陕西省西北工业大学附属中学2022-2023学年高三上学期1月期末理科数学试题.docx

西工大附中2022-2023学年上学期1月期末 高三理科数学 一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则共轭复数在复平面对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设函数满足，且有，则（    ） A． B． C． D． 3．设集合，则AB＝ A． B． C． D． 4．“”是“不等式”的 A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．非充分必要条件 5．若递增等比数列{an}的前n项和为Sn，a2=2，S3=7，则公比q等于 A．2 B． C．2或 D．无法确定 6．设函数的最小正周期为，则在上的零点之和为（    ） A． B． C． D． 7．一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是 A． B． C． D． 8．作用在同一物体上的两个力，当它们的夹角为时，则这两个力的合力大小为（    ）N. A．30 B．60 C．90 D．120 9．设，，则等于 A． B． C． D． 10．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为（    ） A． B． C． D． 11．已知，是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，与轴垂直，，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 12．已知数列满足，（且），数列的前n项和为Sn，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题5小题，共20分。 13．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，的最大值为________． 14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则角______． 15．若点关于轴对称点为，则的一个取值为_____. 16．曲线上某点处的切线与直线垂直，则该切线方程为________． 三、解答题：本题6小题，共70分。 17．某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示： （1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数； （2）估计甲乙两个小组的成绩的方差大小关系； （3）甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在的概率． 18．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的标准方程； (2)直线与抛物线交于，两点，若线段的中点为，求直线的方程． 19．已知等差数列中，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和的最大值. 20．如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，为的中点，. （Ⅰ）求四棱锥体积； （Ⅱ）证明：平面； （Ⅲ）证明：平面平面. 21．已知数列的首项为1，为数列的前项和，，其中， （1）求的通项公式； （2）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为）且； 22．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆与轴相切，且圆心与抛物线的焦点重合. (1)求抛物线和圆的方程； (2)设为圆外一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两个不同的点和点.且，证明：点在一条定曲线上. 23．已知函数，M为不等式的解集. （1）求M； （2）证明：当，. 参考答案 1．C 化简，求出，找到对应的坐标即可. 对应的点的坐标为，在第三象限 故选：C 2．C 根据题意，得到函数在上单调递增，且为定义在上的偶函数，结合函数的单调性与奇偶性，即可求解. 由题意知，都有， 可得函数在上单调递增， 又由函数满足，可得是定义在上的偶函数， 所以，所以，即， 故选：C. 3．D 利用一元二次不等式的解法化简集合，由交集的定义可得结果. 因为集合或， 所以，，故选D. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 4．A 试题分析：解不等式得,则,而时,不成立.故“”是“不等式”的充分不必要条件.所以A选项是正确的. 考点：解不等式；充要条件. 5．A .由.得. 解得2或. 因为等比数列{an}为递增数列． 所以. 故选A. 6．A 由题意可知，可得，再令，可得在上的零点，由此即可求出结果. 因为，所以. 令，得， 所以在上的零点为，，则所求零点之和为. 故选：A. 本题主要考查了函数 的性质的应用，属于基础题. 7．C 设等差数列的公差为，，又数列前六项均为正数，第七项起为负数，，，又数列是公差为整数的等差数列，，故选C. 8．B 用同一起点的向量表示，由向量加法的平行四边形法则计算． 如图，，，，作平行四边形，则， 因为，所以四边形是菱形，又，是等边三角形，． 故选：B． 9．B ∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B. 点睛:本题考查函数的表示方法,属于基础题目.求函数解析式的一般方法主要有:待定系数法,配凑法,换元法,构造方程组法,赋值法等.解决本题的关键是g(x)＝f(x－2),即在f(x)＝2x＋3的解析式中,将自变量x都用x-2来替换,代入求出f(x－2)的解析式,即所求的g(x)的解析式. 10．