甘肃省靖远县第四中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学（理）试题.docx

高三数学试卷（理科） 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。 2．请将各题答案填写在答题卡上。 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（ ） A． B． C． D． 3．若点在双曲线的一条渐近线上，则（ ） A．2 B． C． D． 4．已知向量，满足，，且，的夹角为30%，则（ ） A． B．7 C． D．3 5．青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度y与时间x的函数图象大致是（ ） A． B． 学科网（北京）股份有限公司 C． D． 6．已知函数，则（ ） A．的最小正周期为2π B．的图象关于点对称 C．的最大值为 D．的图象关于直线对称 7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，AB⊥l于B，若，则（ ） A． B． C． D． 8．某校高三（1）班有56名学生，学号为01到56，现采用随机数表法从该班抽取8名学生参与问卷调查，已知随机数表中第2行和第3行的各数如下： 98 29 32 60 57 34 81 32 08 92 15 64 59 72 08 26 75 90 86 73 51 98 75 81 70 09 16 21 80 89 79 30 若从随机数表的第2行第5列的数开始向右读，则抽取的第6名学生的学号是（ ） A．08 B．26 C．51 D．09 9．我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平铅，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖内均铸一“爰”字．通高24cm，口长13.5cm，口宽12cm，底长12.5cm，底宽10.5cm，现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体，则其体积约为（ ）（参考数据：，） A．7460.8cm3 B．871.3cm3 C．1735.3cm3 D．2774.9cm3 10．在等比数列中，，，则（ ） A．2 B．±2 C．2或 D． 11．已知函数满足，函数与图象的交点分别为， 学科网（北京）股份有限公司 ，，，则（ ） A．-10 B．-5 C．5 D．10 12．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．已知等差数列的前n项和为，，则______． 14．设x，y满足约束条件，则的最大值为______． 15．已知球O的体积为36π，正四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，底面边长为4，则其高为______． 16．若，则______；______．（本题第一空2分，第二空3分） 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分， 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求B； （2）若，且△ABC的面积为12，求b． 18．（12分）某地教体局为了解该地中学生暑假期间阅读课外读物的情况，从该地中学生中随机抽取100人进行调查，根据调查所得数据，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． 学科网（北京）股份有限公司 （1）求频率分布直方图中m的值，并估计该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均值；（各组数据用该组中间值作代表） （2）若某中学生在暑假期间阅读课外读物不低于6本，则称该中学生为阅读达人，以样本各组的频率代替该组的概率，从该地中学生中随机抽取4人，记抽取到的中学生为阅读达人的人数为X，求X的分布列与数学期望． 19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AF∥DE，，DE⊥AD，AC⊥BE． （1）证明：平面ADEF⊥平面ABCD． （2）求平面ACE与平面ABF所成锐二面角的余弦值． 20．（12分）已知椭圆过点，，分别为左、右焦点，P为第一象限内椭圆C上的动点，直线，与直线分别交于A，B两点，记△PAB和的面积分别为，． （1）试确定实数t的值，使得点P到的距离与到直线的距离之比为定值k，并求出k的值； 2）在（1）的条件下，若，求的值． 21．（12分）已知函数． （1）若是的极值点，求的单调区间； （2）若关于x的方程恰有一个解，求a的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x 学科网（北京）股份有限公司 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是． （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）设点，直线l与曲线C交于A，B（均异于点P）两点，若．求m的值． 23．[选修4-5；不等式选讲]（10分） 已知函数的最小值为m． （1）求m的值； （2）若，，且，求的最小值． 高三数学试卷参考答案（理科） 1．B 因为，，所以． 2．C ． 3．C 依题意得点在直线上，则． 4．A ． 5．C 由图可知该青花瓷上、下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后-水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图象，C选项符合． 6．B 由题可得．对于A选项，因为，所以A不正确；对于B选项，，故B正确；对于C选项，的最大值为1．故C不正确；对于D选项，，故D不正确． 7．D 因为AB⊥l，所以．设l与x轴的交点为D，因为，所以．因为．所以． 8．C 题意可知抽取的学生的学号做次为32，34，08，15，26，51，09，16则抽取的第6名学生的学号是51． 9．D 因为， 学科网（北京）股份有限公司 ，所以． 10．A 设的公比为q，因为所以（舍去）或所以，． 11．B 因为，所以的图象关于点对称，又的图象关于点对称．所以． 12．A 令，，∴为递增函数，当时，．即当时，，∴，即．∴，即，综上． 13．168 因为，所以． 14．4 作出可行城（图略），当直线经过点时，z有最大值，最大值为4． 15．1 设球O的半径为R．则，所以．则该正四棱锥的侧棱长为3．因为正四棱锥的底面边长为4，所以底面对角线长为，故改正四棱锥的高为． 16．1；0 令，得；令，得，所以． 17．解：（1）因为，所以． 2分 因为，所以，故． 6分 （2）因为，解得． 8分 由余弦定理可得， 10分 所以． 12分 18．解：（1）由图可知，解得． 2分 学科网（北京）股份有限公司 则该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均值 ． 2分 （2）由频率分布直方图可知从该中学生中随机抽取1人，此人是阅读达人的频率为．则从该地中学生中随机抽取1人抽到阅读达人的概率， 6分 从而，故． 8分 X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P X的数学期型． 12分 19．（1）证明：如图，连接BD． 因为四边形ABCD是正万形，所以AC⊥BD． 1分 因为AC⊥BE，BE，平面BDE，且，所以AC⊥平面BDE． 2分 因为平面BDE，所以AC⊥DE． 3分 因为DE⊥AD，AD，平面ABCD，且，所以DE⊥平面ABCD． 4分 因为平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD． 5分 （2）解：题意可得DA，DC，DE两两垂直．故以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，故，，． 7分 设平面ACE的法向量为， 学科网（北京）股份有限公司 则令，得． 8分 由题意易证AD⊥平面ABF，则平面ABF的一个法向量为． 10分 设平ACE与平面ABF所成的二面角为θ，则． 12分 20．解：（1）设圆的焦距为，，． 则，，，， 所以椭圆C的方程为． 2分 设，则，因为，所以，因为k为定值，所以，解得，． 5分 （2）由，，直线，所以， 同理得，， 7分 所以， 化简得或． 解第一个方程，得，第二个方程无实根． 9分 【方法一】（距离公式）因为，，，，，，，所以． 12分 学科网（北京）股份有限公司 【方法二】（相似三角形）因为，所以． 所以△PBA∽，所以． 12分 21．解：（1）， 1分 因为是的极值点．所以，即， 3分 易知在上单间递增，． 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增． 所以的单调递增区间是，单调递减区间是． 5分 （2）易知，，． 令，则恒成立，所以在上单调递增， 且，， 7分 故存在，使得，当时，， 当时，． 所以当时，，单调递减， 当时，单调递增，所以当时、取得极小值． 由，得，则， 10分 因为关于x的方程恰有一个解，所以， 则，当时．等号成立， 由，可得． 学科网（北京）股份有限公司 故a的取值范围是． 12分 22．解：（1）由（α为参数），得， 故曲线C的普通方程为． 2分 由，得， 故直线l的直角坐标方程为． 4分 （2）由题意可知直线l的参数方程为（t为参数）， 5分 将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得． 7分 设A，B对应的参数分别是，， 则，， 8分 因为，所以，解得成． 10分 23．解：（1）由题意可得 2分 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即． 4分 （2）由（1）可知，则． 5分 因为，所以． 7分 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 8分 即的最小值为． 10分 学科网（北京）股份有限公司