精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题（解析版）.docx

哈师大附中2020级高二下学期期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合的子集有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 16个 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，结合，求出，计算出，从而求出，并求出交集的子集个数. 【详解】，解得：，又因为， 所以， 因为，且， 所以， 故的子集有个. 故选：B 2. “当时，幂函数为减函数”是“或2”的（ ）条件 A. 既不充分也不必要 B. 必要不充分 C 充分不必要 D. 充要 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】当时，幂函数为减函数， 所以有， 所以幂函数为减函数”是“或2”的充分不必要条件， 故选：C 3. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为， 所以， 又，则 故选D. 点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种： （1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列； （2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列. 4. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用，得到，再利用奇偶性和单调性判断即可. 【详解】， 则， 奇函数在上为减函数， 在上为减函数， ， ， 即. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了利用奇偶性和单调性比较大小的问题.属于较易题. 5. 已知定义在（0，+∞）上函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（ ） A. （0，2022） B. （2022，+∞） C. （2023，+∞） D. （2022，2023） 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，使得，然后根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题设，所以在上单调递减，又，即，又函数的定义域为，所以，综上可得：. 故选：D. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x趋近0时判断排除得选项. 【详解】解：的定义域为， ，是偶函数，排除A，C. 又且无限接近0时，且，此时，排除D， 故选：B. 7. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三个数的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，最后根据单调性进行比较大小即可. 【详解】构造函数，，当时，， 单调递增，所以，. 故选：A 8. 已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先判断的奇偶性，再根据奇偶函数的对称性计算即可. 【详解】因为，定义域为， 且， 所以为奇函数关于对称， 则关于对称. 又，即 所以的图象关于对称. 不妨设关于对称的坐标为， 则，， ，， 则，，，，，， 即. 故选:D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A,消元利用二次函数的图象和性质判断；对于选项B,C,D都利用基本不等式判断. 【详解】解：因为，，且，所以，所以，二次函数的抛物线的对称轴为，所以当时，的最小值为，所以，所以选项A正确； 成立，当且仅当a＝b＝时取等号），故选项B错误； ，成立，（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项C正确； ∵，∴（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项D正确. 故选：ACD 10. 甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】换元后得到，用两根之和求出，两根之积求出，从而求出的两根为或，得到或. 【详解】令， 则方程可化为：，即， 则甲写错了常数b，得到的根为或， 由两根之和得： 乙写错了常数c，得到的根为或， 由两根之积得：， 所以方程为， 解得：或 即或， 解得：或. 故选：AD 11. 对于函数和，则下列结论中正确的为（ ） A. 设的定义域为，的定义域为，则． B. 函数的图像在处的切线斜率为0． C. 函数的单调减区间是，． D. 函数的图像关于点对称． 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数来研究函数的切线斜率以及单调性问题，利用函数的概念以及性质 来研究定义域与对称性问题. 【详解】因为，所以，即， 解得，因为， 所以，解得.所以.故A正确； 因为，所以， 所以，所以的图像在 处的切线斜率为-1，故B错误； 因为，定义域为： ，所以， 由有：，所以函数的单调 递减区间，，故C正确； 当时， . 所以函数的图像关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 12. 设是数列的前项和，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列的前项和为 B. 数列为递增数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列的最大项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知数列递推式可得，结合，得数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式，可得，结合求数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：由，得， ，即， 又，数列为以1为首项，以1为公差的等差数列， 则，可得，故正确； 当时，， ，数列的最大项为，故错误，正确． 故选：． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知原命题的否定为真命题，根据一元二次不等式恒成立可知，由此可解得取值范围. 【详解】原命题为假命题，其否定“，都有”为真命题， ，解得：，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，则关于的不等式的解集为____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据奇偶性定义可得是奇函数，且，不等式转化为，再分析的单调性，利用单调性求解即可. 【详解】令， ， 有，所以是奇函数， 所以， 又因为和 均为增函数， 所以为增函数， 因为， 所以， 所以， 解得， 故答案为：. 15. 已知实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过换元，设，，再根据题干中这个条件，即可得到，然后利用均值不等式即可得到答案. 【详解】设，，， 可得， 则. 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 16. 