河南省南阳市2022-2023学年高三上学期1月期末数学（理）试题.docx

2022年秋期高中三年级期终质量评估 数学试题（理） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 第I卷选择题（共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合，，则＝（ ） A．［－1，3] B． C．（0，2] D．（0，3] 2．已知复数z满足，则（ ） A．1 B． C． D．2 3．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则向量在向量方向上的投影是（ ） A． B．－1 C．1 D． 5．已知，，若，，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，点M在C的右支上，直线与C的左支交于点N，若，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 7．设f（x）是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，令g（x）＝f（x）＋f（x＋1），则函数y＝g（x）的最大值为（ ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 8．已知函数在上单调递增，且恒成立，则的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 9．已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于点A，B（A在x轴上方），与抛物线准线交于点M．若|BM|＝2|BF|，则直线l的倾斜角为（ ） A．60° B．30°或150° C．30° D．60°或120° 10．对于函数，，下列说法正确的是（ ） A．函数f（x）有唯一的极大值点 B．函数f（x）有唯一的极小值点 C．函数f（x）有最大值没有最小值 D．函数f（x）有最小值没有最大值 11．如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（ ） A．5052 B．5057 C．5058 D．5063 12．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，若点P为的费马点，则（ ） A．－6 B．－4 C．－3 D．－2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至少去一人，一人只能去一个村，则不同的分派种数有______．（数字作答） 14．如图，△ABC内接于椭圆，其中A与椭圆右顶点重合，边BC过椭圆中心O，若AC边上中线BM恰好过椭圆右焦点F，则该椭圆的离心率为______． 15．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、泰、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P－ABCD为一个阳马，其中平面ABCD，若，，，且PD＝AD＝2AB＝4，则几何体EFGABCD的外接球表面积为______． 16．已知函数的值域为，则实数m取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚） 17．（本题满分12分） 已知数列是各项均为正数的等差数列，是其前n项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求取得最大值时的n． 18．（本题满分12分） 在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得－1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响， （1）经过一轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望； （2）若经过两轮踢球，用表示经过第2轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求． 19．（本题满分12分） 如图，四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，，PB⊥底面ABCD，，设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PAB； （2）设Q为l上的动点，求PD与平面QAB所成角的正弦值的最大值． 20．（本题满分12分） 已知函数． （1）当a＝1时，求证：； （2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 21．（本题满分12分） 已知椭圆，离心率为，其左右焦点分别为，，点A（1，－1）在椭圆内，P为椭圆上一个动点，且的最大值为5． （1）求椭圆C的方程； （2）在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），且，求四边形的面积． 选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数）， （1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C极坐标方程； （2）若点A，B为曲线C上的两个点且，求证：为定值． 23．【选修4－5：不等式选讲】（10分） 已知存在，使得成立，a，． （1）求a＋2b的取值范围； （2）求的最小值． 2022年秋期高中三年级期终质量评估数学（理） 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B A B B D A D D A B C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．150 14．　　15． 16． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解析】 （1）当时，，解得：或者， 因为，故． 方法一：因为，所以， 又，即可得． 方法二：当时，，易得：． 因为数列是等差数列，故． （2）由（1）知，，故． ， 当时，； 当时，； 当n>7时，； 故数列的最大项为，，即或8 18．【解析】 （1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，A，B相互独立， 由题意得：，， 甲的得分X的可能取值为－1，0，1， ， ， 所以的分布列为： 0 1 P 所以 （2）根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种； 分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮得1分； 或者甲第1轮得1分，第2轮得0分； 或者甲两轮各得1分， 于是： 19．【解析】 （1）证明：因为底面，所以． 又底面为直角梯形，且，所以． 因此平面． 因为，平面， 所以平面． 又由题平面与平面的交线为， 所以，故平面． （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由（1）可设，则．设是平面的法向量， 则，即，可取 所以． 设与平面所成角为， 则； 因此：当时，可得（当且仅当时等号成立） 又当时，易知不符合题意． 所以与平面所成角的正弦值的最大值为． 20．【解析】（1） 故f（x）在（0，1）上是单调增加的，在（1，＋∞）上是单调减少的． 所以，即 （2）当a＝0时，，不存在零点 当时，由得， 设，则 令，易知在上是单调减少的，且． 故在上是单调增加的，在上是单调减少的． 由于，，且当时， 故若函数有且只有一个零点，则只须或 即当时，函数有且只有一个零点． 21．【解析】 （1）由题意知：，即， 又由椭圆定义可得： ， 又∵，且， 故可得：，，． 即椭圆：的方程为： （2）延长交椭圆于点，由， 根据椭圆的对称性可得． 设，，则．显然，． 设直线的方程为， 联立得，， ∴① ② 又，得③ 由①②③得，． 得直线的方程为，即， 设到直线的距离为， 则由距离公式得：， 又由弦长公式得： 将代入上式得， 设四边形的面积为， 易知 【选做题】 22．【解析】 （1）因为， 所以曲线的直角坐标方程为． 因为，， 所以，曲线的极坐标方程为： （2）由于，故可设， ，， 所以 ． 即为定值 23．【解析】 （1）由题知：， 因为存在，使得，所以只需， 即的取值范围是． （2）方法一： 由（1）知，因为，不妨设， 当时，， 当时，有， 整理得，，此时的最小值为； 综上：的最小值为． 方法二： 令，不妨设，， 因为，所以，所以：， 即的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司