湖南省湘阴县知源高级中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题.docx

湘阴县知源高级中学2023届高三第二次月考 数学科试卷 满分：150分 考试时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A={x|x>−1}，B={x|x<2}，则A∪(∁RB)= (    ) A. {x|x>−1} B. {x|x≥−1} C. {x|x<−1} D. {x|−1<x⩽2} 2．对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的(     ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序是(    ) A. 0.65<log0.65<50.6 B. 0.65<50.6<log0.65 C. log0.65<0.65<50.6 D. log0.65<50.6<0.65 4．若实数x,y满足：x,y>0,3xy−x−y−1=0，则xy的最小值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．函数fx=2xx2−1的图象大致为(    ) A. B. C. D.   6．设函数f(x)=−x2+4x−3,x≤2log2x,x>2，则满足不等式f2x−1<2的解集是（       ） A．−∞,32 B．2,52 C．32,2 D．−∞,52 7．当x=1时，函数f(x)=alnx+bx2+3取得最大值2，则f(3)=（       ） A．2ln3+2 B．−163 C．2ln3−6 D．−4 8．已知函数fx=log3x,x>03x,x≤0，若函数gx=fx2−m+2fx+2m恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（       ） A．0,1 B．0,1 C．1,+∞ D．1,+∞ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列求导错误的是(    ) A. (e3x)′=3ex B. x22x+1′=x C. (2sinx−3)′=2cosx D. (xcosx)′=cosx−xsinx 10．已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则(    ) A. a>0 B. 不等式bx+c>0的解集是{x|x<−6} C. a+b+c>0 D. 不等式cx2−bx+a<0的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞) 11．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是θ0（单位：oC），环境温度是θ1（单位：oC），其中θ0>θ1则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ=ft=θ1+θ0−θ1⋅e−kt(k∈R且k>0）.现有一杯80∘C的热红茶置于20∘C的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（       ）（参考数值ln2≈0.7) A．若f3=50∘C，则f6=35∘C B．若k=110，则红茶下降到50∘C所需时间大约为7分钟 C．若f′3=−5，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5∘C的速率下降 D．红茶温度从80∘C下降到60∘C所需的时间比从60∘C下降到40∘C所需的时间多 12．函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，设g(x)=f′(x)，ℎ(x)=f(x−4)+x，则以下结论正确的有（       ） A．函数g(x−2)的图象关于直线x=−2对称 B．若g(x)的导函数为g′(x)，定义域为R，则g′(0)=0 C．ℎ(x)的图象关于点(4,4)中心对称 D．设an为等差数列，若a1+a2+⋯+a11=44，则ℎa1+ℎa2+⋯+ℎa11=44 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若函数fx=2m−1xm是幂函数，则实数m=______. 14．求值：2log214−(827)−23+lg 1100+(2−1)lg 1=          ． 15．已知点P为曲线y=lnx上的动点，则P到直线y=x+4的最小距离为______. 16．设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)，对任意的x∈(0,+∞)，都有ff(x)−log3x=4，若x0是方程f(x)−2f′(x)=3的一个解，且x0∈(a,a+1),a∈N∗，则实数a=_____． