知识点19二次函数几何方面的应用2019【jiaoyupan.com教育盘】.docx

一、选择题 1. （2019·乐山）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接PB，令=0，得x=，故A（-4，），（4，0），∴O是AB的中点，又是线段的中点，∴OQ=PB，点B是圆C外一点，当PB过圆心C时，PB最大，OQ也最大，此时OC=3，OB=4，由勾股定理可得BC=5， PB=BC+PC=5+2=7，OQ=PB=，故选C. 二、填空题 1. （2019·无锡）如图，在中，AB=AC=5，BC=，为边上一动点(点除外)，以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为　 　. 【答案】8 【解析】过D作DG⊥BC于G，过A作AN⊥BC于N，过E作EH⊥HG于H，延长ED交BC于M.易证△EHD≌△DGC，可设DG=HE=x，∵AB=AC=5，BC=，AN⊥BC，∴BN=BC=2，AN=，∵G⊥BC，AN⊥BC，∴DG∥AN，∴，∴BG=2x，CG=HD=4- 2x；易证△HED∽△GMD，于是，，即MG ，所以S△BDE = BM×HD=×（2x）×（4- 2x）==，当x=时，S△BDE的最大值为8. 2. (2019· 台州)如图,直线l1∥l2∥l3,A,B,C分别为直线l1,l2,l3上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC交直线l2于点D.设直线l1,l2之间的距离为m,直线l2,l3之间的距离为n,若∠ABC＝90°,BD＝4,且,则m+n的最大值为________. 【答案】 【解析】过点B作BE⊥l1于点E,作BF⊥l3于点F,过点A作AN⊥l2于点N,过点C作CM⊥l2于点M,设AE＝x,CF＝y,则BN＝x,BM＝y,∵BD＝4,∴DM＝y－4,DN＝4－x,∵∠ABC＝90°,且∠AEB＝∠BFC＝90°,∠CMD＝∠AND＝90°,易得△AEB∽△BFC,△CMD∽△AND,∴,即,mn＝xy,∴,即,∴y＝10－,∵,∴n＝m,m+n＝m,∵mn＝xy＝x(10－)＝－x2+10x＝m2,当x＝时,mn取得最大值为,∴m2＝,∴m最大＝,∴m+n＝m＝. 3. （2019·凉山）如图，正方形ABCD中，AB=12, AE =AB，点P在BC上运动 （不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 . 【答案】4 【解析】在正方形ABCD中，∵AB=12, AE =AB=3，∴BC=AB=12，BE=9，设BP=x，则CP=12-x.∵PQ⊥EP，∴∠EPQ=∠B=∠C=90°，∴∠BEP+∠BPE=∠CPQ+∠BPE=90°，∴∠BEP=∠CPQ，∴△EBP∽△PCQ，∴，∴，整理得CQ=，∴当x=6时，CQ取得最大值为4.故答案为4. 三、解答题 25．（2019山东烟台，25，13分） 如图，顶点为M的抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线与另一个点D，作轴，垂足为点E．双曲线经过点D，连接MD，BD． (1)求抛物线的解析式． (2)点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标； (3)动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，的度数最大？（请直接写出结果） 【解题过程】 （1）当时 所以，， 因为轴，轴，， 所以四边形OEDC为矩形， 又因为双曲线经过点D， 所以, 所以, 所以 将点、代入抛物线得 解得 所以抛物线的表达式为． （2）解：作点D关于x轴的对称点，作点M关于y轴的对称点，如图（1） 第25题答图（1） 由图形轴对称的性质可知，， 所以四边形MDNF的周长， 因为是定值，所以当最小时，四边形MDNF的周长最小， 因为两点之间线段最短，所以当I、F、N、H在同一条直线上时最小 所以当I、F、N、H在同一条直线上时，四边形MDNF的周长最小， 连接，交x轴于点N，交y轴于点F， 因为抛物线的表达式为，所以点M的坐标为， 由轴对称的性质可得，，， 设直线HI的表达式为， 所以， 解得， 所以直线HI的表达式为， 当时，， 当时，，所以， 所以，， 所以当M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，，． （3）解：本题的答案为． 解题分析：如图（2），当两点A、B距离是定值，直线CD是一条固定的直线，点P在直线CD上移动，由下图可以看出只有当过A、B的圆与直线CD相切时最大． 第25题答图（2） 第25题答图（3） 所以可作过点B、D，且与直线OC相切，切点为P，此时的度数最大， 由已知，可得， 因为直线OC与相切， 所以， 所以直线PT的解析式为 因为抛物线的表达式为， 所以点B的坐标为， 因为点B、点 可以求得直线BD的垂直平分线的解析式为 联立与，得， 直线PT与直线BD的交点即为点M，所以 因为,可得 解得或（舍去） 所以当时，的度数最大． 27．