专题22与圆的有关解答题-2020年中考数学真题分项汇编（教师版）【全国通用】【jiaoyupan.com教育盘】.docx

2020年中考数学真题分项汇编（全国通用） 专题22与圆的有关解答题 一．解答题（共50小题） 1．（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝8，BECE=12，求CD的长． 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论； （2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°， ∴∠A＝∠ECB， ∵∠BCE＝∠BCD， ∴∠A＝∠BCD， ∵OC＝OA， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠ACO＝∠BCD， ∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°， ∴∠DCO＝90°， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠A＝∠BCE， ∴tanA=BCAC=tan∠BCE=BECE=12， 设BC＝k，AC＝2k， ∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD， ∴△ACD∽△CBD， ∴BCAC=CDAD=12， ∵AD＝8， ∴CD＝4． 2．（2020•温州）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是AC上一点，∠ADC＝∠G． （1）求证：∠1＝∠2． （2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1=25，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据圆周角定理和AB为⊙O的直径，即可证明∠1＝∠2； （2）连接DF，根据垂径定理可得FD＝FC＝10，再根据对称性可得DC＝DF，进而可得DE的长，再根据锐角三角函数即可求出⊙O的半径． 【解析】（1）∵∠ADC＝∠G， ∴AC=AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴BC=BD， ∴∠1＝∠2； （2）如图，连接DF， ∵AC=AD，AB是⊙O的直径， ∴AB⊥CD，CE＝DE， ∴FD＝FC＝10， ∵点C，F关于DG对称， ∴DC＝DF＝10， ∴DE＝5， ∵tan∠1=25， ∴EB＝DE•tan∠1＝2， ∵∠1＝∠2， ∴tan∠2=25， ∴AE=DEtan∠2=252， ∴AB＝AE+EB=292， ∴⊙O的半径为294． 3．（2020•衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点． （1）求证：∠CAD＝∠CBA． （2）求OE的长． 【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可． （2）证明△AEC∽△BCA，推出CEAC=ACAB，求出EC即可解决问题． 【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径， ∴AC=CD， ∴∠CAD＝∠CBA． （2）解：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AE＝DE， ∴OC⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠ACB， ∴△AEC∽△BCA， ∴CEAC=ACAB， ∴CE6=610， ∴CE＝3.6， ∵OC=12AB＝5， ∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4． 4．（2020•嘉兴）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框： 证明：连结OC， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， 又∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC， ∴AC＝BC． 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 【分析】连结OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解析】证法错误； 证明：连结OC， ∵⊙O与AB相切于点C， ∴OC⊥AB， ∵OA＝OB， ∴AC＝BC． 5．（2020•湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD． （1）求证：∠CAD＝∠ABC； （2）若AD＝6，求CD的长． 【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD； （2）由圆周角定理可得CD=AC，由弧长公式可求解． 【解析】（1）∵BC平分∠ABD， ∴∠DBC＝∠ABC， ∵∠CAD＝∠DBC， ∴∠CAD＝∠ABC； （2）∵∠CAD＝∠ABC， ∴CD=AC， ∵AD是⊙O的直径，AD＝6， ∴CD的长=12×12×π×6=32π． 6．（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度． 【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案； （2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值． 【解析】（1）连接OD，如图： ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAE＝∠OAD， ∴∠ADO＝∠DAE， ∴OD∥AE， ∵DE∥BC， ∴∠E＝90°， ∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OF＝1，BF＝2， ∴OB＝3， ∴AF＝4，BA＝6． ∵DF⊥AB， ∴∠DFB＝90°， ∴∠ADB＝∠DFB， 又∵∠DBF＝∠ABD， ∴△DBF∽△ABD， ∴BDBA=BFBD， ∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12． ∴BD＝23． 7．（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD． （1）求证：DC∥AP； （2）求AC的长． 【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论； （2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∵OA∥CB， ∴∠AOP＝∠DBC， ∴∠BDC＝∠APO， ∴DC∥AP； （2）解：∵AO∥BC，OD＝OB， ∴延长AO交DC于点E， 则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD， 在Rt△AOP中，OP=62+82=10， 由（1）知，△AOP∽△CBD， ∴DBOP=BCOA=DCAP， 即1210=BC6=DC8， ∴BC=365，DC=485， ∴OE=185，CE=245， 在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2=(6+185)2+(245)2=2455． 