江西省南昌市三校（一中、十中、铁一中）2022-2023学年高三上学期第一次联考（11月）数学（理）试题.docx

南昌市三校（一中、十中、铁一中）高三上学期第一次联考 数 学 试 卷（理 科） 命题人：涂方珍 学校：南昌十中 考试时长：120分钟 试卷总分：150分 一､选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.设平面向量a，b均为单位向量，则“|a−2b|=|2a+b|”是“a⊥b”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．已知函数则 A． B． C． D． （第4题图） 4.如图，在△ABC中，BN=14BC，设AB=a，AC=b，则AN=( ) A. 14a−34b B. 34a−14b C. 14a+34b D. 34a+14b 5.如图所示，在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，终边分别为射线和，射线，与单位圆的交点分别为，．若，则的值是（ ） A． B． C. D． 6.通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即.记，则（ ） A. B. C. D. 7.已知过点作曲线切线有且仅有条，则（ ） A. B. C.或 D. 或 8.已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a=−f(log215)，b=f(log24.1)，c=f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( ) A. a<b<c B. c<b<a C. b<a<c D. c<a<b 9.在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则( ) A． B． C． D． 10.已知函数fx=3−ax−4,x≤8ax−7,x>8，若数列an满足an=fn(n∈N∗)且an是递增数列，则实数a的取值范围是( ) A. 2,3 B.2,3 C.94,3 D.94,3 11.已知函数，且对于任意，都有，下列序号中，① 在区间上单调递增；② ；③ 若，则；④ 若实数m使得方程在上恰有，，三个实数根，则.正确的序号有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 12.黎曼函数R(x)是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在0，1上，当x=pq（p,q都是正整数，pq为最简真分数）时，Rx=1q;当x=0或1或x为0，1内的无理数时，Rx=0.若gx+1为偶函数，gx+2为奇函数，当x∈0,1时，gx=Rx,则（ ） A.g10035>15且g(cos2αsin2β)≥g(cos2α)g(sin2β) B.g10035>15且g(cos2αsin2β)≤g(cos2α)g(sin2β) C.g10035=15且g(cos2αsin2β)≥g(cos2α)g(sin2β) D.g10035=15且g(cos2αsin2β)≤g(cos2α)g(sin2β) 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知aϵR,若复数z=a2−a−2+(a2+3a+2)i为纯虚数，则a= 14. 如图，扇环ABCD中，弧AD⌢=4，弧BC⌢=2，AB=CD=1， 则扇环ABCD的面积S= ． 15．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________. 16. 锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，点G为△ABC的重心，若AG⊥BG，则cosC的取值范围为______． 三、简答题（本题共5小题，每小题12分，共60分） 17．（12分）已知函数f(x)=1−3sin2x+2cos2x． (1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x集合； (2)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f(A)=0.求b+c的取值范围． 18. （12分）如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，. （1）若为的中点，求证：； （2）求二面角的正弦值. 19. （12分）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为. （1）在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列； （2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率. 20．（12分）已知圆，椭圆． （1）求证：圆C在椭圆M内； （2）若圆C的切线m与椭圆M交于P，Q两点，F为椭圆M的右焦点，求△面积的最大值． 21．(12分)已知函数． （1）若在单调递增，求a的值； （2）当时，设函数的最小值为，求函数的值域． 四、选做题 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标中，直线的参数方程为（为参数，为常数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． (1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； (2)设直线与曲线相交于两点，若，求的值． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 高三上学期第一次三校联考数学（理科）试卷参考答案及评分标准 一､选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D C B C B A A D C 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.2 14.3 15. 16. 45，63， 三、简答题（本题共5小题，每小题12分，共60分） 17． 