（2019江苏盐城卷，27，14）如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于,两点，点在点的右侧，直线分别于轴、轴交于、两点，且. （1） 求,两点横坐标； （2） 若△OAB是以为腰的等腰三角形，求的值； （3） 二次函数图象的对称轴与轴交于点,是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解题过程】（1）∵A、B是与的交点 ， ， ∵点在点的右侧 ， 点横坐标是，点横坐标. （2）由（1）可知和 ∵ 由两点间距离公式可得： ∵△OAB是以为腰的等腰三角形 分为两种情况：或 当时即 ∵ 当时即 或 综上所述，或或. （3）存在，或 【提示】由（1）可知和.根据题意分为两种情况：点在点左侧，点在点右侧. 当点在点左侧时 如图1，过点作轴于点，作的垂直平分线交轴于点，连接 ∵ 设=m ，由（1）可知和. 在Rt△BFH中，由得 ∵ ∵ ， ∵ 当点在点右侧时 如图，过点作轴于点，作的垂直平分线交轴于点，连接 ∵ 由（1）可知和. 设 在Rt△BMN中，由得 ∵ ∵ ∵ ， ∵ 综上所述，或. 23．（2019江西省，23，12分）特例感知 (1)如图1，对于抛物线，，下列结论正确的序号是 ； ①抛物线，，都经过点C(0，1)； ②抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到； ③抛物线，，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等. 形成概念 (2)把满足（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”. 知识应用 在(2)中，如图2. ①“系列平移抛物线”的顶点依次为，，，…，，用含n的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式； ②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：，，，…，，其横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n(k为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由； ③在②中，直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点，，，…，，连接，，判断，是否平行？并说明理由. 【解题过程】解：（1）对于抛物线，，来说， ∵抛物线，，都经过点C(0，1)，∴①正确； ∵抛物线，，的对称轴分别为：，，的 ∴抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到，∴②正确； ∵抛物线，，与直线y=1的另一个交点的横坐标分别为：-1、-2、-3， ∴抛物线，，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.∴③正确. 答案：①②③ （2）①由可知，顶点坐标为（，）， ∴该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式为； ②当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n(k为正整数)，对应的纵坐标为：，，，…，， ∴ ， ， …， ， ∴相邻两点的距离相等，且距离为：. ③将y=1代入可得，∴x=-n（0舍去）， ∴点（-1，1），（-2，1），（-3，1），…，（-n，1）. ∵当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n(k为正整数)，对应的纵坐标为：，，，…，， ∴点（-k-1，），（-k-2，），（-k-3，），…，（-k-n，）. 设，的解析式分别为：y=px+q，y=mx+n， 则，， 解得p=k+n，m=k+n-1， ∴p≠m ∴，不平行. 23．（2019·山西）综合与探究 如图,抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（－2,0）,B(4,0)两点,与y轴交于点C.点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m(1<m<4).连接AC,BC,DB,DC. (1)求抛物线的函数表达式; (2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的时,求m的值; (3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 第23题图 【解题过程】(1)∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（－2,0）,B(4,0)两点,∴,解之,得:,∴抛物线的函数表达式为:; (2)作直线DE⊥x轴于点E,交BC于点G,作CF⊥DE,垂足为点F,∵点A的坐标为(－2,0),∴OA＝2,由x＝0,得y＝6,∴点C的坐标为(0,6),∴OC＝6,∴S△AOC＝OA·OC＝6,∴S△BCD＝S△AOC＝.