知识点27直角三角形、勾股定理2019【jiaoyupan.com教育盘】.docx

一、选择题 10．（2019·滨州）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（　　） A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．＝0 【答案】C 【解析】A中，∵4＜5＜，AC2+BC2=52+42=41，AB2=（）2=41，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；B中，∵AB：BC：AC=3：4：5，设AB=3k，BC=4k，AC=5k，∵AB2+BC2=（3k）2+（4k）2=25k2，AC2=（5k）2=25k2，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形；C中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠A=180°×=45°，∠B=180°×=60°，∠C=180°×=75°，∴△ABC不是直角三角形；D中，∵=0，又∵≥0，≥0，∴cosA=，tanB=，∴∠A=60°，∠B=30°，∴△ABC是直角三角形．故选C． 13．(2019·广元)如图,△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC＝2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到 △DEC,连接BD,则BD2的值是________ 第13题图 【答案】 【解析】连接AD,过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,易得△ACD是等边三角形,四边形BNDM是正方形,设CM＝x,则DM＝MB＝x+2,∵BC＝2,∴CD＝AC＝,∴在Rt△MCD中,由勾股定理可求得,x＝,DM＝MB＝,∴在Rt△BDM中,BD2＝MD2+MB2＝. 28 11．（2019·滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】∵∠AOB=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，故①正确；∵△AOC≌△BOD，∴∠MAO=∠MBO，如图，设OA与BD相交于N，又∵∠ANM=∠BNO，∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；如图，过点O分别作AC和BD的垂线，垂足分别是E，F，∵△AOC≌△BOD，AC=BD，∴OE=OF，∴MO平分∠BMC，故④正确；在△AOC中，∵OA＞OC，∴∠ACO＞∠OAC，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠ACO＞∠OBM，在△OCM和△OBM中，∠ACO＞∠OBM，∠OMC=∠OMB，∴∠COM＜∠BOM，故③错误，所以①②④正确．故选B． 9．(2019·广元)如图,在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得∠CDE＝15°,连接BE并延长 BE到F,使CF＝CB,BF与CD相交于点H,若AB＝1,有下列结论:①BE＝DE;②CE+DE＝EF;③S△DEC＝,④.则其中正确的结论有( ) A.①②③ B.①②③ ④ C.①②④ D.①③④ 第9题图 【答案】A 【解析】①利用正方形的性质,易得△BEC≌△DEC,∴BE＝DE,①正确;②在EF上取一点G,使CG＝CE,∵∠CEG＝∠CBE+∠BCE＝60°,∴△CEG为等边三角形,易得△DEC≌△FGC,CE+DE＝EG+GF＝EF,②正确;③过点D作DM⊥AC于点M,S△DEC＝S△DMC－S△DME＝,③正确;④tan∠HBC＝2－,∴HC＝2－,DH＝1－HC＝－1,∴,④错误.故选A. 10．（2019·绍兴 ）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图所示：设DM＝x，则CM＝8﹣x， 根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×5， 解得：x＝4，∴DM＝6， ∵∠D＝90°，由勾股定理得：BM＝＝5， 过点B作BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM+∠ABM＝90°， ∴∠HBA+＝∠ABM，所以Rt△ABH∽△MBD， ∴，即，解得BH＝，即水面高度为． 7．（2019·益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC、BC，则△ABC一定是（） A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 【答案】B 【解析】如图所示， ∵AM=MN=2，NB＝1， ∴AB=AM=MN+NB＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3， ∴，，, ∴， ∴△ABC是直角三角形. 1.（2019·湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形．P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（） A．2 B． C． D． 第9题图 【答案】D． 【解析】如答图，取左下角的小正方形的中心O，作直线OP，得线段AB，则沿折痕AB裁剪，即可将该图形面积两等分．过点A作AC⊥BD于点C，则∠ACB＝90°．由中心对称的性质可知，BD＝EF＝AG，从而BC＝1．又AC＝3，故在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝．故选D． 第9题答图 2. (2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】C 【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影＝c2－a2－b2+b(a+b－c),由勾股定理可知,c2＝a2－b2,∴S阴影＝c2－a2－b2+S重叠＝S重叠,即S阴影＝S重叠,故选C. 3.（2019·重庆B卷）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点E，AE=1.连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面，得△AEF，连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为( ) A.8 B. C. D. 