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知函数f(x)=sin (π4+x)sin (π4−x)+3sin xcos x． (1)求f(π6)的值； (2)在△ABC中，若f(A2)=1，求sinB+sinC的最大值． 18．（本小题满分12分）已知在数列an中，a1=3，且an+an+1=3n+1. (1)证明：数列an3n−34是等比数列. (2)求an的前n项和Sn. 19． （本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=22，AD=2，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM (1)求证：AD⊥BM (2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E−AM−D的余弦值为55． 20．（本小题满分12分）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格Px（元）与时间x（天）的函数关系近似满足Px=1+kx（k为正常数）．该商品的日销售量Qx（个）与时间x（天）的部分数据如下表所示： x/天 10 20 25 30 Qx/个 110 120 125 120 已知第10天该商品的日销售收入为121元． (1)求k的值； (2)给出以下四种函数模型： ①Qx=ax+b，②Qx=ax−25+b，③Qx=a⋅bx，④Qx=a⋅logbx． 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Qx与时间x的关系，并求出该函数的解析式； (3)求该商品的日销售收入fx1≤x≤30,x∈N+（元）的最小值． 21．（本小题满分12分）已知函数fx=log141−axx−1的图象关于原点对称，其中a为常数． (1)求a的值； (2)当x∈1,+∞时，fx+log14x−1<m恒成立，求实数m的取值范围； (3)若关于x的方程fx=log14x+k在2,3上有解，求实数k的取值范围． 22．（本小题满分12分）已知函数f(x)=ex−m+ln3x. (1)设x=1是函数f(x)的极值点，求m的值并讨论f(x)的单调性； (2)当m⩽2时，证明：f(x)>ln3. 湘阴县知源高级中学2023届高三第二次月考 数学科试卷（答案） 一、单选题 1．【答案】A 【详解】已知集合A={x|x>−1}，B={x|x<2}，则∁RB={x|x≥2}，因此A∪(∁RB)={x|x>−1}.故选A． 2．【答案】B 【详解】当a>b时，不能推出ac2>bc2，当ac2>bc2，可推出a>b． 故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．故选：B． 3．【答案】C 【详解】∵50.6>1，1>0.65>0，log0.65<0∴50.6>0.65>log0.65，故选C． 4．【答案】A 【详解】因为3xy−x−y−1=0，所以3xy−1=x+y， 由基本不等式可得3xy−1=x+y≥2xy， 故3xy−2xy−1≥0，解得xy≥1或xy≤−13（舍），即xy≥1 当且仅当x=y=1时等号成立， 故xy的最小值为1，故选：A. 5．【答案】A 【详解】函数fx=2xx2−1，定义域为{x|x≠±1}， 由f(−x)=−f(x)，故f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B，D； 当0<x<1时，f(x)<0，排除C．故本题选A． 6．【答案】D 【详解】函数fx的图象如下图所示： 由图可知：函数fx在R上单调递增，因为f4=2， 所以f2x−1<2等价于f2x−1<f(4)，故2x−1<4，即x<52，故选：D 7． 【答案】C 【详解】因为fx=alnx+bx2+3，所以f′x=ax+2bx， 又当x=1时，函数fx=alnx+bx2+3取得最大值2， 所以f1=2，f′1=0，即b+3=2a+2b=0，解得b=−1，a=2， 所以fx=2lnx−x2+3，f′x=2x−2x=21−x1+xx， 所以fx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，符合题意， 所以f3=2ln3−6故选：C． 8．【答案】A 【详解】画出函数的大致图象，如下图所示： ∵函数gx=fx2−m+2fx+2m恰好有5个不同的零点，∴方程fx2−m+2fx+2m=0有5个根，设t=f(x)，则方程化为t2−m+2t+2m=0，易知此方程有两个不等的实根t1，t2，结合f(x)的图象可知，t1∈0,1，t2∈1,+∞，令ℎ(t)=t2−m+2t+2m，则由二次函数的根的分布情况得：Δ=(m+2)2−8m>0ℎ(0)>0ℎ(1)≤0，解得：0<m≤1.故选：A 二、多选题 9．【答案】AB 【详解】e3x′=3e3x，故A错误；(x22x+1)′=2x2x+1−2x22x+12≠x，故B错误； (2sin x−3)′=2cos x，故C正确； (xcos x)′=x′cosx+xcosx′=cos x−xsin x，故D正确．故答案选：AB． 10．