河南省南阳市2022-2023学年高三上学期1月期末数学（文）试题.docx

2022年秋期高中三年级期终质量评估 数学试题（文） 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合，，则（ ）． A． B． C． D． 2．设复数z满足，则复数z的虚部是（ ）． A．－5 B．5 C． D． 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）． A． B． C． D． 4．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（ ）． A． B． C． D． 5．《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出：非寄宿制中小学、幼儿园原则上不得在校内设置食品小卖部、超市，已经设置的要逐步退出．为了了解学生对校内开设食品小卖部的意见，某校对100名在校生30天内在该校食品小卖都消费过的天数进行统计，将所得数据按照、、、、、分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论不正确的是（ ）． A．该校学生每月在食品小卖部消费过的天数不低于20的学生比率估计为20% B．该校学生每月在食品小卖部消费过的天数低于10的学生比率估计为32% C．估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的平均值不低于15 D．估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的中位数介于10至15之间 6．，，条件，条件，则条件p是条件q的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．角A等于（ ）． A． B． C． D． 8．已知函数f（x）满足f（x）＋f（－x）=0，f（－x－1）=f（－x＋1），当时，，则（ ）． A． B． C． D． 9．已知，该函数在x=－1时有极值0，则a＋b=（ ）． A．4 B．7 C．11 D，4或11 10．已知函数在上单调递增，且有恒成立，则的值为（ ）． A． B． C．1 D．2 11．已知过坐标原点O的直线l交双曲线的左右两支分别为A，B两点，设双曲线的右焦点为F，若，则△ABF的面积为（ ）． A．3 B． C．6 D． 12．已知，，，则大小关系正确的为（ ）． A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知向量，，则向量在向量方向上的投影是______． 14．已知函数是偶函数，则______． 15，过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，且，则直线AB的斜截式方程为______． 16．在菱形ABCD中，，AB=2，将△ABD沿BD折起，使得AC=3．則得到的四面体ABCD的外接球的表面积为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分） 推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取500名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下： 得分 男性人数 22 43 60 67 53 30 15 女性人数 12 23 40 54 51 20 10 （1）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成下面列联表，并判断是否有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？ 不太了解 比较了解 总计 男性 女性 总计 （2）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人组成一个环保宣传队，求抽取的3人恰好是两男一女的概率， 附：，其中． 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18．（本题满分12分） 已知数列是各项均为正数的等差数列，是其前n项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的最大项． 19，（本题满分12分） 如图，四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PB⊥底面ABCD，PB=AB=AD=BC=1，设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：； （2）证明：l平面PAB； （3）求点B到平面PCD的距离． 20．（本题满分12分） 已知椭圆（a>b>0），离心率为，其左右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，且的最小值为1． （1）求椭圆C的方程； （2）在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），若，求直线MN的方程． 21．（本题满分12分） 已知函数．（） （1）当a=1时，求证：； （2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）， （1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C的极坐标方程； （2）若点A，B为曲线C上的两个点OA⊥OB，求证：为定值． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知存在，使得，a，． （1）求a＋2b的取值范围；（2）求的最小值． 2022年秋期高中三年级期终质量评估 数学试题（文）参考答案 一、1—5 ACBAC 6—10 BBDCA 11—12 BA 12． ，，令，， 易证（当且仅当x=1时等号成立） ∴，即a>b∴a>b>c 二、13．－1 14． 15．或 16． 三、17．解：（1）由题意得列联表如下： 不太了解 比较了解 总计 男性 125 165 290 女性 75 135 210 总计 200 300 500 计算得 因为2.771>2.706，所以有90%的把握认为“居民对垃级分类的了解程度”与“性别”有关； （2）由题意可知，抽到的女性有人，抽到的男性有人， 记抽到的男性为a，b，c，抽到的女性为d，e，则基本事件分别为（a，c，d）、（a，b，d），（a，b，e），（a，c，d）（a，c，e），（a，d，e）（b，c，d），（b，c，e）、（b，d，e）、（c，d，e），共10种，抽取的3人恰好是两男一女共有6种，所以抽取的3人恰好是两男一女的概率是． 18．解：（1）当n=1时，，解得：或，因为，故． 方法一：因为，所以， 又，即可得． 方二：当n=2时，，易得：． 因为数列是等差数列，故． （2）由（1）知，，故． ∵，当n<7时，；当n=7时，；当n>7时，； 故数列的最大项为． 19，证明：（1）由题意可知，BC平面PAD，AD面PAD，故，平面PAD， 又∵BC面PBC且面PBC面PAD=l，∴． （2）因为PB⊥底面ABCD，所以PB⊥BC． 又底面ABCD为直角梯形，且，所以AB⊥BC． 且，∴BC⊥面PAB，又，∴l⊥面PAB． （3）易求得，，，，． 因为，△PDC所以为直角三角形． 设B到平面PCD的距离为h，因为，所以，故可得，． 20．解：（1）由题意知：，即a=2c且a－c=1，可得：a=2，，c=1． 椭圆C：的方程为：． （2）方法一：不妨设直线MN交x轴于Q点，由，易得，，故． 设直线MN的方程为x=my＋3，，， 显然，，． 由得，，∴ ① ② 又∵，得 ③，由①②③得，． 所以，直线MN的方程为：，即． 方法二：延长交椭圆于点P，根据椭圆的对称性可知，，得． 设，，．显然，． 设直线PM的方程为x=my－1，联立得，， ∴ ① ② 又∵，得 ③ 由①②③得，． 故，则， 因此，直线MN的斜率． 不妨设直线MN交x轴于Q点，由，易得，，故， 所以，直线MN的方程为：． 21．解：（1）， 故f（x）在（0，1）上是单调增加的，在上是单调减少的， 所以，即． （2）当a=0时，，不存在零点，当a≠0，由f（x）=0得，，． 设，则，令， 易知h（x）在上是单调减少的，且h（1）=0． 故g（x）在（0，1）上是单调增加的，在上是单调减少的． 由于，g（1）=1，且当x>1时，g（x）>0， 故若函数f（x）有且只有一个零点，则只须或． 即当时，函数f（x）有且只有一个零点． 22．解：（1）因为，所以面线C的直角坐标方程为． 因为，，所以，曲线C的极坐标方程为：． （2）由于OA⊥OB，故可设，，，， 所以．即为定值． 23．解：（1）由题知：， 因为存在，使得，所以只需，即a＋2b的取值范是． （2）方法一：由（1）知，因为a，，不妨设，当时，， 当0<b<2时，有，整理得，， 此时t的最小值为；综上：的最小值为． 方法二：令，不妨设，，因为，所以， 所以：，即的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司