已知函数f(x)=1−3sin2x+2cos2x． (1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x集合； (2)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f(A)=0.求b+c的取值围． 【答案】 解：(1)f(x)=1−3sin2x+2cos2x=cos2x−3sin2x+2 =2cos(2x+π3)+2，····…..2分∵−1≤cos(2x+π3)≤1，∴0≤2cos(2x+π3)+2≤4，∴f(x)的最大值为4， …… 4分当2x+π3=2kπ(k∈Z)，即x=kπ−π6(k∈Z)时，函数f(x)取最大值， 则此时x的集合为{x|x=kπ−π6,k∈Z}；· ………. 6分 (2)由f(A)=0得：2cos(2A+π3)+2=0，即cos(2A+π3)=−1， ∴2A+π3=2kπ+π(k∈Z)，即A=kπ+π3(k∈Z)， 又0<A<π，∴A=π3，∵a=1，sinA=32， ………….8分 由正弦定理asinA=bsinB=csinC得：b=asinBsinA=23sinB，c=23sinC， 又A=π3，∴B+C=2π3，即C=2π3−B， ∴b+c=23sinB+sinC=23sinB+sin2π3−B =23(sinB+32cosB+12sinB)=2(32sinB+12cosB)=2sin(B+π6)， ……….10分 ∵A=π3，∴B∈(0,2π3)，∴B+π6∈(π6,5π6)，∴sin(B+π6)∈(12,1]， 则b+c的取值范围为(1,2]．  ………………..12分 18. 如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，. （1）若为的中点，求证：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）见解析 （2） 【详解】（1）∵侧面是菱形，∴， ∵为的中点，∴， ∵侧面底面，侧面底面，，底面，∴侧面， ∵侧面，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴ ………………………5分. 【2】取中点，连接，从而，又由，则， ∵侧面底面，侧面底面， ∴底面， 以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由已知条件和上图可知，，，，， 由题意可知，平面的一个法向量为 ………………………7分 不妨设平面的一个法向量， 因为，， 从而， 令，则，，即， ………………………9分 设二面角为，由图可知为钝角， 从而，即， 故二面角的正弦值为. ………………………12分 19. 某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为. （1）在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列； （2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率. 【答案】（1）见解析 （2） 【详解】（1）由题意可知，可能取值为，，， ， 当时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输， 则， 当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输， 则； 当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢， 则， 当时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢， 则， 故的概率分布列如下： 0 1 2 3 ………………………6分 【小问2详解】设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件， 则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2， 故， 故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为. ………………………12分 20．（12分）已知圆，椭圆． （1）求证：圆C在椭圆M内； （2）若圆C的切线m与椭圆M交于P，Q两点，F为椭圆M的右焦点，求△面积的最大值． 21．（12分）已知函数． （1）若在单调递增，求a的值； （2）当时，设函数的最小值为，求函数的值域． 解：（1）． 因为在单调递增，所以，即 （ⅰ）当时，，则需，故，即； （ⅱ）当时，，则； （ⅲ）当时，，则需，故，即． 综上述，． ………………4分 （2），，．因为，所以，所以在单调递增 又因为．所以存在，使， 且当时，，函数单调递减； 当时，，函数调递增． 故最小值为． 由，得，因此． 令，则， 所以在区间上单调递增，又因为，且， 所以，即取遍的每一个值， 令函数在单调递增．又，所以， 故函数的值域为．. ………………………12分 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标中，直线的参数方程为（为参数，为常数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． (1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； (2)设直线与曲线相交于两点，若，求的值． （1）,;(2) 【详解】（Ⅰ）∵直线的参数方程为（为参数，为常数）， 消去参数得的普通方程为：即． ………2分 ∵，∴即，即． 故曲线的直角坐标方程为． ………5分 （Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线中得，……………7分 ……………9分 ∴．………………………10分 23．【选修4-5：不等式选讲】 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 解：（1）当时，． 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时． 因此，当时，不等式的解集为 …………….5分 （2）当时，可化为， 所以，或， 即存在，使得或． ，因为，所以，则， ，因为，所以，所以， 因此，实数a的取值范围为． 高三数学（理科）三校联考试卷 第13页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司