八年级上册数学浙教微专题一三角形的初步知识pdf_42.pdf

期末高效复习 微专题一微专题一 三角形的初步知识三角形的初步知识 题型一题型一 三角形的有关概念三角形的有关概念 典例典例 如图如图1中锐角三角形的个数为中锐角三角形的个数为 ()A2个个 B3个个 C4个个 D5个个 图图1 B【解析解析】先找出以先找出以A为顶点的锐角三角形的个数，再找出以为顶点的锐角三角形的个数，再找出以E为顶点的锐角三角形的个数为顶点的锐角三角形的个数 以以A为顶点的锐角三角形：为顶点的锐角三角形：ABC，ADC，共，共2个；个；以以E为顶点的锐角三角形：为顶点的锐角三角形：EDC，共，共1个，个，图中锐角三角形的个数为图中锐角三角形的个数为213(个个)【点悟】【点悟】数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有条线段上有 n 个点，那么就有个点，那么就有n（n1）2条线段，可以与线段外的条线段，可以与线段外的一点组成一点组成n（n1）2个三角形个三角形 变式跟进变式跟进 1.如图如图2，在，在ABC中，中，AD，BF，CE相交于相交于O点，点，则图中的三角形的个数是则图中的三角形的个数是 ()A7个个 B10个个 C15个个 D16个个 D 图图2【解析【解析】根据三角形的概念，最小的有根据三角形的概念，最小的有6个，个，2个组成一个的有个组成一个的有3个，个，3个组成一个的有个组成一个的有6个，最大的有个，最大的有1个，则有个，则有636116(个个)题型二题型二 三角形的三边关系三角形的三边关系 典例典例 2018 绥化绥化三角形三边长分别为三角形三边长分别为3，2a1，4，则，则a的取值的取值范围是范围是_ 【点悟点悟】已知三角形的两边长，可根据三边关系确定第三已知三角形的两边长，可根据三边关系确定第三边的取值范围：另外两边之差的绝对值边的取值范围：另外两边之差的绝对值第三边第三边另外两边另外两边之和之和 1a4 变式跟进变式跟进 2.2017 洛宁期末洛宁期末三角形的三边长是三个连续的自三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于然数，且三角形的周长小于20，求三边的长，求三边的长 解解：设三角形三边的长分别为：设三角形三边的长分别为x1，x，x1，则，则x1xx1，解得，解得x2，且且 x1xx120，解得，解得 x203，2x203且且 x 为整数，为整数，x 为为 3，4，5，6，当当 x3 时，三角形三边为时，三角形三边为 2，3，4；当当 x4 时，三角形三边为时，三角形三边为 3，4，5；当当 x5 时，三角形三边为时，三角形三边为 4，5，6；当当 x6 时，三角形三边为时，三角形三边为 5，6，7.题型三题型三 三角形的内角和与外角三角形的内角和与外角 典例典例 如图如图3，AD是是ABC的高线，的高线，AE是是ABC的角平分线，的角平分线，且且C30，B80.(1)求求DAE的度数；的度数；(2)请探究请探究DAE与与B，C的关系，并说明理由的关系，并说明理由 图图3 解：解：(1)BACBC180，B80，C30，BAC180(BC)180(80 30)70，BAE12BAC1270 35，ADBC，BBAD90，BAD90 B90 80 10，DAEBAEBAD35 10 25；(2)DAE12(BC)理由：由理由：由(1)可知可知DAEBAEBAD，BAE12BAC，BAD90 B，DAE12BAC(90 B)12(180 BC)(90 B)12(BC)【点悟点悟】(1)三角形的内角和等于三角形的内角和等于180与三角形的一个外角等与三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和是解决三角形的角度计算的基本依于和它不相邻两个内角的和是解决三角形的角度计算的基本依据；据；(2)由此题得出一个重要的结论：从三角形的一个顶点作高由此题得出一个重要的结论：从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角的差的一线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角的差的一半半 变式跟进变式跟进 3.如图如图4，已知，已知ABC中，高线为中，高线为AD，角平分线为，角平分线为AE，若，若B28，ACD52，求，求EAD的度数的度数 图图4 解：解：在在ABC 中，中，ACDBBAC，BAC52 28 24，AE 平分平分BAC，EAC12BAC12，AD 为高线，为高线，ADE90，CAD90 ACD90 52 38.EADEACCAD12 38 50.题型四题型四 全等三角形的概念与性质全等三角形的概念与性质 典例典例 如图如图5，已知，已知ABEACD，则下列选项中不正确的等，则下列选项中不正确的等式为式为 ()AABAC BBAECAD CBEDC DADDE 【点悟点悟】(1)全等三角形的对应边相全等三角形的对应边相 等，对应角相等；等，对应角相等；(2)找对应元素不要找错找对应元素不要找错 图图5 D 变式跟进变式跟进 4.