设直线BC的函数表达式为y＝kx+n,由B,C两点的坐标得:,解之,得:,∴直线BC的函数表达式为:y＝－x+6.∴点G的坐标为(m,－m+6),∴DG＝－(－m+6)＝.∵点B的坐标为(4,0),∴OB＝4,∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG＝.∴＝,解之,得m1＝3,m2＝1,∴m的值为3. 第23题答图 (3)存在点M,其坐标为:M1(8,0),M2(0,0),M3(,0),M4(－,0). 25．（2019·常德）如图11，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（－1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的，若存在，求出该点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【解题过程】（1）设抛物线的解析式为y＝，把B（－1，0）代入解析式得：4a＋4＝0，解得a＝－1，∴y＝－＝－；（2）∵四边形MNHG为矩形，∴MN∥x轴，设MG＝NH＝n，把y＝n代入y＝－，即n＝－，∴＝0，由根与系数关系得＝2，＝n－3，∵＝－4，∴＝4－4（n－3）＝16－4n，∴MN＝ ＝2，设矩形MNHG周长为C，则C＝2（MN＋MG）＝2（2＋n）＝4＋2n，令＝t，则n＝4－，∴C＝－2＋4t＋8＝－2，∵－2＜0，∴t＝1时，周长有最大值，最大值为10； （3）在（2）的条件下，当矩形周长最大时t＝1，∴＝1，n＝3，MN＝2＝2，∵D（0，3），∴此时N与D重合，∴ ＝2×3＝6，∴＝＝，又∵当y＝0时0＝－，解得＝－1，＝＝3，∴C（3，0），∵D（0，3），直线CD的解析式为y＝－x+3，∴过P做y轴的平行线，交直线CD于点Q，设P横坐标为m，则P（m，－），Q（m，－），∴PQ＝｜（－）－（－）｜，当P在Q的上方时，PQ＝－，∴＝·PQ·OC＝，－＝，解得m＝；当P在Q的下方时，PQ＝，即＝，解得，（舍去）；∴P横坐标为或． 25．（2019·衡阳）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E. （1）求该抛物线的函数关系表达式； （2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值； （3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB，请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）把A（－1，0），B（3，0）代入y＝x2＋bx＋c，得解得 ∴该抛物线的函数表达式为y＝x2－2 x－3； （2）∵CP⊥EB，∴∠OPE＋∠BCP＝90°，∵∠OPE＋∠OEP＝90°，∴∠OEP＝∠BPC，∴tan∠OEP＝tan∠BPC．∴＝．设OE＝y，OP＝x，∴＝．整理，得y＝－x2＋x＝－（x－）2＋．∴当OP＝时，OE有最大值，最大值为，此时点P在（，0）处. （3）过点M作MF⊥x轴交BN于点F， ∵N（0，－3），B（3，0），∴直线的解析式为y＝－3 m. 设M（m, m2－2 m－3）,则MF＝m2－3m， ∴△MBN的面积＝OB·MF＝( m2－3m) ＝( m－) 2 －. 点M的坐标为（，－）时，△MBN的面积存在最大值. 24．（2019·武汉，24，12分）已知抛物线C1：y＝（x－1）2－4和C2：y＝x2 （1） 如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？ （2） 如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ ① 若AP＝AQ，求点P的横坐标 ② 若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标 （3） 如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系 【解题过程】 （1）先向左平移1个单位，在向上平移4个单位 （2）①kAB＝和A（3，0）易求AB：y＝ ∵AP＝AQ，PQ⊥AO．∠PAO＝∠QAO ∴AQ：y＝ 联立得∴ ②设P（t，）则Q（t，）易求：PQ＝，PA＝ ∵PA＝PQ ∴ ∴ （3）设ME： 联立则 ∴ ∴ ∴ 同理： 化简得： 25．（2019·黄冈）如图①在平面直角坐标系xOy中，已知A(－2，2)，B(－2，0)，C(0，2)，D(2，0)四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动(M不与点B、点D重合)，设运动时间为t(秒). (1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式； (2)点P在(1)中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标； (3)当M在CD上运动时，如图②.过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E.