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蓉城
名校
联盟
2020
级高三
第一次
联考
理科
数学
参考答案
评分标准
蓉城名校联盟2020级高三第一次联考
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
A
D
C
B
A
D
C
C
D
A
D
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13. 14.7 15. 16.②③④
三、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)
解:(1),
,
. …………………………3分
, …………………………4分
,, …………………………5分
; …………………………6分
(2), …………………………8分
. …………………………10分
, …………………………11分
的取值范围为. …………………………12分
18.(12分)
解:(1), …………………………4分
有99%的把握认为“高中生是否喜欢看篮球比赛与性别有关”; ……………………5分
(2)由题意可知6名学生中男生有4人,女生有2人,
所有可能的取值为1,2,3, …………………………7分
,,, ……10分
故随机变量的分布列为:
X
1
2
3
P
. …………………………12分
19.(12分)
解:(1)证明:平面平面,平面平面,
,平面, …………………………3分
平面. …………………………4分
又平面,
平面平面; …………………………6分
(2)由题意可知平面平面,平面平面,
,平面,
平面,
如图,以点为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,
不妨设,
则,
由得, …………………………7分
设平面的一个法向量为,
,,
,取, …………………………9分
设平面的一个法向量为,
,,
,取, …………………………11分
,二面角为锐二面角,
二面角的余弦值为. …………………………12分
20.(12分)
解:(1), …………………………1分
设椭圆的标准方程为,即, …………………………3分
过点,, …………………………4分
椭圆的标准方程为; …………………………5分
(2)由题意可知直线的斜率存在且不过点,
设直线的方程为,,
由消去整理得,
,,
, …………………………6分
,
,
, …………………………7分
将,代入整理得
,, …………………………9分
,
三角形的面积, ………………10分
令,
导函数,
增区间为,减区间为,
当时,三角形的面积取得最大值,最大值为18. ……………………12分
21.(12分)
解:(1)由题意可知,有两个不等根, …………………………1分
令,,
增区间为,减区间为,, …………………………2分
,, …………………………3分
实数的取值范围为; …………………………4分
(2), …………………………5分
,
令,在上为单调递增函数,
由题意有两个不等实根,
即有两个不等实根, …………………………7分
由(1)可知,,令,,
, …………………………9分
设,,
令,,
,为增函数,
, …………………………11分
的取值范围为. …………………………12分
22.(10分)
解:(1),, …………………………1分
又, …………………………2分
, …………………………3分
曲线的直角坐标方程为; …………………………4分
(2)直线的参数方程为, …………………………6分
代入中整理得,
,同号, …………………………8分
. …………………………10分
23.(10分)
解:(1), …………………………2分
…………………………4分
,
不等式的解集为; …………………………5分
(2)由函数的图象得, …………………………6分
利用柯西不等式可得, …………………………8分
即,当且仅当时等号成立,
当时,取得最小值4. …………………………10分
解析:
1.解:集合有0,1,2三个元素,故选B.
2.解:复数,故选A.
3.解:量词要变,只否定结论,故选D.
4.解:;故选C.
5.解:为假为真,故选B.
6.解:,为奇函数,C错误;,B错误,,D错误,故选A.
7.解:,故选D.
8.解:函数关于点对称,,故选C.
9.解:与已知直线平行且与曲线相切的直线为,切点为,最小值为,故选C.
10.解:由题意可知函数为奇函数,增函数,,故选D.
11.解:图象右平移2个单位,且纵坐标变为原来的一半,故选A.
12.解:设切点为,切线,过点,,有三个不等根,故选D.
13.解:由得.
14.解:原式=.
15.解:函数为偶函数且在上为增函数,.
16.解:令得,故①错;
令,故②正确;
令,,
相加得,由半周期公式可得③正确;
由,,,,,,和周期性可得④正确.
7
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