陕西省安康中学2022-2023学年高三上学期第一次检测性考试文科数学试题.docx

安康中学2020级高三第一次检测性考试 （文科数学） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数，其中是实数，是虚数单位，若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量与的夹角是，且，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3.“”是“直线与直线垂直”的（ ） A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若，则的值为（ ） A. B.2 C. D. 5.若曲线在点外的切线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6.已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ） A.，且 B.，且 C.，且 D.，且 7.在棱长为3的正方体内任取一点，则这个点到该正方体各个面的距离均超过1的概率为（ ） A. B. C. D. 8.已知命题：若且，则；命题，存在，使，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 9.已知实数满足，则的最大值为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 10.已知函数，给出下列四个结论 ①函数的最小正周期是； ②函数在区间上是减函数； ③函数的图象关于直线对称； ④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到. 其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 11.设双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，若双曲线上存在点满足，则双曲线的离心率为（ ） A.6 B.3 C. D. 12.对于给定的正整数，设集合，且.记为集合中的最大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的所有的和记为，则（ ） A. B. C. D. 第II卷 二､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.已知，则__________. 14.如图，在中，是线段上一点，若，则实数的值为__________. 15.记为等差数列的前项和.若，则公差__________. 16.已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围是__________. 三､解答题（本大题共6大题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17.（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，且A为锐角. （1）求A； （2）求c及△ABC的面积. 18.（12分）如图，四面体中，，E为AC的中点. （1）证明：平面平面ACD； （2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积. 19.（12分）第130届中国进出口商品交易会（广交会）于2021年10月15日至11月3日举办.其中10月15日~18日的第二期展示中，有两家礼品参展商为了交流感情，进行了如下游戏，在甲参展商的箱子和乙参展商的箱子中分别装有标号为1，2，3的3个形状材质均相同的小礼品盒，现从甲､乙参展商的两个箱子中各取出1个小礼品盒，每个小礼品盒被取出的可能性相等. （1）求取出的两个小礼品盒标号相同的概率； （2）若将乙参展商箱子中的小礼品盒全部倒入甲参展商的箱子中，然后从甲参展商的箱子中不放回的随机取出两个小礼品盒，求取出的两个小礼品盒标号相同的概率. 20.（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且直线与圆相切. （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且不过原点的直线与椭圆相交于､两点，为坐标原点，直线的斜率分别为，若成等比数列，推断是否为定值﹖若是，求出此定值；若不是，说明理由. 21.（12分）已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 请考生在22､23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）. （1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程； （2）若曲线的参数方程为（为参数），点在曲线上，其极角为，点为曲线上的动点，求线段的中点到直线的距离的最大值. 23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数，其中为实常数. （1）若函数的最小值为3，求的值； （2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围. 2023届陕西省安康中学高三月考数学（文科）答案解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】D 【解析】由已知，，则，且，即. 所以，所对应的点位于第四象限，故选. 2.【答案】B 【解析】由已知，，即，所以，即，故选B. 3.【答案】B 【详解】直线与直线垂直， 则，解得：或， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】A 【解析】由已知，.因为，则，从而，即，故选A. 7.【答案】A 因为棱长为3的正方体的体积为27，到该正方体各个面的距离均超过1的部分在棱长为1的正方体内， 其体积为1，所以这个点到该正方体各个面的距离均超过1的概率. 8.【答案】A 【解析】若且，则且，得，即，从而，所以命题为真.因为直线与函数的图象在内有唯一交点，则方程有正数解，即方程有正数解，所以命题为真，故选A. 9.【答案】D 【解析】令，则，且.作可行域，平移直线，由图知，当直线过点时，直线的纵截距最小，从而为最大，且， 10.【答案】B 【解析】. ①因为，则的最小正周期，结论错误. ②当时，，则在区间上是减函数，结论正确. ③因为为的最大值，则的图象关于直线对称，结论正确. ④设，则，结论错误，故选B. 11.【答案】C 【解析】过点作轴的垂线，垂足为，因为，则为的中点，所以，.设，则.在Rt中，. 在Rt中，，则，即. 因为，则，所以，即，所以 12.【答案】D 【解析】对于集合，满足的集合只有1个，即；满足的集合有2个，即；满足的集合有4个，即； 满足的集合有个，所以. 由错位相减法，得，所以，故选D 二､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.【答案】 【解析】 14.【答案】 【解析】因为，则，所以. 因为三点共线，则，所以. 15.【答案】2 16.【答案】 【解析】令，则.据题意，直线与函数的图象有两个不同的交点，由图可知，，即. 三､解答题（本大题共6大题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17.（1）因为， 所以， 即.因为，所以. 因为A为锐角，所以. （2）因为，，，所以， 所以，解得或（舍去）， 故△ABC的面积为. 18.（1）由于，是的中点，所以. 由于，所以， 所以，故， 由于，平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面. （2）依题意，，三角形是等边三角形， 所以， 由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以. ，所以， 由于，平面，所以平面. 由于，所以， 由于，所以， 所以，所以， 由于，所以当最短时，三角形的面积最小值. 过作，垂足为， 在中，，解得， 所以， 所以. 过作，垂足为，则，所以平面，且， 所以， 所以. 19.（1）由题意知，基本事件有， （3，1），（3，2），（3，3），共9种. 设事件“取出的两个小礼品盒标号相同”， 则事件包含的基本事件有，共3种， 故. （2）分别用和表示甲､乙两参展商箱子中的小礼品盒， 则基本事件有，，共15种. 设事件“两次取出的小礼品盒标号相同”， 则事件包含的基本事件有，共3种， 20.【答案】（1）；（2）是定值，. 【解析】（1）因为抛物线的焦点为， 则，所以， 因为直线与圆相切，则，即. 解得，所以椭圆的方程 （2）设直线的方程为，点， 将直线的方程代入椭圆方程，得， 即， 则 由已知， 则，即 所以，即 因为，则，即， 从而， 所以 为定值. 21.【答案】（1）当时，在上，是减函数，当时，在上，是减函数，在上，是增函数；（2） 【解析】 【分析】求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可.（2） 对任意x>0，都有f（x）>0成立，转化为在（0，+∞）上f（x）min>0，利用函数的导数求解函数的最值即可. 【详解】 （1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞） 又 当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）<0，f（x）是减函数 当a>0时，由f′（x）=0得：或（舍） 所以：在上，f′（x）<0，f（x）是减函数 在上，f′（x）>0，f（x）是增函数 （2）对任意x>0，都有f（x）>0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min>0 由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数， 又f（1）=2a﹣2<0，不合题意 当a>0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值， 所以： 令（a>0） 所以： 在（0，+∞）上，u′（a）>0，u（a）是增函数又u（1）=0 所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1， 故：a的取值范围为[1，+∞） 22.【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由，得.将代入，得曲线的直角坐标方程为. 由得， 所以直线的普通方程为. （2）由题设，点的极坐标为，其直角坐标为. 设点，则的中点的坐标为. 点到直线的距离. 所以点到直线的距离的最大值为. 23.【答案】（1）或；（2）. 【解析】（1）因为， 当且仅当时取等号，则. 令，则或. （2）当时，. 由，得，即，即，即.所以. 因为函数和在上都是减函数，则当时，；当时，，所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司