解； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）由①得：x＞﹣2， 由②得：x≤2， ∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤2， ∴它的所有整数解为：﹣1，0，1，2； （2）画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，积为正数的有2种情况， ∴积为正数的概率为：=． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及不等式组的整数解．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 　 20．（8分）（2016•岳阳）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时． 【分析】设学生步行的平均速度是每小时x千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解． 【解答】解：设学生步行的平均速度是每小时x千米． 服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米， 根据题意：﹣=3.6， 解得：x=4， 经检验，x=4是所列方程的解，且符合题意． 答：学生步行的平均速度是每小时4千米． 【点评】本题考查了分式方程的应用，关键设出速度，以时间做为等量关系列方程求解． 　 21．（8分）（2016•岳阳）某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题： AQI指数 质量等级 天数（天） 0﹣50 优 m 51﹣100 良 44 101﹣150 轻度污染 n 151﹣200 中度污染 4 201﹣300 重度污染 2 300以上 严重污染 2 （1 ）统计表中m=　20　，n=　8　．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占　55　%； （2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？ （3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议． 【分析】（1）由A占25%，即可求得m的值，继而求得n的值，然后求得空气质量等级为“良”的天数占的百分比； （2）首先由（1）补全统计图，然后利用样本估计总体的知识求解即可求得答案； （3）提出合理建议，比如不燃放烟花爆竹或少燃放烟花爆竹等． 【解答】解：（1）∵m=80×25%=20，n=80﹣20﹣44﹣4﹣2﹣2=8， ∴空气质量等级为“良”的天数占：×100%=55%． 故答案为：20，8，55； （2）估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：365×（25%+55%）=292（天）， 答：估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天； 补全统计图： （3）建议不要燃放烟花爆竹． 【点评】此题考查了条形图与扇形图的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 　 22．（8分）（2016•岳阳）已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）． 【分析】（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证． （2）把x=0代入方程即可求m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． ∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x=0是此方程的一个根， ∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0， ∴m=0或m=﹣1， ∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5， 把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5； 把m=﹣1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5． 【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析． 　 23．（10分）（2016•岳阳）数学活动﹣旋转变换 （1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小； （2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆． （Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论； （Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度； （3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示） 【分析】（1）根据∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C，只要求出∠A′B′B即可． （2）（Ⅰ）结论：直线BB′与⊙A′相切．只要证明∠A′B′B=90°即可．（Ⅱ）在Rt△ABB′中，利用勾股定理计算即可． （3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′与⊙A′相切．只要证明∠A′B′B=90°即可解决问题．在△CBB′中求出BB′，再在Rt△A′B′B中利用勾股定理即可． 【解答】解；（1）如图①中，∵△A′B′C是由△ABC旋转得到， ∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′， ∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°， ∴∠CBB′=∠CB′B=65°， ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°． （2）（Ⅰ）结论：直线BB′与⊙A′相切． 理由：如图②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′， ∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°， ∴∠CBB′=∠CB′B=60°， ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°． ∴AB′⊥BB′， ∴直线BB′与⊙A′相切． （Ⅱ）∵在Rt△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3， ∴A′B==． （3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′与⊙A′相切． 理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′， ∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β， ∴∠CBB′=∠CB′B=， ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°． ∴AB′⊥BB′， ∴直线BB′与⊙A′相切． 在△CBB′中，∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β， ∴BB′=2•nsinβ， 在Rt△A′BB′中，A′B==． 【点评】本题考查圆的综合题、旋转不变性、勾股定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，充分利用旋转不变性，属于中考压轴题． 　 24．（10分）（2016•岳阳）如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）． （1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式； （2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC，记S=S四边形MAOC﹣S△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值； （3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用一次函数的解析式求出点A、C的坐标，然后再利用B点坐标即可求出二次函数的解析式； （2）由于M在抛物线F1上，所以可设M（a，﹣a2﹣a+4），然后分别计算S四边形MAOC和S△BOC，过点M作MP⊥x轴于点P，则S四边形MAOC的值等于△APM的面积与梯形POCM的面积之和． （3）由于没有说明点P的具体位置，所以需要将点P的位置进行分类讨论，当点P在A′的右边时，此情况是不存在；当点P在A′的左边时，此时∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似，则分为以下两种情况进行讨论：①=；②=． 【解答】解：（1）令y=0代入y=x+4， ∴x=﹣3， A（﹣3，0）， 令x=0，代入y=x+4， ∴y=4， ∴C（0，4）， 设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1）， 把C（0，4）代入上式得，a=﹣， ∴y=﹣x2﹣x+4， （2）如图①，设点M（a，﹣a2﹣a+4） 其中﹣3＜a＜0 ∵B（1，0），C（0，4）， ∴OB=1，OC=4 ∴S△BOC=OB•OC=2， 过点M作MP⊥x轴于点P， ∴MP=﹣a2﹣a+4，AP=a+3，OP=﹣a， ∴S四边形MAOC=AP•MP+（MP+OC）•OP =AP•MP+OP•MP+OP•OC =+ =+ =×3（﹣a2﹣a+4）+×4×（﹣a） =﹣2a2﹣6a+6 ∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC =（﹣2a2﹣6a+6）﹣2 =﹣2a2﹣6a+4 =﹣2（a+）2+ ∴当a=﹣时， S有最大值，最大值为 此时，M（﹣，5）； （3）如图②，由题意知：M′（），B′（﹣1，0），A′（3，0） ∴AB′=2， 设直线A′C的解析式为：y=kx+b， 把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b， 得：， ∴ ∴y=﹣x+4， 令x=代入y=﹣x+4， ∴y=2 ∴ 由勾股定理分别可求得：AC=5，DA′= 设P（m，0） 当m＜3时， 此时点P在A′的左边， ∴∠DA′P=∠CAB′， 当=时，△DA′P∽△CAB′， 此时，=（3﹣m）， 解得：m=2， ∴P（2，0） 当=时，△DA′P∽△B′AC， 此时，=（3﹣m） m=﹣， ∴P（﹣，0） 当m＞3时， 此时，点P在A′右边， 由于∠CB′O≠∠DA′E， ∴∠AB′C≠∠DA′P ∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似， 综上所述，当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时，点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）． 【点评】本题是二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数最值问题，相似三角形的判定与性质等知识内容，综合程度较大，需要学生灵活运用所学知识解决问题．另外对于动点问题，通常可以用一参数m来表示该动点． 　 第 20 页 共 20 页