湖北省2021-2022学年高三下学期5月联考数学+（含答案）.docx

2022届高三五月联合测评 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，其中i是虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 2．集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则实数（ ） A． B． C． D． 5．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列，则（ ） A． B． C． D． 6．若函数是周期函数，最小正周期为．则下列直线中，图象的对称轴是（ ） A． B． C． D． 7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线C的右支上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A． B． C． D．且 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（ ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 10．袋中装有4个相同的小球，分别编号为1，2，3，4，从中不放回的随机取两个球，A表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的有（ ） A．事件A与事件B不互斥 B．事件A与事件B独立 C．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为 D．在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为 11．已知．则下列说法正确的有（ ） A．函数有唯一零点 B．函数的单调递减区间为 C．函数有极大值 D．若关于x的方程有三个不同的根．则实数a的取值范围是 12．小淘气找到了一支粉笔，测量后发现该粉笔的形状恰好是正六棱台（正六棱台：棱台的上下底面均为正六边形，所有侧棱延长后交于一点，该点在棱台上、下底面的投影为分别为上、下底面的中心），棱台的高为h．若，，（单位：mm），不考虑其它因素，则（ ） A．粉笔的体积为 B．若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的正六棱锥，则该棱锥的体积为 C．若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为 D．若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的球，则该球的半径为3mm 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若直线l沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率______． 14．已知两条异面直线a，b所成角为60°，在直线a上取点C，E．在直线b上取点D，F，使，且 ．已知，则线段EF的长为______． 15．若随机变量等可能地在，，中取值，其中，则的最小值为______． 16．五名运动员A，B，C，D，E相互传球．每个人在接到球后随机传给其他四人中的一人．设首先由A开始进行第1次传球，那么恰好在第5次传球把球传回到A手中的概率是______（用最简分数表示）． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若，求的面积的最大值． 18．（12分） 飞天梦永不失重，科学梦张力无限．“天宫课堂”是我国推出的全球首个太空科普教育活动，2022年3月23日15时40分，“天宫课堂”第二课如约而至，航天员王亚平在翟志刚、叶光富的协助下，成功演示了太空“冰雪”、液桥演示、水油分离、太空抛物等实验，激发了青少年学生追梦航天的飞天梦、科学梦．受“天宫课堂”启发，某学生分别在实验室的正常环境、失重环境下进行某项实验，其中正常环境下试验100次，成功40次；失重环境下试验10次，失败3次． （Ⅰ）用频率估计概率，求该同学在失重环境下实验成功的概率； （Ⅱ）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为该实验成败与选择的实验环境有关． 成功次数 失败次数 合计 正常环境 失重环境 合计 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（12分） 设为等差数列的前n项和，且，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，求数列的前30项和． 20．（12分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，． （Ⅰ）证明：平面PBD； （Ⅱ）若PB与平面PAD所成角为，求二面角的余弦值． 21．（12分） 已知椭圆的离心率为，短轴长为2． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过定点的动直线l与椭圆交于点，，过作x轴垂线交圆于，过作x轴垂线交圆于，且满足点与在x轴同侧，点与在x轴同侧．试问；直线是否恒过定点？请说明理由． 22．（12分） 设连续正值函数定义在区间上，如果对于任意，都有，则称为“几何上凸函数”．已知，． （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）若，试判断是否为上的“几何上凸函数”，并说明理由． 2022届高三五月联合测评 数学试题参考答案与评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A B D B B D 1．答案：C 解：设，，则， 故，，，选C． 2．答案：C 解：或，故，故，选C． 3．答案：A 解；因为，，所以． 于是，故选A． 4．答案：B 解：，由得，解得，故选B． 5．答案：D 解：由题可知，，对累加得，故选项D正确． 6．答案：B 解：因为最小正周期为，故恒成立，故，，代入检验得为函数图象的对称轴，其它直线均不是函数图象的对称轴，故选B． 7．答案：B 解：由双曲线定义可得：，其中，将代入得：，故选B． 8．答案：D 解：作图观察可得，在且条件下可以做出曲线的两条切线，故选D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 12 答案 AC ACD ACD BC 9．答案：AC 解：抛物线焦点为，准线为，作出图象， 对选项A：由抛物线的性质可知：的最小值为，选项A正确； 对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知：的最小值为，选项B错误； 对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知，故，的最小值为点Q到准线的距离，故最小值为4，从而选项C正确，选项D错误． 