8．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E． （1）试证明DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，AC＝610，求此时DE的长． 【分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，瑞成AD＝DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可； （2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求得DE． 【解析】（1）证明：连接OD、BD， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AC， ∵AB＝BC， ∴D为AC中点， ∵OA＝OB， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥OD， ∵OD为半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）由（1）知BD是AC的中线， ∴AD＝CD=12AC=310， ∵O的半径为5， ∴AB＝6， ∴BD=AB2-AD2=102-(310)2=10， ∵AB＝AC， ∴∠A＝∠C， ∵∠ADB＝∠CED＝90°， ∴△CDE∽△ABD， ∴CDAB=DEBD，即31010=DE10， ∴DE＝3． 9．（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小； （3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长． 【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可． （2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可． （3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AEBC=ADDC=23，推出AOOH=AEBH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题． 【解析】（1）证明：连接OA． A ∵AB＝AC， ∴AB=AC， ∴OA⊥BC， ∴∠BAO＝∠CAO， ∵OA＝OB， ∴∠ABD＝∠BAO， ∴∠BAC＝2∠BAD． （2）解：如图2中，延长AO交BC于H． ①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠DBC＝2∠ABD， ∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°， ∴8∠ABD＝180°， ∴∠C＝3∠ABD＝67.5°． ②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD， ∴∠C＝4∠ABD， ∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°， ∴10∠ABD＝180°， ∴∠BCD＝4∠ABD＝72°． ③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在． 综上所述，∠C的值为67.5°或72°． （3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E． 则AEBC=ADDC=23， ∴AOOH=AEBH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a， ∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2， ∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2， ∴a2=2556， ∴BH=524， ∴BC＝2BH=522． 10．（2020•金华）如图，AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°． （1）求弦AB的长． （2）求AB的长． 【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得AC的长，然后即可得到AB的长； （2）根据∠AOC＝60°，可以得到∠AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可． 【解析】（1）∵AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°， ∴AC＝OA•sin60°＝2×32=3， ∴AB＝2AC＝23； （2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∵OA＝2， ∴AB的长是：120π×2180=4π3． 11．（2020•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，AC=CD=DB，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若直径AB＝6，求AD的长． 【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论； （2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接OD， ∵AC=CD=DB， ∴∠BOD=13×180°＝60°， ∵CD=DB， ∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAB＝30°， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠EAD+∠EDA＝90°， ∴∠EDA＝60°， ∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：连接BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DAB＝30°，AB＝6， ∴BD=12AB＝3， ∴AD=62-32=33． 12．（2020•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H． （1）求证：∠C＝∠AGD； （2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长． 