定义在上函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由，根据，即，依此类推，作出函数的图象求解． 【详解】因为当，时，， 所以， 因为， 当，时，即时， 所以，即， 当，，即，时，， 当，，即，时，， 所以， 依此类推，作出函数的图象，如图所示： 由图象知：，,当时，， 当时, 因为对任意，，都有， 则，解得：， 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程过演算步骤． 17. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等比数列； （2）若，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由化简变形可得，从而可证得结论， （2）由（1）可得，代入，变形后，利用分组求和法可求得结果 【小问1详解】 证明：由 得 ， 因为，所以， 所以 为常数， 所以数列 是首项为 3 ， 公比为 3 的等比数列 【小问2详解】 由（1）得 所以， 所以， 所以 18. 某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机抽取了位学生进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女生人数的；在回答“不满意”的人中，女生人数占． （1）请根据以上信息完成下面列联表； 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，判断学生对体育锻炼时长的满意度是否与性别有关，并解释性别对体育锻炼时长满意度的影响． 【答案】（1）填表见解析； （2）认为学生对于体育锻炼， 时长的满意度与性别有关， 解释见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定数据完成列联表. （2）由（1）中列联表求出观测值，再与临界值表比对即可作答. 【小问1详解】 依题意，满意人数为50人，其中男生人数为人，不满意人数为50人，其中女生人数为人， 列联表为： 满意 不满意 合计 男生 15 40 55 女生 35 10 45 合计 50 50 100 【小问2详解】零假设为：学生对于体育锻炼时长的满意度与性别没有关联， 根据小概率值的独立性检验， 我们推断不成立，即认为学生对于体育锻炼， 时长的满意度与性别有关， 此推断犯错误的概率不大于 0.001， 男生中满意和不满意的频率分别为和，女生中满意和不满意的频率分别为和， 由此可以看出，男生中不满意的频率明显高于女生中不满意的频率，根据频率稳定性与概率的原理， 我们可以推断，男生中不满意的概率较大． 19. 已知函数． （1）设，证明：对，都有恒成立； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用分析法，只需证，设，利用在单调性和最值可得答案. （2）由，利用（1）可知，整理可得答案. 【小问1详解】 由题意可知，要证：在上恒成立， 只需证：， 只需证：．．．．．．（*）， 设，则， ，则，， 即：，所以，在单调递增，则， 所以，（*）式成立，以上各步均可逆，即恒成立. 【小问2详解】 ， 则由（1）可知，整理得：， 所以，当，． 20. 根据统计，某蔬菜亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间对应数据的散点图如图所示. （1）请从相关系数r（精确到0.001）的角度分析，能否用线性回归模型拟合y与x的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）； （2）建立y关于x的线性回归方程，并用其估计当该种液体肥料每亩使用量为9千克时，该蔬菜亩产量的增加量约为多少百千克？ 参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 参考数据： 【答案】（1）见解析 （2），增加量约为5百千克 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解； （2）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解线性回归方程，将代入上式的线性回归方程中，即可求解． 【小问1详解】 解：（1）由已知数据可得，， 所以， ， ， 所以相关系数， 因为， 所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y与x关系； 【小问2详解】 解：由于， ， 所以关于的线性回归方程为， 当时，，所以西红柿亩产量的增加量约为5百千克． 21. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）设，当时，任意，存在使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数来研究函数的单调性，注意对参数进行讨论. （2）恒成立与能成立问题都利用函数的最值来处理. 【小问1详解】 因为函数， 所以函数定义域为： ，且 ①当时，，令，令, 所以当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，，因为，所以当时， ，令，令或， 所以当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，， 所以当时，在上单调递减； 当时，，令，令 或， 所以当时，在，上单调递减，在上单调递增； ③当时，令，令， 所以当时在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知当时，在上单调递增， 所以，所以原问题， 使得成立，使得成立. 设，则， 所以上单调递减，所以. 所以即. 【点睛】利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数． 22. 已知函数的极大值为，其中e＝2.71828…为自然对数的底数． （1）求实数k的值； （2）若函数，对任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立．求实数a的取值范围. 【答案】（1）k＝1 （2）0≤a≤1 【解析】 【分析】（1）根据函数的极大值为，利用极值的定义求解； （2）将对任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立，转化为对任意x∈（0，+∞），xex﹣alnx﹣ax﹣a≥0恒成立求解. 【小问1详解】 解： ＝，x＞0， 当x∈（0，e）时，＞0，f（x）递增； 当x∈（e，+∞）时，＜0，f（x）递减； 所以f（x）的极大值为f（e）＝， 故k＝1； 【小问2详解】 根据题意，任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）， 即， 化简得xex﹣alnx﹣ax﹣a≥0， 令h（x）＝xex﹣alnx﹣ax﹣a，x＞0， h（x）＝elnxex﹣alnx﹣ax﹣a＝elnx+x﹣a（lnx+x）﹣a， 令lnx+x＝t，t∈R， 设H（t）＝et﹣at﹣a，H'（t）＝et﹣a， 只需H（t）≥0，t∈R， 当a＜0时，当t＜0时，H（t）＜1﹣at﹣a， 所以H（）＜1﹣a（）﹣a＝0，不成立； 当a＝0时，H（t）≥0显然成立； 当a＞0时，由＝et﹣a，当t∈（﹣∞，lna），H（t）递减，t∈（lna，+∞），H（t）递增， H（t）的最小值为H（lna）＝a﹣alna﹣a＝﹣alna， 由H（lna）＝﹣alna≥0，得0＜a≤1， 综上0≤a≤1； 学科网（北京）股份有限公司