江西省五市九校协作体2022-2023学年高三上学期第一次联考数学（理科）试卷.docx

江西省五市九校协作体 2023届第一次联考数学（理科）试卷答案 一．序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D C D A A A A B D D 二．填空题 13. 182 14. 15. 10 16. 6 三． 解答题： 17.解（1）数列是递增的等比数列，且，， ， ，是方程的两个根， 解方程， 得，， ， ， ． （2）由（1）得：， ， 数列的前项和： ，且对一切成立， ，解得， 最小正整数为2022． 18.（1）证明：取的中点，连接交于，连接，， 因为是菱形，所以，且是的中点， 所以且，又，， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）解：取的中点，由四边形是菱形，，则， 是正三角形，，，又平面， 所以以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系， 设在棱上存在点使得平面与平面的夹角为， 则，，，，，， 则设，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为，，， 则，即，令，， 得 平面的法向量可以为， ，解得， 所以，则 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 所以点到平面的距离. 19.（1）由频率分步直方图得，得分为17，18的人数分别为6人，12人， 所以两人得分之和不大于35分为两人得分均为17分，或两人中1人17分1人18分， 所以. （2） 又，所以正式测试时，，所以， ①所以，所以人； ②由正态分布模型，任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为，即， 所以， 所以， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. 20（1） 设椭圆的右焦点为，连接， 根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形. 又，所以 而，所以， 在四边形中，， 所以， 在中，根据余弦定理得 即 化简得. 所以椭圆的离心率；。。。。。。5分 （2） 因为椭圆的上顶点为，所以，所以， 又由（1）知，解得， 所以椭圆的标准方程为. 在中，，， 所以，从而， 又为线段的中点，即，所以， 因此，从而， 根据题意可知直线的斜率一定存在，设它的方程为，，， 联立消去得①， ， 根据韦达定理可得，， 所以 所以， 整理得，解得或. 又直线不经过点，所以舍去， 于是直线的方程为，恒过定点， 该点在椭圆内，满足关于的方程①有两个不相等的解， 所以直线恒过定点，定点坐标为.。。。。。。12分 21．(1)； (2)【分析】(1)在内有两个不同的极值点、，等价于在内有两个不同的零点、.研究的单调性和零点情况即可求出a的范围； (2)设，由(1)知且，则，将a=代入要证的不等式，可将不等式化为，令，则不等式化为，问题转化为在(0，1)恒成立即可． (1) 函数定义域为， 在内有两个不同的极值点、，等价于在内有两个不同的零点、．设，由， 当时，，在上单调递增，至多只有一个零点，不符题意； 当时，在上，单调递增；在上，单调递减， ∴当时，，函数有两个零点，则必有， 即，解得． 易证，证明如下：令，， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 故，故，得证．∴，又，∴在和上各有一个零点、，此时： 0 0 ↓ 极小值 ↑ 极大值 ↓ 故在定义域内有两个不同的极值点时，a的范围为； (2) 方法1：由(1)可知是的两个零点，不防设， 由且，得． ∵． 令，则， 记，， 则，令，． 又，则，即， ∴在上单调递增，故，即成立． ∴不等式成立． 方法2：欲证，由，，则只需证：． 不妨设， 则且，则， ∴， 令，则，记，， 由，即在上单调递增，故，即成立.故． 【点睛】本题第一问关键是找到x=1和x=，判断，，从而根据零点存在性定理判断在和上各有一个零点；第二问的关键是利用是的两个零点用替换a，再利用换元将双变量转化为单变量进行证明． 22．(1)； (2). 【分析】（1）求得的直角坐标方程，再转化为极坐标方程即可； （2）求得曲线的普通方程，结合的直角坐标方程，求得交点的直角坐标，再转化为极坐标即可. 【详解】（1）对点，设其直角坐标为，则，即其直角坐标为， 故在直角坐标系下的方程为：， 由可得：， 故的极坐标方程为：. （2）由题可得曲线的普通方程为：，联立， 可得，解得或，又，故，则， 即曲线C与交点的直角坐标为，设其极坐标为， 则，， 即曲线C与交点的极坐标为. 23、 （1）当a＝3时，即为， 等价于或或， 解得或或， 则原不等式的解集为；。。。。。。5分 （2）不等式的解集非空等价于有解． 由， （当且仅当时取得等号）， 所以，解得，故a的取值范围是．。。。。。。10分 学科网（北京）股份有限公司