【答案】ABD 【详解】由题意可知，−2和3是方程ax2+bx+c=0的两根，且a>0， ∴−2+3=−ba，(−2)×3=ca，∴b=−a，c=−6a，a>0，即选项A正确； 不等式bx+c>0等价于a(x+6)<0，∴x<−6，即选项B正确； ∵不等式ax2+bx+c>0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)， ∴当x=1时，有a+b+c<0，即选项C错误； 不等式cx2−bx+a<0等价于a(6x2−x−1)>0，即a(3x+1)(2x−1)>0， ∴x<−13或x>12，即选项D正确．故选：ABD． 11．【答案】ABC 【详解】由题知θ=ft=20+60e−kt， A：若f3=50∘C，即50=20+60e−3k，所以e−3k=12，则f6=20+60e−6k=20+60e−3k2=20+60×122=35∘C，A正确； B：若k=110，则20+60⋅e−110t=50，则e−110t=12， 两边同时取对数得−110t=ln12=−ln2，所以t=10ln2≈7， 所以红茶下降到50∘C所需时间大约为7分钟，B正确； C：f′3表示t=3处的函数值的变化情况，若f′3=−5<0，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5∘C的速率下降，故C正确； D:ft为指数型函数，如图，可得红茶温度从80∘C下降到60∘C所需的时间t2−t1比从60∘C下降到40∘C所需的时间t3−t2少，故D错误. 故选：ABC． 12．【答案】BCD 【详解】由导数的几何意义及fx的对称性，fx在x和−x处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故gx=g−x,gx是偶函数，gx−2对称轴为x=2,A错； 由gx的对称性，gx在x和−x处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故g′−x=−g′x,g′x为奇函数，又定义域为R,g′0=0，B对； ℎx=fx−4+x−4+4，由fx为奇函数知ux=fx+x为奇函数，图像关于0,0对称，ℎx可以看作由ux按向量4,4平移而得，故C对； 由C选项知，当x1+x2=8时，ℎx1+ℎx2=8， 由等差数列性质a1+a11=8,∴ℎa1+ℎa11=8，以此类推倒序相加，D正确. 故选：BCD 三、填空题 13．【答案】1 【详解】因为fx=2m−1xm是幂函数，所以2m−1=1，解得m=1. 故答案为：1 14．【答案】−3 【详解】2log214−(827)−23+lg1100+(2−1)lg1=14−233−23−lg100+2−10 =14−94−2+1=−3．故答案为−3． 15．【答案】522 【详解】解：设y=x+mm≠4与y=lnx相切与点Qx0,lnx0， 则 y′=1x0，令y′=1x0=1，得x0=1，则切点Q1,0， 代入y=x+mm≠4，得m=−1，即直线方程为y=x−1， 所以与直线y=x+4间的距离为d=4+12=522， 即为P到直线y=x+4的最小距离， 故答案为：522 16．【答案】2 【详解】对任意的x∈(0,+∞)，都有ff(x)−log3x=4，且f(x)是(0,+∞)上的单调函数，因此fx−log3x为定值，设t=fx−log3x，则fx=t+log3x，显然ft=4， 即t+log3t=4，而函数ℎ(t)=t+log3t在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(3)=4，于是得t=3， 从而fx=log3x+3，求导得f′x=1xln3，方程f(x)−2f'(x)=3⇔log3x−2xln3=0， 依题意，x0是函数g(x)=log3x−2xln3的零点，而函数g(x)在(0,+∞)上单调递增， 且g(2)=log32−1ln3=ln2−1ln3<0,g(3)=1−23ln3>0，即函数g(x)的零点x0∈(2,3)， 又x0∈(a,a+1),a∈N∗，所以a=2. 故答案为：2 四、解答题 17．【答案】(1)∵f(x)=sinπ 4+xsinπ 4−x+3sin xcos x =sinπ4+xsinπ2−π4+x+3sinxcosx=sinπ4+xcosπ4+x+3sinxcosx =12cos2x+32sin2x=sin2x+π6，∴fπ6=sin2×π6+π6=1． (2)由fA2=sinA+π6=1，而0<A<π，可得A+π6=π2，即A=π3， ∴sinB+sinC=sinB+sin2π3−B=32sinB+32cosB=3sinB+π6， ∵0<B<2π3，∴π6<B+π6<5π6，12<sinB+π6≤1， 则32<3sinB+π6≤3，故当B=π3时，sinB+sinC取最大值，最大值为3．  18．【答案】（1）因为an+an+1=3n+1，所以an+13n+1−34an3n−34=3n+1−an3n+1−34an3n−34=14−an3n+1an3n−34=−13． 