设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值； (4)点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K.是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形?若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解题过程】 28．（2019·陇南）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的表达式； （2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ 解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）= ax2﹣ax﹣12a， ∵抛物线y＝ax2+bx+4， ∴﹣12a＝4，解得：a＝﹣， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4； （2）存在，理由： 点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4）， 则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①， 同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4， 设直线AC的中点为P（﹣，4），过点P与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣， 同理可得过点P与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②， ①当AC＝AQ时，如图1， 则AC＝AQ＝5， 设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n， 由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4）， 故点Q（1，3）； ②当AC＝CQ时，如图1， CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5， 则QM＝MB＝， 故点Q（，）； ③当CQ＝AQ时， 联立①②并解得：x＝（舍去）； 故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）； （3）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4）， ∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN， PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣m2+m， ∵﹣＜0，∴PN有最大值， 当m＝时，PN的最大值为：． 1. （2019·湖州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝，D是BC的中点． （1）求OC的长及点D的坐标； （2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F． ①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标； ②以线段DF为边，在DF所在的直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G的运动路径的长． 【思路分析】（1）Rt△AOC中，由正切三角函数，可求OC的长；再由矩形的性质及线段中点的定义锁定点D的坐标．（2）①由翻折可知DB＝＝DC，从而∠DCA＝∠＝30°．通过解直角三角形得到FA＝FB＝，在Rt△AEF中，AE＝AF•tan∠AFE＝×＝，从而求得点E的坐标．②按一找点G的运动起点与终点，从而找到点G的路径，二求该路径的长即可锁定答案．如答图2和答图3，表示动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动时的起点、与终点的位置，G点的路径是一条线段． 【解题过程】（1）在Rt△AOC中，由tan∠OAC＝＝，OA＝3，得OC＝OA•tan∠OAC＝3×＝． ∵四边形OABC是矩形，点D为BC的中点， ∴D(，)． （2）①如答图1，易知∠OAC＝∠ACB＝30°． 而由折叠可知DB＝＝DC，从而∠DCA＝∠＝30°． ∴∠BDF＝∠＝30°． ∴∠DFB＝∠AFE＝60°． Rt△DBF中，易求BF＝． ∴AF＝AB－BF＝．Rt△AEF中，AE＝AF•tan∠AFE＝×＝． ∴OE＝，E(，0)． 综上，BF的长为，点E的坐标为E(，0)． ②． 