2020研究生考试数学二真题及答案解析.pdf

2020考研数学二真题及答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上，(1)当x0时，下列无穷小量中最高阶是(A)(e-1)dr(B)in(1+Fdisintdt(D)sin t2dt【答案】(D)【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。-1)-1B(（n1+F)d=nl+风)s咖=sm(6sm2加r(D)sin dr=sin(1-cos x sinx2经比较，选(D)(2)函数f(x)=en+x的第二类间断点的个数为()(e-1)x-2)(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】(C)【解析】由题设，函数的可能间断点有x=-1,0,1,2,由此limf()=lim ein 1+x=e。lim n+刘F-oo:x-1(e-1)x-2)3(e1-1)1limf(r)=lim eIn l+x ellim In(1+x=_1x-00(e-10 x-2）=-2wx2elimf(r)=lim eIn+x In2 lime=0:x1x(e-1)x-2)1-ex1lim er-i In 1+x In 2 lime=-co;x(e-1)(x-2)1-ex1e+In 1+x eln3 1(e-l0r-2)(e2-1nx-2-0limf(）=limlim_故函数的第二类间断点（无穷间断点）有3个，故选项(C)正确。(3)8 csind=(）Vx(1-x)(A)2(B)2(c)(D)4848【答案】(A)【解析】令x=sint,则x=sint,d=2 sin t cos tdt2r1 arcsindx=212sin1cos1d=22d=P2=g0 x(1-osin t cos t04(4)f(x)=x21n(1-x),n3时，fo(0)=(A)-n!(B)!(c)_n-2)y(D)(n-2)!n-2n-2nn【答案】(A)0X”+2【解】由泰勒展试。a-)=-习a,则n1-)=-之点n-21故fm(O)=n!n-2xy,xy0(5)关于函数f(x,y)=x,y=0给出以下结论y,x=0aro)=1fado-1图ipf(x=0im im(xy=0(xy(0.0)0 x0正确的个数是(A)4(B)3(C)2(D)1【答案】(B)aff(x,0)-f(0,0)x-0【解析】axa=li网-=lim一=1，正确x-0 x0Xafafofdxoy(0)=limx(0,y）ax(0.,0)-lim1ima(0,)）Jy-00y而过，=1im色y）上f0.以=1imyy=im一.y不存在，所以错误：ax(0,y）0 x-00尤x0 x9y-q=kk-0=4,b-0=y从而(x,y)(0,0)时，1imf(x)=0,(xy)(0.0)正确。limf(x,y)与0,y0或y=0,从而limlim/(x)=0,正确x-0y,x=0(6)设函数f(x)在区间-2,2上可导，且f(x)f()0.则(A)f-21(B)(c)f(D0,从而F(x)=单调递增.故F(O)F(-1)，也即e0el,又有f)0,从而0e.故选Bf(-1)设4阶矩阵A=(ag)不可逆，a2的代数余子式A20，a,a2,a,0a,为矩阵A的列向量组，A为A的伴随矩阵，则Ax=0的通解为()(A)x=k%+k%2+k%,其中k1,k2,k3为任意常数(B)x=k%+k%2+kC%4,其中k,k2,k3为任意常数(C)x=k%+k%+k34,其中k,k2,k3为任意常数(D)x=k%2+k3%+k4，其中k,k2,k3为任意常数【答案】(C)【解析】由于A不可逆，故r(A)4,A=0.由A20r(A)21,(A)24-1=3,则r(A)=3,r（A)=1,故Ax=0的基础解系中有4-1=3个无关解向量。此外，AA=AE=0,则A的列向量为Ax=0的解。则由A0，可知a,a,a线性4无关（向量组无关，则其延伸组无关），故Ax=0的通解为x=ka+kC+k,即选2334项(C)正确。设A为3阶矩阵，%1,2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，3为A的属100于特征值-1的特征向量，则PAP=0-10的可逆矩阵P为()001(A)（a1+3,C2,-3)(B)（%1+2,2,-3)(C)(a1+a3,-a3,a2)(D)(C41+a2,-3,2)【答案】(D)【解折1设P=(B,B,B),若PAP=098,则B,B应为A的属于特征值11231300的线性无关的特征向量，B,应为A的属于特征值-1的线性无关的特征向量。这里根据题设，%，2为A的属于特征值为1的线性无关的特征向量，则，+%2也为A的属于特征值为1的线性无关的特征向量。又因必为A的属于-1的特征向量，则-必也为A的属于特征值-1的特征向量。且100(100(a+a,-a,a)=(a,a,x)101,由于101可逆，232123(0-10(0-10故a+凸，-，4)=a,0)=3,即4+凸，-%，线性无关0282将(0，)带入得。=-1，元=-1dy因此d止a=(-l)dr-d(12)斜边长为2a的等腰直角三角形平板，铅直的沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为g,水的密度为P，,则该平板一侧所受的水压力为【答案】pgd3【解析】以水面向右为x轴，以垂直于三角板斜边向上为y轴建立直角坐标系，则此时，三角板右斜边所在的直线方程为y=x一a,取微元dy,则此时dF=-y2xp gdy=-2p gy(y+a)dy,01则一侧的压力F=-2pgy(y+a)dy=p8(-y-ay)=pga.-a3(13)设y=y(x)满足y+2y+y=0,且y(0)=0,y(0)=1,则。y(x)d=【答案】1【解析】由方程可得特征方程为22+2元+1=0，则特征方程的根为2=-1，入=-1，则微分方程的通解为y=ce+cxe*,由y(O)=0,y(O)=1可得c=0,c,=1，则y(x)=xe,y(x)dx=fxedx=1a0-110 a(14)行列式-11a01-10a【答案】a-4a2【解析】a0-111a1010a00a1-1=a1aa-1 a-11a010a-1a1-10a0=-a-a(2a-d)-2aa2a-11=a-4a2