又a13−34=14，所以an3n−34是以a13−34=14为首项，−13为公比的等比数列. （2）由（1）可知an3n−34=14×−13n−1，则an=3n+14+34×(−1)n−1. Sn=14×32+33+⋯+3n+1+34×(−1)0+(−1)1+⋯+(−1)n−1 =14×32−3n+21−3+34×1−(−1)n1−(−1)=3n+2−6+3×(−1)n+18. 19． 【答案】(Ⅰ)证明：∵长方形ABCD中，AB=22，AD=2，M为DC的中点， ∴AM=BM=2，可得AM2+BM2=AB2， ∴BM⊥AM． ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM， ∴BM⊥平面ADM，∵AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM.             (Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系，则A(1,0,0)，B(−1,2,0)，D(0,0,1)，M(−1,0,0) 设DE=λDB，则平面AMD的一个法向量n=(0,1,0)， ME=MD+λDB=(1−λ,2λ,1−λ)，AM=(−2,0,0)， 设平面AME的一个法向量为m=(x,y,z)，则m·AM=−2x=0m·ME=1−λx+2λy+1−λz=0,  取y=1，得x=0，z=2λλ−1，则m=(0,1,2λλ−1)，∵|cos<m→，n→>|=m·nmn=55， 解得λ=12，故E为BD的中点．  20．【答案】（1）由题意得P10⋅Q10=1+k10×110=121，解得k=1． （2）由题表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③，④中的函数为单调函数，故只能选②，即Qx=ax−25+b． 由题表可得Q10=110，Q20=120， 即15a+b=110,5a+b=120,解得a=−1,b=125,故Qx=125−x−251≤x≤30,x∈N+． （3）由（2）知Qx=125−x−25=100+x,1≤x<25,x∈N+,150−x,25≤x≤30,x∈N+, ∴fx=Px⋅Qx=x+100x+101,1≤x<25,x∈N+,150x−x+149,25≤x≤30,x∈N+. 当1≤x<25时，y=x+100x在区间1,10上单调递减，在区间10,25上单调递增， ∴当x=10时，fx取得最小值，且fxmin=121； 当25≤x≤30时，y=150x−x是单调递减的， ∴当x=30时，fx取得最小值，且fxmin=124． 综上所述，当x=10时，fx取得最小值，且fxmin=121． 故该商品的日销售收入fx的最小值为121元． 21．【答案】（1）解：因为函数fx=log141−axx−1的图象关于原点对称， 所以fx+f−x=0，即log141−axx−1+log141+ax−x−1=0， 所以log141−axx−1×1+ax−x−1=0恒成立，所以1−axx−1×1+ax−x−1=1恒成立， 即1−a2x2=1−x2恒成立，即a2−1x2=0恒成立，所以a2−1=0， 解得a=±1又a=1时，fx=log141−axx−1无意义，故a=−1． （2）因为x∈1,+∞时，fx+log14x−1<m恒成立， 所以log141+xx−1+log14x−1<m恒成立， 所以log14x+1<m在x∈1,+∞上恒成立，因为y=log14x+1是减函数， 所以当x∈1,+∞时，log14x+1∈−∞,−1，所以m≥−1， 所以实数m的取值范围是−1,+∞． （3）因为fx=log141+xx−1=log141+2x−1在2,3上单调递增，gx=log14x+k在2,3上单调递减，因为关于x的方程fx=log14x+k在2,3上有解， 所以f2≤g2,f3≥g3,即log143≤log142+k,log142≥log143+k, 解得−1≤k≤1，所以实数k的取值范围是−1,1． 22．【答案】（1）∵f(x)=ex−m+ln3x， ∴x>0，f′(x)=ex−m−1x，∵x=1是函数f(x)的极值点， ∴f′1=e1−m−1=0，解得m=1， ∴f′(x)=ex−1−1x，设gx=ex−1−1x，则g′x=ex−1+1x2>0， ∴x=1是f′(x)=0的唯一零点， ∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增. （2）当m⩽2，x∈(0,+∞)时，ex−m⩾ex−2， 设φx=ex−x−1，则φ′x=ex−1， 所以当x∈(0,+∞)时φ′x>0，φx单调递增， 所以φx=ex−x−1>φ0=0，即ex>x+1， ∴ex−m⩾ex−2>x−1， 取函数ℎ(x)=x−1+ln3x (x>0)，则ℎ′(x)=1−1x， 当0<x<1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x>1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， 所以函数ℎ(x)在x=1处取得唯一的极小值，即最小值为ℎ1=ln3， ∴f(x)=ex−m+ln3x⩾ex−2+ln3x>x−1+ln3x⩾ln3， 故f(x)>ln3. 学科网（北京）股份有限公司