第24题答图3 第24题答图2 第24题答图1 【知识点】矩形性质；解直角三角形；翻折（轴对称）；等腰三角形；等边三角形；二次函数；动态问题；数形结合思想；探究性问题；压轴题；原创题 2. （2019·天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6，0),点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°，矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上，OD=2. （1）如图①，求点E的坐标； （2）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C’O’D’E’,点C,O,D,E的对应点分别为C’,O’,D’,E’,设OO’=t,矩形C’O’D’E’与△ABO重叠部分的面积为S ①如图②，当矩形C’O’D’E’与△ABO重叠部分为五边形时，C’E’,E’D’分别与AB相交于点M,F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可） 【思路分析】(1)由题意知OA=6，OD=2，∴AD=4，由矩形CODE得DE∥BO，∴∠AED=∠ABO=30°，∴DE=tan60°AD=，所以点E的坐标为（2，） （2） ①由平移得，O’C’=D’E’=,O’D’=C’E’=2，ME’=OO’=t，根据E’D’∥BO，得∠E’FM=∠OBA=30°,Rt△ME’F中，E’F=， S△ME’F=；S矩形C’O’D’E’=; S=S矩形C’O’D’E’-S△ME’F=，因为重叠部分是五边形，所以t的取值范围是0<t<2； ②当S=时，=，此时t=，所以重叠部分不是五边形；当S=时，=，此时t=，所以重叠部分不是五边形；当2<t<4时，重叠部分是四边形如图③所示，当4<t<6时，重叠部分是三角形如图④所示. 当2<t<4时, 当4<t<6时, 所以，当S=时，，此时t=4.5,不在2<t<4范围内； 当S=时，此时t=2.5； 当S=时，，此时t=， 综上所述，t的取值范围是2.5≤t≤； 【解题过程】(1)∵A（6,0），∴OA=6， ∵OD=2,∴AD=4，由矩形CODE得DE∥BO， ∴∠AED=∠ABO=30°，∴DE=tan60°AD=， 所以点E的坐标为（2，） (2)①由平移得，O’C’=D’E’=,O’D’=C’E’=2，ME’=OO’=t，根据E’D’∥BO，得∠E’FM=∠OBA=30°,Rt△ME’F中，E’F=， S△ME’F=；S矩形C’O’D’E’=; S=S矩形C’O’D’E’-S△ME’F=，因为重叠部分是五边形，所以t的取值范围是0<t<2； ②2.5≤t≤； 26．（2019·长沙）如图，抛物线(为常数，＞0)与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为(t，0)(﹣3＜t＜0)，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C． （1）求点A的坐标； （2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE=DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当=，∠CAE=∠OBE时，求的值． 【解题过程】(1)令ax2＋6ax＝0，∴ax(x＋6)＝0，所以A(﹣6，0)， (2)连接PC，连接PB延长交x轴于点M， ∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC＋∠BOM＝90°， 又∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∴CE为切线，∴∠PCB＋∠ECD＝90°， 又∵∠BDP＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE； (3)解：设OE＝m，即E(m，0)， 由切割定理：CE2＝OE·AE，(m－t)2＝m(m＋6)推出m＝① ∵∠CAE＝∠CBD，已知∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO， 由角平分线定理：即推出m＝② 由①②得＝推出t2＋18t＋36＝0，∴t2＝﹣18t﹣36， ∴ 25．（2019·益阳）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A(1，4)，B(3，0). (1)求抛物线对应的二次函数表达式； (2)探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由； (3)应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+m=-1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点N，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标. 提示：若点A、B的坐标分别为(，)，(，)，则线段AB的中点坐标为(，) . 