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数学试题
原卷版
天津市耀华中学2024届高三年级暑期学情反馈
数学学科试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.祝同学们考试顺利!
第Ⅰ卷(选择题 共45分)
一、选择题:本大题共5小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的,请把正确答案填涂在答题卡上.
1. 设全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
2. 设,则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 函数在的图像大致为( )
A. B. C. D.
4. 某部门随机调查了90名工作人员,为了了解他们的休闲方式是读书还是健身与性别是否有关,得到的数据如列联表所示.若认为性别与休闲方式有关,则此时犯错误的概率不超过( )
性别
休闲方式
合计
读书
健身
女生
25()
20()
45
男生
15()
30()
45
合计
40
50
90
附:,,
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10828
A. 0.01 B. 0.05 C. 95% D. 99.5%
5. 已知,则( )
A. 25 B. 5 C. D.
6. 已知,,,则a,b,c大小关系为
A. B. C. D.
7. 甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以、和表示从甲罐中取出红球、白球和黑球,再从乙罐中随机取出一球,以表示从乙罐中取出的球是红球,则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
8. 设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则( )
A. B. C. D.
9. 已知函数图象上存在关于y轴对称的两点,则正数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共105分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共计30分.不需写出解答过程,请把答案填在答案纸上的指定位置.
10. 已知(为虚数单位),则________.
11. 的展开式中常数项为______ .
12. 将字母、、、、、排成一排,其中必须在的左边,则不同的安排方法有________.(用数字作答)
13. 现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为,则__________,_________.
14. 已知,则的最小值是_______.
15. 设函数存在最小值,则的取值范围是________.
三、解答题:本大题共5小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把解题过程写在答案纸上.
16. 在锐角中,角A,B,C所对边分别为a,b,c.已知.
(1)求角B大小;
(2)设,,求和值.
17. 如图,P,O分别是正四棱柱上、下底面的中心,E是AB的中点,,.
(1)求证:平面PBC;
(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;
(3)求平面POC与平面PBC夹角的余弦值.
18. 已知椭圆C:1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P(﹣1,)在椭圆C上,且|PF2|.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F2的直线l与椭圆C交于A,B两点,M为线段AB的中点,若椭圆C上存在点N,满足3(O为坐标原点),求直线l的方程.
19. 已知等比数列的公比,若,且,,分别是等差数列第1,3,5项.
(1)求数列和的通项公式;
(2)记,求数列的前项和;
(3)记,求的最大值和最小值.
20. 已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时,,求a的取值范围;
(3)设,证明:.
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