专题30函数与几何综合问题-2020年中考数学真题分项汇编（教师版）【全国通用】【jiaoyupan.com教育盘】.docx

2020年中考数学真题分项汇编（全国通用） 专题30函数与几何综合问题 一．解答题（共30小题） 1．（2020•扬州）如图，已知点A（1，2）、B（5，n）（n＞0），点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．” （1）当n＝1时． ①求线段AB所在直线的函数表达式． ②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值． （2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围． 【分析】（1）①把n＝1代入确定出B的坐标，利用待定系数法求出线段AB所在直线的解析式即可； ②若n＝1，完全同意小明的说法，求出正确k的最大值与最小值即可； （2）若小明的说法完全正确，把A与B坐标代入反比例解析式，并列出不等式，求出解集即可确定出n的范围． 【解析】（1）①当n＝1时，B（5，1）， 设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b， 把A（1，2）和B（5，1）代入得：k+b=25k+b=1， 解得：k=-14b=94， 则线段AB所在直线的函数表达式为y=-14x+94； ②不完全同意小明的说法，理由为： k＝xy＝x（-14x+94）=-14（x-92）2+8116， ∵1≤x≤5， ∴当x＝1时，kmin＝2； 当x=92时，kmax=8116， 则不完全同意； （2）当n＝2时，A（1，2），B（5，2），符合； 当n≠2时，y=n-24x+10-n4， k＝x（n-24x+10-n4）=n-24（x-n-102n-4）2+(10-n)216(2-n)， 先增大当x取92时，k为8116，为最大，到B为5时减小， 即在直线上A到x=92时增大，到5时减小， 当92＜x≤5时，k在减小， 当n＜2时，k随x的增大而增大，则有n-102n-4≥5， 此时109≤n＜2； 当n＞2时，k随x的增大而增大，则有n-102n-4≤1， 此时n＞2， 综上，n≥109． 2．（2020•泰州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S． （1）用含x的代数式表示AD的长； （2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围． 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理，用x表示CD，进而求得结果； （2）根据三角形的面积公式列出函数解析式，再根据函数性质求出S随x增大而减小时x的取值范围． 【解析】（1）∵PD∥AB， ∴CPCB=CDCA， ∵AC＝3，BC＝4，CP＝x， ∴x4=CD3， ∴CD=34x， ∴AD＝AC﹣CD＝3-34x， 即AD=-34x+3； （2）根据题意得，S=12AD⋅CP=12x(-34x+3)=-38(x-2)2+32， ∴当x≥2时，S随x的增大而减小， ∵0＜x＜4， ∴当S随x增大而减小时x的取值范围为2≤x＜4． 3．（2020•滨州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B． （1）求交点P的坐标； （2）求△PAB的面积； （3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y=-12x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围． 【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标； （2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可； （3）根据图象求得即可． 【解析】（1）由y=-12x-1y=-2x+2解得x=2y=-2， ∴P（2，﹣2）； （2）直线y=-12x﹣1与直线y＝﹣2x+2中，令y＝0，则-12x﹣1＝0与﹣2x+2＝0， 解得x＝﹣2与x＝1， ∴A（﹣2，0），B（1，0）， ∴AB＝3， ∴S△PAB=12AB⋅|yP|=12×3×2=3； （3）如图所示： 自变量x的取值范围是x＜2． 4．（2020•襄阳）如图，反比例函数y1=mx（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）． （1）m＝　4　，n＝　2　； （2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围； （3）若点P是反比例函数y1=mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为　2　． 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标； （2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1＜y2时x的取值范围； （3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得． 【解析】（1）∵把A（1，4）代入y1=mx（x＞0）得：m＝1×4＝4， ∴y=4x， ∵把B（n，2）代入y=4x得：2=4n， 解得n＝2； 故答案为4，2； （2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：k+b=42k+b=2， 解得：k＝﹣2，b＝6， 即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6． 由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2； （3）∵点P是反比例函数y1=mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M， ∴S△POM=12|m|=12×4=2， 故答案为2． 5．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，32），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点． （1）m＝　6　，点C的坐标为　（2，0）　； （2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标； （2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE=-38（x﹣1）2+278，由二次函数的性质即可求得结论． 【解析】（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，32）， ∴m=4×32=6， ∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点． ∴C（2，0）； 故答案为6，（2，0）； （2）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（4，32），C（2，0）代入得4k+b=322k+b=0，解得k=34b=-32， ∴直线AB的解析式为y=34x-32； ∵点D为线段AB上的一个动点， ∴设D（x，34x-32）（0＜x≤4）， ∵DE∥y轴， ∴E（x，6x）， ∴S△ODE=12x•（6x-34x+32）=-38x2+34x+3=-38（x﹣1）2+278， ∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为278． 