B 分两步进行：先选出两名男选手，再从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对. 分两步进行：第一步，选出两名男选手，有种方法； 第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有种. 故有种. 故选：B. 11．A 在直角中，由得到a,b,c的等量关系，结合计算即可得到离心率. 由已知，得，则, 又在椭圆中,, 故, 即, 解得e=, 故选A 本题考查椭圆简单的几何性质，考查椭圆离心率的求法，属于基础题. 12．A 由递推关系可得，由此可化简求出. 因为（且），同除以，得， 所以， ，所以，即. 故选：A. 13．3 由已知得，再利用余弦函数的值域即可求解. ， 又， 即当时，取得最大值为3， 故答案为：3 14．## 由正弦定理与两角和的正弦公式化简 由题意得，而， 由正弦定理化简得，故，，得 故答案为： 15．（答案不唯一） 先求出点关于轴对称的点坐标，与题干中所给的坐标对应相等，对其进行化简即可得到所满足的条件，从而得到的取值 点关于轴对称的点坐标为，则由题可知，，即，，，所以，；同理，即，所以，则，则的一个取值可以为. 故答案为：（答案不唯一） 16． 由可求得切点的横坐标，结合函数的解析式可得出切点的坐标，再利用点斜式可得出所求切线的方程. ，该函数的定义域为，， 直线的斜率为，故所求切线的斜率为，由，可得， ，故切点为， 所以，所求切线的方程为，即. 故答案为：. 17．（1）68；68；（2）估计甲成绩的方差大于乙成绩的方差；（3）. （1）利用茎叶图中的数据直接求两个小组的平均数； （2）利用方差公式直接求解； （3）由茎叶图可知，甲组高于70分的同学共4名，有2 名在，记为，有2 名在，记为，任取两名同学，利用列举法能求出恰好有一名同学的得分在的概率 解：（1）记甲乙两个小组成绩的平均数分别为，则 ， ， 所以甲乙两个小组成绩的平均数均为68， （2）记甲乙两个小组的成绩的方差分别为，则 ， ， 所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差； （3）由茎叶图可知，甲组高于70分的同学共4名，有2 名在，记为，有2 名在，记为，任取两名同学的基本事件有6个： ， 恰好有一名同学的得分在的基本事件数共4个： ， 所以恰好有一名同学的得分在的概率为， 此题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，考查列举法等知识，考查运算能力，属于基础题 18．(1) (2) （1）根据焦半径公式得，求得，即可求解方程； （2）由点差法化为，根据中点坐标可得直线斜率从而求出直线方程． （1）因为点在抛物线上，所以 又因为，解得，故抛物线的标准方程为； （2）设，则 ，所以，化为 又因为的中点为，所以， 则 ，故直线的斜率为，所以直线的方程为 整理得． 19．（1）；（2）90. （1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出等差数列的通项公式；（2）利用公式求出前项和，利用二次函数图象求得最大值． 解：（1）等差数列中， ， ，解得，， 的通项公式． （2），， 的前项和． 当或时，前项和的最大值90. 20．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析. （Ⅰ）利用锥体的体积公式即得； （Ⅱ）取中点，由题可得四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即得； （Ⅲ）由，得平面，由及面面垂直的判定定理即得. （Ⅰ）设四棱锥体积为，正方形的面积为， 则． （Ⅱ）取中点，连结， 因为、分别为、的中点， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以． 又平面，平面， 所以平面； （Ⅲ）∵底面正方形，平面， ∴，又，，平面，平面， 所以平面，平面， 所以．又，平面，平面， 所以平面． 由（Ⅱ）知， 所以平面，而平面， 所以平面平面． 21．（1）（2）证明见解析 （1）采用作差法即可求解； （2）由，求得（1），．再由导数判断出函数在，内单调递增，得到在，内有且仅有一个零点，由，得到； （1）①，②，①-②得，又当时，，故数列为等比数列，首项为1，公比为，； （2），可得， ，在，内至少存在一个零点，又，在，内单调递增， 在，内有且仅有一个零点， 是的一个零点，， 即，故； 本题考查函数零点存在定理的应用，等比数列的前项和，利用导数研究函数的单调性，数学转化与化归等思想方法，属于中档题 22．(1)抛物线的方程为，圆的方程为 (2)证明见解析 （1）根据抛物线的焦点到准线的距离可得的值，即可得抛物线方程；根据圆的性质确定圆心与半径，即可得圆的方程； （2）根据直线与圆相切，切线与抛物线相交联立，结合韦达定理，即可得所满足的方程. （1）解：由题设得， 所以抛物线的方程为. 因此，抛物线的焦点为，即圆的圆心为 由圆与轴相切，所以圆半径为， 所以圆的方程为. （2）证明：由于，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则. 故设过点且与圆相切的切线方程为，即. 依题意得，整理得①； 设直线的斜率分别为，则是方程①的两个实根， 故，②， 由得③， 因为点， 则④，⑤ 由②，④，⑤三式得： ， 即， 则，即， 所以点在圆. 23．（1）  （2）证明见解析 （1）用分类讨论法去掉绝对值符号，化为分段函数，再解不等式． （2）用分析法证明． （1）， 时，，无解，同样时，，无解，只有时，满足不等式，∴；    （2）要证，只需证， 即证，即证， 因为，所以，则， 原不等式成立. 本题考查解含绝对值的不等式，考查用分析法证明不等式．解含绝对值的不等式，一般都是按绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号后再求解．