【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到∠ABC＝90°，得到∠C＝∠ABD，根据圆周角定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠ABC＝90°， ∴∠C+∠CAB＝90°， ∴∠C＝∠ABD， ∵∠AGD＝∠ABD， ∴∠AGD＝∠C； （2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴BCAC=CDBC， ∴6AC=46， ∴AC＝9， ∴AB=AC2-BC2=35， ∵CE＝2AE， ∴AE＝3，CE＝6， ∵FH⊥AB， ∴FH∥BC， ∴△AHE∽△ABC， ∴AHAB=EHBC=AEAC， ∴AH35=EH6=39， ∴AH=5，EH＝2， 连接AF，BF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴∠AEH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°， ∴∠FAH＝∠BFH， ∴△AFH∽△FBH， ∴FHAH=BHFH， ∴FH5=25FH， ∴FH=10， ∴EF=10-2． 13．（2020•河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长． 使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，　AB＝OB，EN切半圆O于F　． 求证：　EB，EO就把∠MEN三等分　． 【分析】根据垂直的定义得到∠ABE＝∠OBE＝90°，根据全等三角形的性质得到∠1＝∠2，根据切线的性质得到∠2＝∠3，于是得到结论． 【解析】已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F． 求证：EB，EO就把∠MEN三等分， 证明：∵EB⊥AC， ∴∠ABE＝∠OBE＝90°， ∵AB＝OB，BE＝BE， ∴△ABE≌△OBE（SAS）， ∴∠1＝∠2， ∵BE⊥OB， ∴BE是⊙E的切线， ∵EN切半圆O于F， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2＝∠3， ∴EB，EO就把∠MEN三等分． 故答案为：AB＝OB，EN切半圆O于F；EB，EO就把∠MEN三等分． 14．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E． （1）求证：△CBA≌△DAB； （2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB． 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， 在Rt△CBA与Rt△DAB中，BC=ADBA=AB， ∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）； （2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF， ∴∠E＝∠BFE， ∵BE是半圆O所在圆的切线， ∴∠ABE＝90°， ∴∠E+∠BAE＝90°， 由（1）知∠D＝90°， ∴∠DAF+∠AFD＝90°， ∵∠AFD＝∠BFE， ∴∠AFD＝∠E， ∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴AC平分∠DAB． 15．（2020•河南）小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图，点D是BC上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度． 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点D在BC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值． BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0 FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现： ①“当点D为BC的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是　5　； ②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由． （2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCD的图象； （3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）． 【分析】（1）①由BD=CD可求BD＝CD＝a＝5cm； ②由“AAS”可证△BAD≌△CAF，可得BD＝CF，即可求解； （2）由题意可画出函数图象； （3）结合图象可求解． 【解析】（1）∵点D为BC的中点， ∴BD=CD， ∴BD＝CD＝a＝5cm， 故答案为：5； （2）∵点A是线段BC的中点， ∴AB＝AC， ∵CF∥BD， ∴∠F＝∠BDA， 又∵∠BAD＝∠CAF， ∴△BAD≌△CAF（AAS）， ∴BD＝CF， ∴线段CF的长度无需测量即可得到； （3）由题意可得： （4）由题意画出函数yCF的图象； 由图象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形． 16．（2020•德州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H． （1）求证：直线DH是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长． 【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD=12∠AOB＝90°，根据平行线的性质得到∠ODH＝90°，于是得到结论； （2）连接CD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB＝10，解直角三角形得到AC=102-62=8，求得∠CAD＝∠DBH，根据平行线的性质得到∠BDH＝∠OBD＝45°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接OD， ∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点， ∴∠AOD=12∠AOB＝90°， ∵DH∥AB， ∴∠ODH＝90°， ∴OD⊥DH， ∴直线DH是⊙O的切线； （2）解：连接CD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， ∵点D是半圆AB的中点， ∴AD=DB， ∴AD＝DB， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∵AB＝10， ∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×22=52， ∵AB＝10，BC＝6， ∴AC=102-62=8， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠CAD+∠CBD＝180°， ∵∠DBH+∠CBD＝180°， ∴∠CAD＝∠DBH， 由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°， ∴∠ACD＝45°， ∵DH∥AB， ∴∠BDH＝∠OBD＝45°， ∴∠ACD＝∠BDH， ∴△ACD∽△BDH， ∴ACBD=ADBH， ∴852=52BH， 解得：BH=254． 17．