6．（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F． （1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式． （2）求△DEC的面积． 【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式． （2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积． 【解析】∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）， ∴OA＝2，OB＝1， 作DM⊥y轴于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠OAB+∠DAM＝90°， ∵∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠DAM＝∠ABO， 在△AOB和△DMA中 ∠ABO=∠DAM∠AOB=∠DMA=90°AB=DA， ∴△AOB≌△DMA（AAS）， ∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2， ∴D（2，3）， ∵双曲线y═kx（k≠0）经过D点， ∴k＝2×3＝6， ∴双曲线为y=6x， 设直线DE的解析式为y＝mx+n， 把B（1，0），D（2，3）代入得m+n=02m+n=3，解得m=3n=-3， ∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3； （2）连接AC，交BD于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD垂直平分AC，AC＝BD， 解y=3x-3y=6x得x=2y=3或x=-1y=-6， ∴E（﹣1，﹣6）， ∵B（1，0），D（2，3）， ∴DE=(2+1)2+(3+6)2=310，DB=(2-1)2+32=10， ∴CN=12BD=102， ∴S△DEC=12DE•CN=12×310×102=152． 7．（2020•牡丹江）如图，已知直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根，OB=12OA．请解答下列问题： （1）求点A，B的坐标； （2）直线EF交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线AB于点C．若C是EF的中点，OE＝6，反比例函数y=kx图象的一支经过点C，求k的值； （3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥OE，垂足为D，点M在直线AB上，点N在直线CD上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据OB=12OA可得点B坐标； （2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图象上求出k值； （3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可． 【解析】（1）∵线段 的长是方程 的一个根， 解得：x＝9或﹣2（舍），而点A在x轴正半轴， ∴A（9，0）， ∵OB=12OA， ∴B（0，92）， （2）∵OE＝6， ∴E（﹣6，0）， 设直线AB的表达式为y＝kx+b，将点A和B的坐标代入， 得：0=9k+b92=b，解得：k=-12b=92， ∴AB的表达式为：y=-12x+92， ∵点C是EF的中点， ∴点C的横坐标为﹣3，代入AB中，y＝6， 则C（﹣3，6）， ∵反比例函数y=kx经过点C， 则k＝﹣3×6＝﹣18； （3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形， 如图，共有5种情况， 在四边形DM1P1N1中， M1和点A重合， ∴M1（9，0）， 此时P1（9，12）； 在四边形DP3BN3中，点B和M重合， 可知M在直线y＝x+3上， 联立：y=x+3y=-12x+92， 解得：x=1y=4， ∴M（1，4）， ∴P3（1，0）， 同理可得：P2（9，﹣12），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）． 故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形， 点P的坐标为P1（9，12），P2（9，﹣12），P3（1，0），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）． 8．（2020•广元）如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（3，4），B（n，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标； （3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 【分析】（1）先把A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数的解析，再把B点坐标代入所求得的反比例函数的解析式，求得B点坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式便可； （2）分三种情况：OA＝OC，AO＝AC，CA＝CO，分别求解即可； （3）根据图象得出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围即可． 【解析】（1）把A（3，4）代入y=mx， ∴m＝12， ∴反比例函数是y=12x； 把B（n，﹣1）代入y=12x得n＝﹣12． 把A（3，4）、B（﹣12，﹣1）分别代入y＝kx+b中， 得3k+b=4-12k+b=-1， 解得k=13b=3， ∴一次函数的解析式为y=13x+3； （2）∵A（3，4）， ∴OA=32+42=5， ∵△AOC为等腰三角形， 分三种情况： ①当OA＝OC时，OC＝5， 此时点C的坐标为（5，0），（﹣5，0）； ②当AO＝AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称， 此时点C的坐标为（6，0）； ③当CA＝CO时，点C在线段OA的垂直平分线上， 过A作AD⊥x轴，垂足为D， 由题意可得：OD＝3，AD＝4，AO＝5，设OC＝x，则AC＝x， 在△ACD中，42+（x﹣3）2＝x2， 解得：x=256， 此时点C的坐标为(256，0)； 综上：点C的坐标为：（6，0），（5，0），(256，0)，（﹣5，0）； （3）由图得： 当一次函数图象在反比例函数图象上方时， ﹣12＜x＜0或x＞3， 即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：﹣12＜x＜0或x＞3． 9．（2020•常州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D． （1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式； （2）若BD＝10，求△ACD的面积． 