2023届四川省德阳市高三上学期第一次诊断考试理科数学试题.docx

德阳市高中2020级第一次诊断考试 数学试卷(理工农医类) 说明： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回. 2.本试卷满分150分,120分钟完卷. 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合P={x∈ N |x²≤9},Q={1,3},则P∩Q= A.Q B.{-3,-2,-1,0,1,3} C.P D.{-3,-2,-1,2} 2.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是 A.样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9 B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化 C.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高 D.调查影院中观众观后感时，从15排(每排入数相同)每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法 3.复数5i−2的共轭复数为 A.2+i B.-2+ i C.-2-i D.2-i 4.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且S₅=5,S₁₀=30, 则 S₁₅= A.90 B.125 C.155 D.180 5.已知x、y满足约束条件x+2y≤12x+y+1≥0x−y≤0 则 yx+2 的最小值为 A.1 B.17 C.−13 D.−15 6.已知 OA=a,OB=b, 点M关于A的对称点为S，点S关于B的对称点为N，那么MN= A.2a-2b B.2a+2b C.-2a-2b D.-2a+2b 7.德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息，这些石凳是由正方体形石料(如图1)截去8个一样的四面体得到的(如图2)，则下列对石凳的两条边AB与CD所在直线的描述中正确的是 ①直线AB.与CD是异面直线 ②直线AB与CD是相交直线 数学一诊(理工农医类) 第六页(共4页) ③直线AB与CD.成60°角 ④直线AB与CD垂直 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 8.已知某曲线方程为x2m+3−y22m−1=1,则下列描述中不正确的是 A.若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则m∈12+∞ B.若该曲线为圆，则m=4 C.若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上 D.若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则m∈(-∞，-3) 9.函数f(x)=[ln(π-x)+lnx]cosx的大致图象为 10.·如图是旌湖边上常见的设施，从两个高为1.米的悬柱上放置：一根均匀铁链，让其自然下垂轻触地面(视为相切)形成的曲线称为悬链线(又称最速降线).建立恰当的直角坐标系后，其方程可以是y=12ex+e−x+t,那么两悬柱间的距离大致为(可能会用到的数据 e1.25≈3.49,e1.35≈3.86) A.2.5米 B.2.6米 (-2.8米 D.2.9米 11.已知函数fx=1+x−x22+x33−x44+⋯+x2n2023,x∈R,则f(x)在R上的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.2023 12.已知a、b、c是正实数,且e²ᵃ−2eᵃ⁺ᵇ+eᵇ⁺ᶜ=0,则a、b、c的大小关系不可能为 A.a=b=c B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答， 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上. 13.已知二项式x+2xnn∈N∗ 的展开式中最后三项的二项式系数和为79，则n = . 数学一诊(理工农医类) 第2页(共4页) 14.已知a,b是单位向量,且a·b=0,若c=λa+(1-λ)b,那么当c⊥(a-b)时,λ= . 15.已知函数fx=sinωx+ω0,||<π2) 的部分图象如图所示,则f(x)= 。 16.如图,矩形ABCD中,AC是对角线,设∠BAC=α,已知正方形S₁正方形S的周长.和正方形S₂分别内接于Rt△ACD和Rt△ABC,则正方形S1的周长正方形S2的周长 的取值范围为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分12分) 已知等差数列{a，}的首项为1，公差d≠0，前n项和为Sₙ, 且 SnS2n为常数. (1)求数列{aₙ}的通项公式; (2)若bₙ=2ⁿ⁻¹⋅aₙ, 求数列{ bₙ}的前n项和Tₙ. 18.(本题满分12分) 在△ABC中,边a、b、c对应角分别为A、B、C,且ba=cosB+13sinA. (1)求角B的大小; (2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高. 条件① :cosA=33,b=1; 条件②:b=2,c=23; 条件③:a=3,c=2. 注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分. 19.(本题满分12分) 买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示： 月份／月 1 2 3 4 5 6 7 8 月销售量／百个 4 5 6 7 8 10 11 13 月利润／千元 4.1 4.6 4.9 5.7 6.7 8.0 8.4 9.6 (1)求出月利润y(千元).关于月销售量x(百个)的回归方程(精确到0.01)； 数学一诊(理工农医类) 第3页 共高页签字号 (2)2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶的两款盲盒各4个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，用ξ表示3个中装有“五年高考三年模拟”玩偶的盲盒个数，求ξ的分布列和数学期望. 参考公式：回归方程 y=â+bx⋅中斜率和截距最小二乘估计公式分别为： b=∑i=1nxi−xyi−y∑i=1nxi−x2=∑i=1nxiyi−nxy∑i=1nxi2−nx2,â=y−bx. 参考数据： ∑i=18xi2=580,∑i=18xiyi=459.5. 20.(本题满分12分) 已知函数 fx=13x3+12a−1x2−axa0). (1)求函数f(x)的极值; (2)当a>1时,记f(x)在区间[-1,2]的最大值为M,最小值为m.已知M+m∈ 1323. 设f(x)的三个零点为x₁,x₂,x₃,求 f( x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁)的取值范围. 21.(本题满分12分) 已知函数fx=eˣ,gx=tsinx+1,设 b(x) =f(x)-g(x). (1)若h(x)在 −π2π2 上单调递增，求实数t的取值范围； (2)求证:∃t∈(0,+∞);对∀x∈R,∃a∈[0,+∞),使得xh(x)=a总成立. 请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本题满分10分) 在平面直角坐标系中，曲线C₁的方程为x−12+y−32=1,曲线C₂的参数方程为 x=3t2y=3t(t为参数)，直线l过原点O且与曲线C₁交于A、B两点，点P在曲线C₂上且·OP⊥AB.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)写出曲线C₁的极坐标方程并证明|OA|·|OB|为常数； (2)若直线l平分曲线C₁,求△PAB的面积. 23.(本题满分10分) 已知函数f(x)=|x|. (1)画出y=f(x-1)-f(x+5)的图象,并根据图象写出不等式f(x--1)-f(x+5)≤-4的解集; (2)若f(x-1)-f(x+5)+kf(x+2)≥0恒成立，求实数k的取值范围. 数学一诊(理工农医类) 第4页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司