如图如图6，ABCDEF，A50，B100，则，则F的度数是的度数是 ()A30 B50 C60 D100【解析解析】A50，B100，C18010050 30，ABCDEF，FC30.图图6 A 题型五题型五 全等三角形的判定全等三角形的判定 典例典例 如图如图7，BEAE，CFAE，垂足分别是，垂足分别是E，F，又知，又知D是是EF的中点，的中点，BED与与CFD全等吗？为什么？全等吗？为什么？解解：BEDCFD.理由：理由：BEAE，CFAE，BEDCFD，D是是EF的中点，的中点，EDFD，图图7 在在BED与与CFD中，中，【点悟】点悟】(1)全等三角形的判定定理有全等三角形的判定定理有SSS，SAS，ASA，AAS，HL等；等；(2)SSA，AAA不能判定两个三角形全等；不能判定两个三角形全等；(3)证明三角形证明三角形全等时，有的条件是已知的，有些条件是隐含在题设或图形中全等时，有的条件是已知的，有些条件是隐含在题设或图形中的，比如对顶角相等、公共边、公共角等的，比如对顶角相等、公共边、公共角等 BEDCFD，EDFD，BDECDF，BEDCFD(ASA)变式跟进变式跟进 5.如图如图8，在四边形，在四边形ABCD中，中，E是是BC的中点，连结的中点，连结AC，AE，若，若ABAC，AECD，ADCE，则图中的全等三，则图中的全等三角形有角形有 ()图图8 A0对对 B1对对 C2对对 D3对对 D 6如图如图9，已知，已知A，F，E，C在同一直线上，在同一直线上，ABCD，12，AFCE.(1)写出图中全等的三角形；写出图中全等的三角形；(2)选择其中一对进行证明选择其中一对进行证明 图图9 解解：(1)AFDCEB，ABCCDA，ABECDF；(2)选选ABECDF.证明：证明：ABCD，BACDCA，AFCE，AFEFECEF，AECF，在在ABE 和和CDF 中，中，12，BAEDCF，AECF，ABECDF(AAS)题型六题型六 全等三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质 典例典例 2017 和平区一模和平区一模如图如图10，点，点A，C，D在同一条直线上，在同一条直线上，BC与与AF交于点交于点E，AFAC，ADBC，AEEC.(1)求证：求证：FDAB；(2)若若B50，F110，求，求BCD的度数的度数 图图10【点悟点悟】证明线段或角相等的方法：证明线段或角相等的方法：(1)观察要证明的线段或角观察要证明的线段或角(或通过等量代换得到的线段或角或通过等量代换得到的线段或角)在哪两个可能全等的三角形在哪两个可能全等的三角形中；当待证线段或角不分布在两个全等的三角形中时，常常添中；当待证线段或角不分布在两个全等的三角形中时，常常添加辅助线构造全等三角形；加辅助线构造全等三角形；(2)分析需要证明全等的两个三角形，分析需要证明全等的两个三角形，确定已知条件确定已知条件(包括图形中的隐含条件包括图形中的隐含条件)是什么条件，缺什么条是什么条件，缺什么条件；件；(3)设法推导出所缺的条件；设法推导出所缺的条件；(4)整理书写证明过程整理书写证明过程 解：解：(1)证明：证明：EAEC，EACECA，在在AFD 和和CAB 中，中，AFCA，FADACB，ADCB，AFDCAB(SAS)，FDAB；(2)AFDCAB，BACF110，BCDBBAC50 110 160.变式跟进变式跟进 7.2017 温州一模温州一模如图如图11，在梯形，在梯形ABCD中，中，ADBC，连结，连结AC，且，且ACBC，在对角线，在对角线AC上取点上取点E，使，使CEAD，连结，连结BE.(1)求证：求证：DACECB；(2)若若CA平分平分BCD，且，且AD3，求，求BE的长的长 图图11 DACECB(SAS)；(2)CA平分平分BCD，ECBDCA，且由，且由(1)可知可知DACECB，DACDCA，CDDA3，又又由由(1)可得可得DACECB，BECD3.解：解：(1)证明：证明：ADBC，DACECB，在在DAC 和和ECB 中，中，ADCE，DACECB，ACCB，题型七题型七 角平分线的性质角平分线的性质 典例典例 如图如图12，在，在ABC中，中，C90，AD平分平分BAC，DEAB于点于点E，有下列结论：，有下列结论：CDED；ACBEAB；BDEBAC；DA平分平分CDE.其中正确的个数其中正确的个数是是 ()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个 图图12 D RtACDRtAED(HL)，ACAE，ADCADE，ACBEAEBEAB，故正确；，故正确；DA平分平分CDE，故，故正确；正确；BBAC90，BBDE90，BDEBAC，故，故正确正确 综上所述，结论正确的是综上所述，结论正确的是共共4个故选个故选D.