陕西省安康中学2022-2023学年高三上学期第一次检测性考试理科数学试题.docx

安康中学2020级高三第一次检测性考试 （理科数学） 一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数，其中是实数，是虚数单位，若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量与的夹角是，且，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3.“”是“直线与直线垂直”的（ ） A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列说法中正确的是（ ） A.若样本数据，，…，的平均数为5，则样本数据，，…，的平均数为10 B.用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60 C.某种圆环形零件的外径服从正态分布（单位：），质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为，则这批零件不合格 D.对某样本通过独立性检验，得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有的人可能患肺病 5.已知的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是（ ） A. B.84 C. D.24 6.已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ） A.，且 B.，且 C.，且 D.，且 7.在棱长为3的正方体内任取一点，则这个点到该正方体各个面的距离均超过1的概率为（ ） A. B. C. D. 8.已知命题：若且，则；命题，存在，使，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 9.已知实数满足，则的最大值为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 10.已知函数，给出下列四个结论 ①函数的最小正周期是；②函数在区间上是减函数；③函数的图象关于直线对称；④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到.其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 11.设双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，若双曲线上存在点满足，则双曲线的离心率为（ ） A.6 B.3 C. D. 12.对于给定的正整数，设集合，且.记为集合中的最大元 素，当取遍的所有非空子集时，对应的所有的和记为，则（ ） A. B. C. D. 第II卷 二､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.已知，则__________. 14.如图，在中，是线段上一点，若，则实数的值为__________. 15.《易经》是中国传统文化的精髓，易经八卦分别为乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑，现将乾､坤､巽三卦按任意次序排成一排，则乾不在中间的概率为_________. 16.已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点.当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a=__________. 三､解答题（本大题共6大题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17.（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，且A为锐角. （1）求A； （2）求c及△ABC的面积. 18.（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，分别为的中点， （1）证明：； （2）若与所成角为，求平面和平面所成角的余弦值. 19.（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得. （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附：相关系数. 20.（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且直线与圆相切. （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且不过原点的直线与椭圆相交于､两点，为坐标原点，直线的斜率分别为，若成等比数列，推断是否为定值﹖若是，求出此定值；若不是，说明理由. 21.（12分）已知函数，为自然对数的底数. （1）若存在，使，求实数的取值范围； （2）若有两个不同零点，证明：. 请考生在22､23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）. （1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程； （2）若曲线的参数方程为（为参数），点在曲线上，其极角为，点为曲线上的动点，求线段的中点到直线的距离的最大值. 23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数，其中为实常数. （1）若函数的最小值为3，求的值； （2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围. 2023届陕西省安康中学高三月考数学（理科）答案解析 一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】D 【解析】由已知，，则，且，即. 