10．答案：ACD 解：对选项A：“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件A中，也在事件B中，故事件A与事件B不互斥，选项A正确； 对选项B：事件A的概率，事件B的概率，事件AB的概率， 因为，所以事件A与事件B不独立，选项B错误﹔ 对选项C：事件A的概率，事件B的概率，事件AB的概率．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为，选项C正确； 对选项D：事件A的概率，事件B的概率，事件AB的概率．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为，选项D正确． 11．答案：ACD 解：由题可知： 设，，则， 由得：，故函数有唯一零点 由得：；由得；； 故在上单增﹐在上单减， 作出图象，并将的部分图象关于x轴对称可得的图象如下： 于是可得选项ACD正确，选项B应改为：函数的单调递减区间为，． 12．答案：BC 解：对选项A：棱台上底面面积，， 由棱台体积公式， 故，选项A错误； 对选项B：体积最大的正六棱锥底面为ABCDEF，高为，故底面积，由棱锥体积公式，故，选项B正确； 对选项C：体积最大的圆锥底面为正六边形ABCDEF的内切圆，高为，此时底面半径为，圆锥的母线长， 故圆锥侧面积，选项C正确； 对选项D：先将正六棱台侧棱延长交于一点P得到正六棱锥，正六棱锥的内切球即为可以磨成的体积最大的球，对于正六棱锥，设高为H，则，代入，故， 以内切球球心I为顶点将正六棱锥分割为7个小的棱锥，分别为，，，，，， 分割前正六棱锥的体积为 若内切球半径为r，则7个小的棱锥的体积之和为 由等体积法：，故，且，选项D错误． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案： 解：由题可知，直线的方向向量为，故直线l的斜率． 14．答案：或2 解：如图，将线段CE沿平移至DK位置，此时，由异面直线所成角的定义， 为异面直线a，b所成角或其补角，设，，则或． 先求在中，，，故，， 注意到平面，，， 故 于是在中，，，， 由佘弦定理 同理， 于是或2 15．答案： 解：随机变量等可能地在，，中取值，故取每个值的概率均为， 于是， 设，， 则， 设，，则，故在上单调递增，结合， 于是当时，，从而，故在上单调递减， 当时，，从而，故在上单调递增， 故． 16．答案： 解：设第n次传球把球传回到A的手中的概率为，第1次传球A将球传给其他运动员，故；表示第次传球把球传回到A的手中，故传球前球不在A手中，而每名运动员传给其他一名指定运动员的概率为，由乘法原理，故． 于是 结合， 故数列为首项为，公比为的等比数列， 于是，即，， 故 17．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ） 解：（Ⅰ）因为， 由正弦定理得： 将代入上式得： 结合， 可得 即， 因为，，所以 结合得 （Ⅱ）法一；若，，由余弦定理得 注意到，，由均值不等式， 故，当且仅当时取等， 于是，当且仅当即为正三角形时取等． 故的面积的最大位． 法二：若，，由正弦定理，， 故， 将代入上式得，其中， 将展开变形得 故，由得 故的面积的最大值，当且仅当即为正三角形时取等． 18．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ），故没有95%的把握认为该实验成败与选择的实验环境有关． 解：（Ⅰ）由题可知，失重环境下试验10次，成功7次，失败3次，故由频率估计概率，该同学在失重环境下成功的概率为； （Ⅱ）由题可知：正常环境下试验100次，成功40次，失败60次；失重环境下试验10次，成功7次，失败3次，故列联表如下： 成功次数 失败次数 合计 正常环境 40 60 100 失重环境 7 3 10 合计 47 63 110 （得出3.343可得10分） 故，故没有95%的把握认为该实验成败与选择的实验环境有关． 19．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ） 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由，得： 解得：，故数列的通项公式为 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故， 首先对任意的都有 于是 20．答案：（Ⅱ） （Ⅰ）证明： ∵平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， ∴，， 结合，平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD 又∵平面PAD ∴，结合，平面PBD，平面PBD， ∴平面PBD （Ⅱ）如图，以D为原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，故 由（Ⅰ）可知平面PBD，平面PBD，故 在平行四边形ABCD中，，故，结合， 可得点的坐标，， ∵结合，，平面PAD，平面PAD，． ∴平面PAD ∴PD是斜线PB在平面PAD上的射影， ∴PB与平面PAD所成角为， ∵在中，，，， ∴，从而P点坐标为． 对于二面角，平面PCD的一个法向量为，设平面PBC的法向量为， 此时，，，【得出这一结果得10分】 则由得，即，取得， 于是平面PBC的一个法向量为， 故二面角的余弦值为 21．答案：（I）；（Ⅱ）恒过定点 （得出这一结果给2分） 解：由题可知离心率为，故；短轴长为2，故，结合，解得，于是椭圆C的方程为； （Ⅱ）设，，因为A，B在椭圆C上， 所以，变形得， 这表示点，均在圆上，（得出坐标得2分） 因为点与横坐标相同，纵坐标同号，于是点的坐标为，同理点的坐标为 当时，因为过定点P，所以直线，的斜率相等， 于是，即， 此时，取点，则表示点与两点连线的斜率，表示点与两点连线的斜率， 于是，这意味着直线恒过定点， 当动直线绕点旋转时，点，的横纵坐标发生变化，于是点，的横纵坐标随之变化，故除了定点外，动直线不过其它定点，否则过两定点，为定直线，矛盾． 当时，经检验，此时直线过定点 综上，直线过定点． 22．答案：（Ⅰ）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）是上的几何上凸函数． 解：（Ⅰ）定义域为，的导函数 当时，，故在单调递减； 当时，得：；由得：； 于是在单调递减，在单调递增， 综上，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． （Ⅱ）是上的几何上凸函数，证明如下： 由（Ⅰ）可知，当时，在单调递减，在单调递增． 故，故为连续正值函数 由于， 要证是上的几何上凸函数． 需证，即证， ， 则， 需证 由，且 故只需证 下面给出证明：设，则，即在上，递减， 所以， 即． 综上，成立， 故，得证．