（2020•长沙）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：DC为⊙O的切线． （2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径． 【分析】（1）如图，连接OC，根据已知条件可以证明∠OCA＝∠DAC，得AD∥OC，由AD⊥DC，得OC⊥DC，进而可得DC为⊙O的切线； （2）过点O作OE⊥AC于点E，根据Rt△ADC中，AD＝3，DC=3，可得DAC＝30°，再根据垂径定理可得AE的长，进而可得⊙O的半径． 【解析】（1）如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠OCA＝∠DAC， ∴AD∥OC， ∵AD⊥DC， ∴OC⊥DC， 又OC是⊙O的半径， ∴DC为⊙O的切线； （2）过点O作OE⊥AC于点E， 在Rt△ADC中，AD＝3，DC=3， ∴tan∠DAC=DCAD=33， ∴∠DAC＝30°， ∴AC＝2DC＝23， ∵OE⊥AC， 根据垂径定理，得 AE＝EC=12AC=3， ∵∠EAO＝∠DAC＝30°， ∴OA=AEcos30°=2， ∴⊙O的半径为2． 18．（2020•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EC=BC，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D． （1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝4，CD=3，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OC，根据EC=BC，求得∠CAD＝∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线； （2）连接OE，连接BE交OC于F，根据垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据矩形的性质得到EF＝CD=3，根据勾股定理得到AE=AB2-BE2=42-(23)2=2，求得∠AOE＝60°，连接CE，推出CE∥AB，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接OC， ∵EC=BC， ∴∠CAD＝∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠ACO， ∴∠CAD＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连接OE，连接BE交OC于F， ∵EC=BC， ∴OC⊥BE，BF＝EF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°， ∴四边形DEFC是矩形， ∴EF＝CD=3， ∴BE＝23， ∴AE=AB2-BE2=42-(23)2=2， ∴AE=12AB， ∴∠ABE＝30°， ∴∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝120°， ∵EC=BC， ∴∠COE＝∠BOC＝60°， 连接CE， ∵OE＝OC， ∴△COE是等边三角形， ∴∠ECO＝∠BOC＝60°， ∴CE∥AB， ∴S△ACE＝S△COE， ∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°， ∴∠DCE＝30°， ∴DE=33CD＝1， ∴AD＝3， ∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE=12×3×3-60⋅π×22360=332-2π3． 19．（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F． （1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长． 【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可； （2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2-AC2=82+(325)2=8415，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1）BC与⊙O相切， 理由：连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C＝90°， ∴∠ODC＝90°， ∴OD⊥BC， ∵OD为半径， ∴BC是⊙O切线； （2）连接DE， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ADE＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠ADE＝∠C， ∵∠EAD＝∠DAC， ∴△ADE∽△ACD， ∴AEAD=ADAC， 108=8AC， ∴AC=325， ∴CD=AD2-AC2=82-(325)2=245， ∵OD⊥BC，AC⊥BC， ∴△OBD∽△ABC， ∴ODAC=BDBC， ∴5325=BDBD+245， ∴BD=1207． 20．（2020•淮安）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB． （1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据等边对等角得∠CPB＝∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切； （2）根据三角形的内角和定理得到∠APO＝60°，推出△PBD是等边三角形，得到∠PCB＝∠CBP＝60°，求得BC＝1，根据勾股定理得到OB=OC2-BC2=3，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【解析】（1）CB与⊙O相切， 理由：连接OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵CP＝CB， ∴∠CPB＝∠CBP， 在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°， ∴∠OBA+∠CBP＝90°， 即：∠OBC＝90°， ∴OB⊥CB， 又∵OB是半径， ∴CB与⊙O相切； （2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°， ∴∠APO＝60°， ∴∠BPD＝∠APO＝60°， ∵PC＝CB， ∴△PBD是等边三角形， ∴∠PCB＝∠CBP＝60°， ∴∠OBP＝∠POB＝30°， ∴OP＝PB＝PC＝1， ∴BC＝1， ∴OB=OC2-BC2=3， ∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD=12×1×3-30⋅π×(3)2360=32-π4． 21．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F． 求证：（1）四边形DBCF是平行四边形； （2）AF＝EF． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可； （2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可． 