【分析】（1）把把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式； （2）根据BD＝10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解析】（1）把点A（a，4）代入反比例函数y=8x（x＞0）得， a=84=2， ∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2， ∴正比例函数的关系式为y＝2x， 答：a＝2，正比例函数的关系式为y＝2x； （2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5， ∴OB＝5， 当x＝5代入y=8x得，y=85，即BC=85， ∴CD＝BD﹣BC＝10-85=425， ∴S△ACD=12×425×（5﹣2）＝12.6， 10．（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=2|x|的图象与性质共探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图1． 列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　1　； x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 -12 12 1 2 3 … y … 23 1 2 4 4 2 m 23 … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质； ①　函数的图象关于y轴对称　； ②　当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小　； （3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y=2|x|的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝　4　； ②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝　4　； ③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y=k|x|（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝　2k　． 【分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，求出m的值；补全图象； （2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质； （3）由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案． 【解析】（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2， ∴m＝1， 故答案为：1；补全图象如图所示： （2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小； （3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4×12|k|＝2|k|＝4， ②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4， ③S四边形OABC＝2|k|＝2k， 故答案为：4，4，2k． 11．（2020•攀枝花）如图，过直线y＝kx+12上一点P作PD⊥x轴于点D，线段PD交函数y=mx（x＞0）的图象于点C，点C为线段PD的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，3）． （1）求k、m的值； （2）求直线y＝kx+12与函数y=mx（x＞0）图象的交点坐标； （3）直接写出不等式mx＞kx+12（x＞0）的解集． 【分析】（1）根据点C′在反比例函数图象上求出m值，利用对称性求出点C的坐标，从而得出点P坐标，代入一次函数表达式求出k值； （2）将两个函数表达式联立，得到一元二次方程，求解即可； （3）根据（2）中交点坐标，结合图象得出结果． 【解析】（1）∵C′的坐标为（1，3）， 代入y=mx（x＞0）中， 得：m＝1×3＝3， ∵C和C′关于直线y＝x对称， ∴点C的坐标为（3，1）， ∵点C为PD中点， ∴点P（3，2）， 将点P代入y＝kx+12， ∴解得：k=12； ∴k和m的值分别为：3，12； （2）联立：y=12x+12y=3x，得：x2+x﹣6＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍）， ∴直线y＝kx+12与函数y=mx（x＞0）图象的交点坐标为（2，32）； （3）∵两个函数的交点为：（2，32）， 由图象可知：当0＜x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上面， ∴不等式mx＞kx+12（x＞0）的解集为：0＜x＜2． 12．（2020•岳阳）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求b的值． 【分析】（1）根据一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），可得m＝4，进而可求反比例函数的表达式； （2）根据一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），可得y＝x+5﹣b，根据平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，联立方程根据判别式＝0即可求出b的值． 【解析】（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m）， ∴m＝4， ∴k＝﹣1×4＝﹣4， ∴反比例函数解析式为：y=-4x； （2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0）， ∴y＝x+5﹣b， ∵平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点， ∴x+5﹣b=-4x， ∴x2+（5﹣b）x+4＝0， ∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0， 解得b＝9或1， 答：b的值为9或1． 13．（2020•江西）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝22． （1）求反比例函数的解析式； （2）求∠EOD的度数． 【分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y=kx（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式； （2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°． 【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°， ∴△AOD是等腰直角三角形， ∵OA＝22， ∴OD＝AD＝2， ∴A（2，2）， ∵顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上， ∴k＝2×2＝4， ∴反比例函数的解析式为y=4x； （2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点， ∴OA＝AE， ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴CE＝AE＝BE， ∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC， ∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC， ∵BC∥x轴， ∴∠EOD＝∠ECB， ∴∠AOE＝2∠EOD， ∵∠AOD＝45°， ∴∠EOD＝15°． 