第25题图1 第25题图2 【解题过程】解：(1)抛物线的顶点为A(1，4)，设函数表达式为， ∵抛物线经过点B(3，0)， ∴，解得a=-1. ∴抛物线对应的二次函数表达式为，即. (2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分.理由如下： ∵DE∥OA， ∴（同底等高的两个三角形面积相等）. ∴， 即. ∵M是BE的中点， ∴ ∴, 即OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分. （3）∵点P(m，n)是抛物线的图象上的点， ∴. ∵m+n=-1， ∴n=-m-1， 代入上式，得， 解得m=4(m=1不合题意，舍去)， ∴点P的坐标为(4，-5). 如图，过点D作DQ∥CA交PC的延长线于点Q， 第25题答图 由(2)知点N为PQ的中点， 设经过点C(-1，0)，P(4，-5)的直线对应的函数表达式为y=kx+b, 则，解得. ∴直线CP对应的函数表达式为y=-x-1. 同理，直线AC对应的函数表达式为y=2x+2. ∵直线DQ∥CA，故设直线DQ对应的函数表达式为y=2x+b， ∵经过点D(0，3)， ∴直线DQ对应的函数表达式为y=2x+3. 解方程组得， ∴点Q的坐标为（）. ∵点N为PQ的中点， ∴点N的横坐标为，点N的纵坐标为， ∴点N的坐标为（） 26．（2019·娄底）如图（14），抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，－3）．点P、Q是抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值． （3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标． 解：（1）方法一、将点A（－1，0），点B（3，0），点D（2，3）代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为 方法二、∵抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0）， ∴设抛物线的解析式为． 又∵抛物线过点 D（2，－3）， ∴ ∴ ∴． （2）如图，设PD与y轴相交于点F，OD与抛物线相交于点G， 设P坐标为（），则直线PD的解析式为，它与y轴的交点坐标为F（0，－2m－3），则OF＝2m+3． ∴ 由于点P在直线OD下方，所以． ∴当时，△POD面积的最大值 （3）①由得抛物线与y轴的交点C（0，－3），结合A（－1，0）得直线AC的解析式为， ∴当OE∥AC时，△OBE与△ABC相似；此时直线OE的解析式为． 又∵的解为， ∴Q的坐标为和． ②如图，作EN⊥y轴于N， 由A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）得AB＝3－(－1)＝4，BO＝3，BC＝ 当即时 ，△OBE与△ABC相似；此时BE＝． 又∵△OBC∽△ONE， ∴NB＝NE＝2，此时E点坐标为（1，－2），直线OE的方程为． 又∵的解为， ∴Q的坐标为和． 综上所述，Q的坐标为，，，． 3. （2019·攀枝花）已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C（0,3）． （1）求b，c的值； （2）直线l与x轴交于点P． ①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F，点C关于直线x＝1的对称点为D，求四边形CEDF面积的最大值； ②如图2，若直线l与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线l的表达式． 【思路分析】（1）由抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，得－＝1，解得b＝2，把点C（0,3）代入抛物线y＝－x2＋bx＋c得c＝3． （2）①由题意先求得点D，A，B的坐标， 的解析式，设F (e, －e2＋2e＋3)，则E (e, －e＋3) ，进而得EF＝－e2＋3e，因为CD⊥EF，所以S四边形CEDF＝CD·EF，利用二次函数的顶点式求出最大值； ②根据相似三角形的性质得l∥AC，∠ACP＝∠BCO．作PH⊥AC于点H，设P (m,0)，根据tan∠ACP＝，得关于m的方程＝，解之可得点P的坐标，进而得直线l的表达式． 【解题过程】解：（1）由题可知解得 （2）①由题意可知D（2，3），CD⊥EF，∴CD＝2． 由（1）可知A (3,0)，B (－1,0) ∴：y＝－x＋3 设F (e, －e2＋2e＋3)，则E (e, －e＋3) ∴EF＝－e2＋3e ∴S四边形CEDF＝CD·EF＝－e2＋3e＝－（e－）2＋. ∴当e＝时，四边形CEDF的面积最大，最大值为. ②由（1）可知∠OAC＝∠OCA＝45°， 由△PCQ∽△CAP可得∠QPC＝∠PCA ∴l∥AC． 由△PCQ∽△CAP可得∠QCP＝∠OAC＝45°， ∴∠QCP＝∠OCA，∴∠ACP＝∠BCO， 由B（－1，0），C（0，3），可得tan∠BCO＝， ∴tan∠ACP＝， 作PH⊥AC于点H，设P (m,0)，则AP＝3－m. ∴PH＝AH＝(3－m)，CH＝ (3＋m) ∴＝＝tan∠ACP＝， 即＝，解得m＝ ． ∴P (,0)，∴l：y＝－x＋． 