所以，所对应的点位于第四象限，故选. 2.【答案】B 【解析】由已知，，即，所以，即，故选B. 3.【答案】B 【详解】直线与直线垂直， 则，解得：或， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 4.【答案】C 对于A，若样本数据，，…，的平均数为5， 则样本数据，，…，的平均数为，所以说法错误； 对于B，由抽取的号码可知样本间隔为，则对应的人数为人， 若该班学生人数为60，则样本间隔为，所以说法错误； 对于C，因为，则， 因为不在范围里，则这批零件不合格，所以说法正确； 对于D，有的把握认为吸烟与患肺病有关系， 是指对样本所得结论“吸烟与患肺癌有关系”有的可能性，所以说法错误； 故选：C 5.【答案】A 【解析】由已知，，得，所以. 令，得，所以展开式中含项的系数为，故选A. 6.【答案】A 【解析】由已知，.因为，则，从而，即，故选A. 7.【答案】A 因为棱长为3的正方体的体积为27，到该正方体各个面的距离均超过1的部分在棱长为1的正方体内， 其体积为1，所以这个点到该正方体各个面的距离均超过1的概率. 8.【答案】A 【解析】若且，则且，得，即，从而，所以命题为真.因为直线与函数的图象在内有唯一交点，则方程有正数解，即方程有正数解，所以命题为真，故选A. 9.【答案】D 【解析】令，则，且.作可行域，平移直线，由图知，当直线过点时，直线的纵截距最小，从而为最大，且， 10.【答案】B 【解析】. ①因为，则的最小正周期，结论错误. ②当时，，则在区间上是减函数，结论正确. ③因为为的最大值，则的图象关于直线对称，结论正确. ④设，则，结论错误，故选B. 11.【答案】C 【解析】过点作轴的垂线，垂足为，因为，则为的中点，所以，.设，则.在Rt中，. 在Rt中，，则，即. 因为，则，所以，即，所以 12.【答案】D 【解析】对于集合，满足的集合只有1个，即；满足的集合有2个， 即；满足的集合有4个，即； 满足的集合有个，所以. 由错位相减法，得，所以，故选D 二､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.【答案】 【解析】 14.【答案】 【解析】因为，则，所以. 因为三点共线，则，所以. 15.【答案】 将乾､坤､巽三卦按任意次序排成一排，不同排法有：乾坤巽，乾巽坤，坤乾巽，坤巽乾，巽乾坤，巽坤乾，共有6种， 其中乾不在中间的排法有：乾坤巽，乾巽坤，坤巽乾，巽坤乾，共4种， 所以乾不在中间的概率为. 故答案为： 16.【答案】 【解析】设，所以， 设，， 当时，，，所以单调递增， 当时，，， 所以单调递减， 当时，函数有最小值，即有最小值，所以， 此时直线OP的方程为，设直线与曲线相切于点， 由，显然在直线上， 则，因此有， 故答案为： 三､解答题（本大题共6大题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17.（1）因为， 所以， 即.因为，所以.因为A为锐角，所以. （2）因为，，，所以， 所以，解得或（舍去）， 故△ABC的面积为. 18.（1）证明：因为为的中点，所以. 又，且，所以平面， 又因为面，所以； （2）因为底面为直角梯形，，所以四边形为矩形， 所以， 又，平面， 所以四边形是平行四边形，则， 所以，则， 以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系： 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 平面的一个法向量为， 则， 所以平面和平面所成角的余弦值. 19.（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为， 平均一棵的材积量为 （2） 则 （3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为， 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得，解之得. 则该林区这种树木的总材积量估计为 20.【答案】（1）；（2）是定值，. 【解析】（1）因为抛物线的焦点为，则，所以， 因为直线与圆相切， 则，即. 解得，所以椭圆的方程 （2）设直线的方程为，点， 将直线的方程代入椭圆方程，得， 即， 则 由已知， 则，即 所以，即 因为，则，即，从而， 所以 为定值. 21.【答案】（1）；（2）见解析. 【解析】（1）解法一： ①若，因为，则，此时在上单调递增. 当时，，不合题意. ②若，由，得，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以. 据题意，，则，即，所以的取值范围是. 解法二：当时，由，得，即. 设，据题意，当时，能成立，则. 因为， 则当时，单调递增；当时，单调递减. 所以，故的取值范围是. （2）由题设，，即，则， 即. 要证，只要证，即证，即证. 不妨设，由（1）可知，，且，从而. 因为在上单调递减，所以只要证，即证. 设， 则， 所以在上单调递增.因为，则， 即，即，所以原不等式成立. 22.【答案】（1）（2）. 【解析】（1）由，得.将代入， 得曲线的直角坐标方程为. 由得，所以直线的普通方程为. （2）由题设，点的极坐标为，其直角坐标为. 设点，则的中点的坐标为. 点到直线的距离. 所以点到直线的距离的最大值为. 23.【答案】（1）或；（2）. 【解析】（1）因为， 当且仅当时取等号，则. 令，则或. （2）当时，. 由，得，即，即，即.所以. 因为函数和在上都是减函数，则当时，；当时，，所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司