【答案】D 【解析】∵∠ABC=45°，AD⊥BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AD=BD. ∵BE⊥AC，AD⊥BD， ∴∠DAC=∠DBH， ∴△DBH≌△DAC（ASA）. ∵DG⊥DE， ∴∠BDG=∠ADE， ∴△DBG≌△DAE（ASA）， ∴BG=AE，DG=DE， ∴△DGE是等腰直角三角形， ∴∠DEC=45°. 在Rt△ABE中，BE=， ∴GE=， ∴DE=. ∵D，F关于AE对称， ∴∠FEC=∠DEC=45°， ∴EF=DE=DG=， DF=GE=， ∴四边形DFEG的周长为2（+2-）=.故选D． 4. 5. 6. 7. 8. 二、填空题 15．（2019·苏州） “七巧板”是我们祖先的一项卓越创造．可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为 cm（结果保留根号）. （图①） （图②） （第15题） 【答案】 【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形①与等腰三角形②全等，且它们的斜边长都为×10=5cm，设正方形阴影部分的边长为xcm，则=sin45°=，解得x=，故答案为. 第15题答图 17．（2019·威海） 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD.若∠ACB＝90°，AC＝BC,AB＝BD,则∠ADC＝ ° 【答案】105° 【解析】过点D作DE⊥ AB于点E， 过点C作 CF⊥AB垂足为F，由∠ACB＝90°，AC＝BC,得△ABC是等腰直角三角形，由三线合一得CF为中线，从而推出2CF＝ AB，由AB∥CD得DE＝CF，由AB＝BD得BD＝2DE，在Rt△DEB中利用三角函数可得∠ABD＝30°，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB＝75°，最后由AB∥CD得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ADC＝105°. 18．（2019·苏州）如图，一块舍有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8 cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为 cm：（结果保留根号）． （第18题） 【答案】 第18题答图 解析：如图，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，所以△ABC与△DEF有公共内心O，连接AD、BE、FC并延长相交于点O，过O作OG⊥AB于G，交DE于H.则GH=，S△ABC=OG×（AB+AC+BC）=AB×AC，∴OG=，∴OH=，∵ ∵DE∥AB，∴△ODE∽△OAB，∴∴，解得DE=6-， S阴影= S△ABC-S△DEF=. 12．（2019·江西）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(4，0)、(4，4)，(0，4)，点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为 . 【答案】（，0）或（，0） 【解析】设点P的坐标为（x，0）， （1）当点D在线段AB上时，如图所示： ∵DA=1，∴点D的坐标为（，）. ∴， ， . ∵CP⊥DP于点P，∴， ∴， 即， ∵△==＜0， ∴原方程无解，即符合要求的点P不存在. （2）当点D在线段BA的延长线上，如图所示： ∵DA=1，∴点D的坐标为（，）. ∴， ， . ∵CP⊥DP于点P，∴， ∴， 即， ∵△==＞0， ∴， ∴点P的坐标为（，0）或（，0）. 13． （2019·株洲）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝． 【答案】4 【解析】因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，所以AB=2CM,又因为E、F分别为MB、BC的中点，所以EF为中位线，所以CM=2EF,从而AB=4EF=4。 1.(2019·枣庄)把两个同样大小含45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB＝2,则CD＝________. 【答案】－ 【解析】在等腰直角△ABC中,∵AB＝2,∴BC＝,过点A作AM⊥BD于点M,则AM＝MC＝BC＝,在Rt△AMD中,AD＝BC＝,AM＝,∴MD＝,∴CD＝MD－MC＝－. 2. (2019·巴中)如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP＝6,BP＝8,CP＝10,则S△ABP+S△BPC＝________. 【答案】16+24 【解析】将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',所以BP＝BP',∠PBP'＝60°,所以△BPP'是等边三角形,其边长BP为8,所以S△BPP'＝16,因为PP'＝8,P'C＝PA＝6,PC＝10,所以PP'2+P'C2＝PC2,所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C＝24,所以S△ABP+S△BPC＝S△BPP'+S△PP'C＝16+24. . 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三、解答题 1.(2019·巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D. （1）求证:EC＝BD; （2）若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理. 证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形, ∴∠ACB＝90°,AC＝BC, ∴∠ACE+∠BCD＝90°, ∵AE⊥EC, ∴∠EAC+∠ACE＝90°,∴∠BCD＝∠CAE, ∵BD⊥CD, ∴∠AEC＝∠CDB＝90°, ∴△AEC≌△CDB(AAS), ∴EC＝BD. （2）∵△AEC≌△CDB,△AEC三边分别为a，b，c,， ∴BD＝EC＝a,CD＝AE＝b,BC＝AC＝c, ∴S梯形＝(AE+BD)ED＝(a+b)(a+b), S梯形＝ab+c2+ab， ∴(a+b)(a+b)＝ab+c2+ab, 整理可得a2+b2＝c2,故勾股定理得证. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.