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北京市东城区2021—2022学年度第二学期高三综合练习（二） 数学参考答案及评分标准 2022.5 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）C （2）A （3）A （4）B （5）D （6）C （7）B （8）B （9）A （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11） （12） （13） （14） （答案不唯一） （15）①②④ 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）A P D C B M O 解：（Ⅰ）在中，因为， 所以. 所以，即. 因为，所以. 所以. ………………6分 （Ⅱ）选择条件②： 在中，， 解得. 所以. 解得. 在中，因为， 所以. ………………13分 选择条件③： 在中，因为，， 所以. 在中， =. 在中，可得. ………………13分 （17）（共13分） 解：（Ⅰ）由图可知，从2011年到2021年这11年中，2011年、2015年和2019年男生的视 力平均值高于上一年男生的视力平均值. 因此，从2011年到2021年中随机选取1年，该年男生的视力平均值高于上一年男 生的视力平均值的概率为. ………………3分 （Ⅱ）在这12年中，2010年、2011年、2014年、2018年女生的视力平均值不低于当年 男生的视力平均值. X的所有可能取值为0，1，2. ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故X的数学期望E(X)＝. ………………11分 （Ⅲ）这200名学生的视力平均值从2017年开始连续三年的方差最小. ………13分 （18）（共14分） 解：（Ⅰ）直线，证明如下：A P D C B M O A P D C B M O 因为D，O分别为PA，AC中点， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面． 因为平面，平面平面， 所以． ………………5分 （Ⅱ）连结. 因为，为中点， 所以. 因为平面平面， 所以. 所以. 因为，所以. 如图，建立空间直角坐标系， 则，，， ． 因为点D为PA中点，所以. 所以，. 设为平面的法向量， 则 即 令，则，，可得． 设直线与平面所成角为a ， 因为， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………14分 （19）（共15分） 解：函数的定义域为. （Ⅰ）当时，，. 所以，. 所以曲线在点处的切线方程为. …………5分 （Ⅱ）当时，由有，故曲线在轴的上方. 当时，. 令得或（舍去）. 当变化时，，变化情况如下： + ↘ ↗ 当，即时, 在区间上单调递增， 则， 即曲线在轴的上方. 当，即时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则. 由时，曲线在轴的上方， 有，解得 . 所以 . 综上，实数的取值范围为. ……15分 （20）（共15分） 解：（Ⅰ）由题设，知解得,. 故椭圆的方程为．………………5分 （Ⅱ）由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为. 由消去，得. 由及， 解得的取值范围为. 设，则，. 直线，令，得， 点. 同理，点. 由题设知，,. 因为 ， 所以，且与同号. 依题意，得，且点位于轴同侧. 因为, 所以. ………………15分 （21）（共15分） 解：（Ⅰ）由于， 可得. . 所以. ……………4分 （Ⅱ）. 因为列为数列，所以. 对于数列中相邻的两项， 令. 若，则；若，则. 记中有个，个，则. 因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同， 因此不存在符合题意的数列. ……………9分 （Ⅲ）首先证明. 对于数列，有. . . 因为， ， 所以. 所以. 其次，由数列为数列知，解得. 这说明数列中的任意相邻的两项不同的情况有2次, 也就是数列中所有的相邻，所有的也相邻. 若数列中的个数为m个，此时数列有n个， 所以数列的个数共有个. ………………15分 数学参考答案 第 9 页（共 9 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司