【解析】【解析】C90，AD 平分平分BAC，DEAB，CDDE，故，故正确；正确；在在 RtACD 和和 RtAED 中，中，ADAD，CDED，【点悟点悟】(1)角平分线上一点到角两边的距离相等；角平分线上一点到角两边的距离相等；(2)在有关在有关角平分线问题中，由角的平分线的性质可得到线段两边距离相角平分线问题中，由角的平分线的性质可得到线段两边距离相等，结合三角形全等证明有关结论等，结合三角形全等证明有关结论 变式跟进变式跟进 8.如图如图13，在，在ABC中，中，C90，AC8，BD平分平分ABC交交AC于于D，ADDC31，则点，则点D到到AB的距离为的距离为 ()A2 B3 C4 D5 图图13 A【解析】【解析】如答图，过点如答图，过点 D 作作 DEAB 于于 E，AC8，ADDC31，CD81312，C90，BD 平分平分ABC，DECD2，即点，即点 D 到到 AB 的距离为的距离为 2.变式跟进变式跟进8答图答图 题型八题型八 全等三角形的应用全等三角形的应用 典例典例 如图如图14，A，B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线点出发沿河岸画一条射线BF，在，在BF上截上截取取BCCD，过，过D作作DEAB，使，使E，C，A在同一直线上，在同一直线上，则则DE的长就是的长就是A，B之间的距离，请你说明理由之间的距离，请你说明理由 图图14 解：解：DEAB，AE，在在ABC 和和EDC 中，中，AE，ACBECD，BCDC，ABCEDC(AAS)，DEAB，即即 DE 的长就是的长就是 A，B 之间的距离之间的距离 变式跟进变式跟进 9.如图如图15，在一个风筝，在一个风筝ABCD中，中，ABAD，BCDC，分别在，分别在AB，AD的中点的中点E，F处挂两根彩线处挂两根彩线EC，FC.求证：求证：ECFC.图图15 证明：证明：如答图，连结如答图，连结 AC.在在ABC 与与ADC 中，中，ABAD，BCDC，ACAC，ABCADC(SSS)，EACFAC.E，F 分别是分别是 AB，AD 的中点，的中点，AE12AB，AF12AD，ABAD，AEAF.变式跟进变式跟进9答图答图 在在AEC 与与AFC 中，中，AEAF，EACFAC，ACAC，AECAFC(SAS)，ECFC.题型九题型九 尺规作图尺规作图 典例典例 2017 邵阳邵阳如图如图16所示，已知所示，已知AOB40，现按照以下，现按照以下步骤作图：步骤作图：在在OA，OB上分别截取线段上分别截取线段OD，OE，使，使ODOE；作射线作射线OC.则则AOC的大小为的大小为_ 分别以分别以 D，E 为圆心，以大为圆心，以大 于于12DE 的长为半径画弧，的长为半径画弧，在在AOB 内两弧交于点内两弧交于点 C；图图16 20【解析】【解析】由作法可知，由作法可知，OC 是是AOB 的平分线，的平分线，AOC12AOB20.A40 B50 C60 D70【解析解析】由作法可知直线由作法可知直线l是是AB的垂直平分线，的垂直平分线，ACBC，CABCBA25，BCMCABCBA252550.变式跟进变式跟进 10.2017 深圳深圳如图如图 17，已知线段，已知线段 AB，分别以分别以 A，B 为圆心，大于为圆心，大于12AB 为半径作弧，连为半径作弧，连结弧的交点得到直线结弧的交点得到直线 l，在直线，在直线 l 上取一点上取一点 C，使，使得得CAB25，延长，延长 AC 至至 M，则，则BCM 的的度度数为数为 ()B 图图17 B 题型十题型十 全等三角形的开放探究型问题全等三角形的开放探究型问题 典例典例 如图如图18，已知，已知12，那么添加下列一个条件后，仍无，那么添加下列一个条件后，仍无法判定法判定AOCBOC的是的是 ()A34 BAB CAOBO DACBC 图图18 D 变式跟进变式跟进 11.在下列各组条件中，不能说明在下列各组条件中，不能说明ABCDEF的的是是 ()AABDE，BE，CF BACDF，BCEF，AD CABDE，AD，BE DABDE，BCEF，ACDF B 12如图如图19，已知，已知RtABCRtADE，ABCADE90，BC与与DE相交于点相交于点F，连结，连结CD，EB.(1)不添加辅助线，找出图中其他的全等三角形；不添加辅助线，找出图中其他的全等三角形；(2)求证：求证：CFEF.图图19 解解：(1)图中其他的全等三角形为图中其他的全等三角形为ACDAEB，DCFBEF；(2)证明：证明：RtABCRtADE，ACAE，ADAB，CABEAD，CABDABEADDAB.即即CADEAB.CADEAB，CDEB，ADCABE.又又ADEABC，CDFEBF.又又DFCBFE，CDFEBF(AAS)，CFEF.(也可连结也可连结CE后证后证FCEFEC得出结论得出结论)