【解析】证明：（1）∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B， ∵DF∥BC， ∴∠ADF＝∠B， ∵∠BAC＝∠CFD， ∴∠ADF＝∠CFD， ∴BD∥CF， ∵DF∥BC， ∴四边形DBCF是平行四边形； （2）连接AE， ∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠B， ∵四边形AECF是⊙O的内接四边形， ∴∠ECF+∠EAF＝180°， ∵BD∥CF， ∴∠ECF+∠B＝180°， ∴∠EAF＝∠B， ∴∠AEF＝∠EAF， ∴AE＝EF． 22．（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE． （1）求证：DE与⊙A相切； （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积． 【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论； （2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝∠ACB，得到CE＝BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE＝AB， ∴∠AEB＝∠ABC， ∴∠DAE＝∠ABC， ∴△AED≌△BAC（AAS）， ∴∠DEA＝∠CAB， ∵∠CAB＝90°， ∴∠DEA＝90°， ∴DE⊥AE， ∵AE是⊙A的半径， ∴DE与⊙A相切； （2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝BE，∠EAB＝60°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∴∠CAE＝∠ACB， ∴AE＝CE， ∴CE＝BE， ∴S△ABC=12AB•AC=12×4×43=83， ∴S△ACE=12S△ABC=12×83=43， ∵∠CAE＝30°，AE＝4， ∴S扇形AEF=30π×AE2360=30π×42360=4π3， ∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝43-4π3． 23．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E． （1）求证：DE⊥AC； （2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长． 【分析】（1）连接AD、OD．先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证明∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD+∠EDA＝90°，由三角形的内角和定理可知∠DEA＝90°，于是可得到DE⊥AC． （2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案． 【解析】（1）证明：连接AD、OD． ∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∴∠ADO+∠ODB＝90°． ∵DE是圆O的切线， ∴OD⊥DE． ∴∠EDA+∠ADO＝90°． ∴∠EDA＝∠ODB． ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD． ∴∠EDA＝∠OBD． ∵AC＝AB，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD． ∵∠DBA+∠DAB＝90°， ∴∠EAD+∠EDA＝90°． ∴∠DEA＝90°． ∴DE⊥AC． （2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC， ∴BD＝CD， ∵⊙O的半径为5，BC＝16， ∴AC＝10，CD＝8， ∴AD=AC2-CD2=102-82=6， ∵S△ADC=12AD⋅DC=12AC•DE， ∴DE=AD⋅DCAC=6×810=245． 24．（2020•天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°． （Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小； （Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小． 【分析】（1）由三角形的外角性质得出∠C＝37°，由圆周角定理得∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠B＝63°，∠ADB＝90°，即可得出答案； （2）连接OD，求出∠PCB＝27°，由切线的性质得出∠ODE＝90°，由圆周角定理得出∠BOD＝2∠PCB＝54°，即可得出答案． 【解析】（1）∵∠APC是△PBC的一个外角， ∴∠C＝∠APC﹣∠ABC＝100°﹣63°＝37°， 由圆周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠B＝63°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣63°＝27°； （2）连接OD，如图②所示： ∵CD⊥AB， ∴∠CPB＝90°， ∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∴∠ODE＝90°， ∵∠BOD＝2∠PCB＝54°， ∴∠E＝90°﹣∠BOD＝90°﹣54°＝36°． 25．（2020•凉山州）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c． （1）求证：asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R； （2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝43，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值． 【分析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，根据三角函数的定义得到sinA＝sinE=BCBE=a2R，求得asinA=2R，同理：bsin∠B=2R，csin∠C=2R，于是得到结论； （2）由（1）得：ABsinC=BCsinA，得到AB=43×2232=42，2R=4332=8，过B作BH⊥AC于H，解直角三角形得到AC＝AH+CH＝2（2+6），根据三角函数的定义即可得到结论． 【解析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示： 则∠BCE＝90°，∠E＝∠A， ∴sinA＝sinE=BCBE=a2R， ∴asinA=2R， 同理：bsin∠B=2R，csin∠C=2R， ∴asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R； （2）解：由（1）得：ABsinC=BCsinA， 即ABsin45°=43sin60°=2R， ∴AB=43×2232=42，2R=4332=8， 过B作BH⊥AC于H， ∵∠AHB＝∠BHC＝90°， ∴AH＝AB•