14．（2020•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积． 【分析】（1）点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，则3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解； （2）a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），求出一次函数的表达式为：y=-23x+6，则点C（0，6），故OC＝6，进而求解． 【解析】（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上， ∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12， 故反比例函数的表达式为：y=12x； （2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2）， 设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则4=3k+b2=6k+6，解得k=-23b=6， 故一次函数的表达式为：y=-23x+6； 当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6， 而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12， △ACD的面积=12×CD•xA=12×12×3＝18． 15．（2020•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A． （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积． 【分析】（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=-2y=4，故点A（﹣2.4），进而求解； （2）S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM-12OC•BN，即可求解． 【解析】（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=-2y=4，故点A（﹣2.4）， 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4=k-2，解得：k＝﹣8， 故反比例函数表达式为：y=-8x②； （2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8， 当x＝﹣8时，y=12x+5＝1，故点B（﹣8，1）， 设y=12x+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N， 则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM-12OC•BN=12×4×10-12×10×1=15． 16．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△DPQ面积的最大值． 【分析】（1）由A（0，﹣4）、B（2，0）的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，确定反比例函数的关系式； （2）根据题意，要使三角形PDQ的面积最大，可用点P的横坐标n，表示三角形PDQ的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可． 【解析】（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得， b=-42k+b=0，解得，k=2b=-4， ∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4， 当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2， ∴点C（3，2）， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴k＝3×2＝6， ∴反比例函数的关系式为y=6x， 答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y=6x； （2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上， ∴点P（n，6n），点Q（n，2n﹣4）， ∴PQ=6n-（2n﹣4）， ∴S△PDQ=12n[6n-（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4， ∴当n＝1时，S最大＝4， 答：△DPQ面积的最大值是4． 17．（2020•天水）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出mx+n＞kx中x的取值范围； （3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标． 【分析】（1）根据△AOC的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值； （2）根据图象直接写出mx+n＞kx的解集； （3）求出点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），根据题意直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，求出直线A′B的关系式，进而求出与y轴的交点坐标即可． 【解析】（1）∵△AOC的面积为4， ∴12|k|＝4， 解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为y=-8x， 把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y=-8x得， a＝4，b＝8； 答：a＝4，b＝8； （2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n＞kx的解集为x＜﹣2或0＜x＜8； （3）∵点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4）， 又B（8，﹣1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P， 设直线A′B的关系式为y＝cx+d， 则有2c+d=48c+d=-1， 解得，c=-56d=173， ∴直线A′B的关系式为y=-56x+173， ∴直线y=-56x+173与y轴的交点坐标为（0，173）， 即点P的坐标为（0，173）． 18．（2020•青海）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y=-12x2+bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索） （3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索） 【分析】（1）用待定系数法解答便可； （2）求出抛物线与坐标轴的交点A、D坐标及抛物线顶点M的坐标，再将四边形ABMC的面积分为三角形的面积的和，进行计算便可； （3）分两种情况：AB为平行四边形的边；AB为平行四边形的对角线．