【知识点】二次函数的性质；一次函数的表达式；相似三角形的性质；锐角三角函数； 分式方程， 声明：试28．（2019·苏州，26，10）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6． （1）求a的值； （2）求△ABC外接圆圆心的坐标； （3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标． 图① 图② （第28题） 【解题过程】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0 解得x1＝a，x2＝1由图象知a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵s△ABC＝6，∴，解得a＝﹣3，（a＝4舍去） （2）设直线AC：y＝kx+b，由A（﹣3，0），C（0，3），可得﹣3k+b＝0，且b＝3，∴k＝1，即直线AC：y＝x+3，A、C的中点D坐标为（，），∴线段AC的垂直平分线解析式为y＝﹣x，线段AB的垂直平分线为x＝﹣1，代入y＝﹣x，解得y＝1，∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）； 第28题答图 （3）作PM⊥x轴，则 ，∵， ∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB设直线PB解析式为y＝x+b，∵直线经过点B（1，0）， 所以直线PB的解析式为y＝x﹣1，联立，解得，∴点P坐标为（﹣4，﹣5），又∵∠PAQ＝∠AQB 可得：△PBQ≌△ABP（AAS），∴PQ＝AB＝4，设Q（m，m+3），由PQ＝4得： 解得：m＝﹣4，m＝﹣8（舍去），∴Q坐标为（﹣4，﹣1） 4. （2019·眉山）如图1，在正方形ABCD中，AE平分∠CBA交BC于点E，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F． （1）求证：BE=BF．； （2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分∠DBF； （3）如图3，连接DG交AC于点M，求的值． 【思路分析】（1）根据抛物线的交点式直接写出抛物线解析式即可，将解析式配方，得到顶点式，可得顶点坐标； （2）设点P的坐标为（a，），用含a的式子表示出PE的长，进而用含a的式子表示出矩形PEFG的周长，再利用二次函数的最大值求解即可； （3）根据题意，证得△AMN∽△BDM，易得AB=6，AD=DB=5，根据△DMN为等腰三角形有三种可能：①MN=DM，利用△AMN≌△BDM，易得AN的值；②DN=MN，利用△DAM∽△BAD的性质，可得AN的值；③DN=DM，不成立. 【解题过程】解：（1）抛物线的解析式为：y==.配方得：y=，∴顶点D的坐标为（-2，4）. （2）设点P的坐标为（a，），则PE=，PG=2（-2-a）=-4-2a，∴矩形PEFG的周长=2（PE+PG）=2（）==，∵＜0，∴当a=时，矩形PEFG的周长最大，此时点P的横坐标为. （3）存在. ∵DA=DB，∴∠DAB=∠DBA.∵∠AMN+∠DMN=∠MDB+∠DBA，又∵∠DMN=∠DBA，∴∠AMN=∠MDB，∴△AMN∽△BDM，∴,易求得AB=6，AD=DB=5. △DMN为等腰三角形有三种可能：①当MN=DM时，则△AMN≌△BDM，∴AM=BD=5，∴AN=MB=1；②当DN=MN时，则∠ADM=∠DMN=∠DBA，又∵∠DAM=∠BAD，∴△DAM∽△BAD，∴AD2=AM×AB，∴AM=，∴BM=6-=，∵，∴，∴AN=.③DN=DM不成立.∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB=∠DMN，∴∠DNM＞∠DMN，∴DN=DM.综上所述，存在点M满足要求，此时AN的长为1或. 【知识点】待定系数法求抛物线解析式，抛物线的顶点式，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，分类讨论思想 5. （2019·乐山）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且tan.设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点. （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且. ①当点在线段(含端点)上运动时，求的变化范围； ②当取最大值时，求点到线段的距离； ③当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围. 备用图 【思路分析】（1）令y=0解方程求得AB坐标，再利用三角函数求C的坐标从而求得a的值； （2）①先求抛物线的对称轴与顶点，再设点坐标为（其中）利用勾股定理列方程求m、n的关系式，并配方求最值得出n的范围； ②由△PCQ面积的不同列式列方程求点到线段距离； ③找出界点点求t的值从而得到t的范围. 【解题过程】 解：（1）根据题意得： ,，