分别解答便可． 【解析】（1）把B（3，0）和D（﹣2，-52）代入抛物线的解析式得， -92+3b+c=0-2-2b+c=-52， 解得，b=1c=32， ∴抛物线的解析式为：y=-12x2+x+32； （2）令x＝0，得y=-12x2+x+32=32， ∴C(0，32)， 令y＝0，得y=-12x2+x+32=0， 解得，x＝﹣1，或x＝3， ∴A（﹣1，0）， ∵y=-12x2+x+32=-12(x-1)2+2， ∴M（1，2）， ∴S四边形ABMC＝S△AOC+S△COM+S△MOM =12OA⋅OC+12OC⋅xM+12OB⋅yM =12×1×32+12×32×1+12×3×2=92； （3）设Q（0，n）， ①当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ， a）．Q点在P点左边时，则Q（﹣4，n）， 把Q（﹣4，n）代入y=-12x2+x+32，得 n=-212， ∴P（﹣4，-212）； ②Q点在P点右边时，则Q（4，n）， 把Q（4，n）代入y=-12x2+x+32，得 n=-52， ∴P（4，-52）； ③当AB为平行四边形的对角线时，如图2，AB与PQ交于点E， 则E（1，0）， ∵PE＝QE， ∴P（2，﹣n）， 把P（2，﹣n）代入y=-12x2+x+32，得 ﹣n=32， ∴n=-32， ∴P（2，32）． 综上，满足条件的P点坐标为：（﹣4，-212）或（4，-52）或（2，32）． 19．（2020•山西）综合与探究 如图，抛物线y=14x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）． （1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式； （2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标； （3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标． 【分析】（1）令y＝0，便可由抛物线的解析式求得A、B点坐标，用待定系数法求得直线AD的解析式； （2）设P（m，14m2﹣m﹣3），用m表示N点坐标，分两种情况：PM＝3MN；PM＝3PN．分别列出m的方程进行解答便可； （3）分两种情况，Q点在y轴正半轴上时；Q点在y轴负半轴上时．分别解决问题． 【解析】（1）令y＝0，得y=14x2﹣x﹣3＝0， 解得，x＝﹣2，或x＝6， ∴A（﹣2，0），B（6，0）， 设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则 -2k+b=04k+b=-3， 解得，k=-12b=-1， ∴直线l的解析式为y=-12x-1； （2）如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为 P（m，14m2﹣m﹣3），N（m，-12m﹣1）， ∴PM=-14m2+m+3，MN=12m+1，NP=-14m2+12m+2， 分两种情况： ①当PM＝3MN时，得-14m2+m+3＝3（12m+1）， 解得，m＝0，或m＝﹣2（舍）， ∴P（0，﹣3）； ②当PM＝3NP时，得-14m2+m+3＝3（-14m2+12m+2）， 解得，m＝3，或m＝﹣2（舍）， ∴P（3，-154）； ∴当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为（3，-154）或（0，﹣3）； （3）∵直线ly=-12x-1与y轴于点E， ∴点E的坐标为（0，﹣1）， 分再种情况：①如图2，当点Q在y轴的正半轴上时，记为点Q1， 过Q1作Q1H⊥AD于点H，则∠QE＝∠AOE＝90°， ∵∠Q1EH＝∠AEO， ∴△Q1EH∽△AEO， ∴Q1HAO=EHEO，即Q1H2=EH1 ∴Q1H＝2HE， ∵∠Q1DH＝45°，∠Q1HD＝90°， ∴Q1H＝DH， ∴DH＝2EH， ∴HE＝ED， 连接CD， ∵C（0，﹣3），D（4，﹣3）， ∴CD⊥y轴， ∴ED=CE2+CD2=22+42=25， ∴HE=ED=25，Q1H=2EH=45， ∴Q1E=Q1H2+EH2=10， ∴Q1O＝Q1E﹣OE＝9， ∴Q1（0，9）； ②如图3，当点Q在y轴的负半轴上时，记为点Q2，过Q2作Q2G⊥AD于G，则∠Q2GE＝∠AOE＝90°， ∵∠Q2EG＝∠AEO， ∴△Q2GE∽△AOE， ∴Q2GAO=EGOE，即Q2G2=EG1， ∴Q2G＝2EG， ∵∠Q2DG＝45°，∠Q2GD＝90°， ∴∠DQ2G＝∠Q2DG＝45°， ∴DG＝Q2G＝2EG， ∴ED＝EG+DG＝3EG， 由①可知，ED＝25， ∴3EG＝25， ∴EG=253， ∴Q2G=453， ∴EQ2=EG2+Q2G2=103， ∴OQ2=OE+EQ2=133， ∴Q2(0，-133)， 综上，点Q的坐标为（0.9）或（0，-133）． 20．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标； （3）分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标． 【解析】（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0， 解得x＝6， ∴B（6，0）， 令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6， ∴D（0，﹣6）， ∵点C与点D关于x轴对称， ∴C（0，6）， 把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得 -36+6b+c=0c=6， 解得，b=5c=6， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6； （2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6）， 则MN＝﹣m2+4m+12， ∴△MDB的面积=12MN⋅OB=-3m2+12m+36═﹣3（m﹣2）2+48， ∴当m＝2时，△MDB的面积最大， 此时，P点的坐标为（2，0）； （3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4）， 当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）； 当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）； 当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2， 即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2， 解得，n＝4±55， ∴Q（0，4+55）或（0，4-55）． 综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+55）或（0，4-55）． 21．（2020•衢州）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y=-83x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究： ①线段EF长度是否有最小值． ②△BEF能否成为直角三角形． 小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题． （1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点