【公众号dc008免费分享】0515 -一次函数的应用（第一课时）-1教案.docx

教 案 教学基本信息 课题 一次函数的应用第一课时 学科 数学 学段：第三学段 年级 初二 教材 书名： 数学 出版社：北京出版社 出版日期：2015 年1 月 教学设计参与人员 姓名 单位 设计者 霍小宁 牛栏山一中实验学校 实施者 霍小宁 牛栏山一中实验学校 指导者 穆怀如 顺义教育研究考试中心 课件制作者 霍小宁 牛栏山一中实验学校 其他参与者 潘春节 牛栏山一中实验学校 教学目标及教学重点、难点 目标：本节课主要涉及一次函数的概念和性质，通过分析实际问题，建立一次函数（含分段函数）模型，并利用一次函数的有关知识（概念、表达式、性质等）解决实际问题。发展学生的分析能力，模型思想，应用意识等。 教学重点：一次函数的应用. 教学难点：分段计价的理解，求最大利润，已知函数值求自变量. 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 屏幕前的同学们，大家好，前面几节课同学们学习了一次函数的概念、图象和性质。学以致用，今天开始，我们一起来学习一次函数的应用，本部分共分4课时，今天是第一课时。 我们知道，数学知识并不是孤立存在的，数学知识之间，数学与其它学科之间，数学和生产生活之间存在着广泛联系，一次函数当然也不例外。 这种联系一方面体现在很多数学知识都来源于实际问题，另一方面数学知识又能用来解决实际问题。 关于数学知识的应用，我们已经有过不少经验，大概经过如下的环节：首先，把一个实际问题抽象成数学问题，通过数学方法得到数学问题的解，再把数学问题的解还原成实际问题的解，这样就解决了实际问题，过去我们抽象成的数学问题曾经是算式、方程或不等式，这节课，我们要经历把实际问题抽象成一次函数并加以解决的过程，体会一次函数是描述现实世界变量间关系的常见模型，用一次函数的知识可以帮助我们解决很多实际问题。 介绍本节课的知识背景并引入新课，激发学生的学习兴趣 新课 例1.已知等腰三角形的腰长为10，底边长为12，现将底边长变为原来的2倍，腰长增加x. (1)列出现在三角形周长y与x的函数表达式，并指出自变量的取值范围； （2）求当x为何值时，周长y变为原来的3倍. 解：（1）y=12×2＋（10＋x）×2.化简得y=2x+44. 自变量的取值范围是x>2 （2）依题意得，y=32×3=96，把y=96代入y=2x+44得 2x+44=96.解得x=26. 答:当x=26时，周长变为原来的3倍。 小结： 1.首先要理清实际问题的数量关系，根据数量关系求函数表达式。 2.在实际问题中，字母所表示的变量有实际背景，要使实际问题有意义，这些变量往往有限制条件，我们要找到这些限制条件，并通过这些限制条件求自变量的取值范围； 3.通过例1可以看出，函数和方程有着密切联系，函数问题往往可以转化为方程问题进行求解。事实上，当已知一次函数的自变量或因变量时，函数表达式就是一个 例2.某生产资料门市部出售化肥，每袋售价80元.为了促进销售，规定了优惠办法：买3袋按售价计算，从第4袋开始，每袋优惠5%. （1）写出购买这种化肥的总金额M（元）与购买袋数n的函数表达式，并指出它的自变量的取值范围； （2）为了快速得到购买这种化肥的总金额，利用这个函数的表达式制作一个购买1~10袋化肥的总金额对照表. 解（1）：当0≤n≤3时，函数的表达式为 M=80n.自变量n的取值范围是0≤n≤3且n是整数 当n≥4时， 函数的表达式为M=76n+12. 自变量n的取值范围是n≥4且n是整数 （2） 小结： 1.分段（计价）问题要分段处理； 2.要写出每段中自变量的取值范围； 3.对于给定自变量的值要判断在哪一段，在哪一段，就用这一段对应的函数表达式解决. 思考：如果给定的是函数值呢？ 练习1.北京居民用水价按家庭年用水量计算，标准如下： 第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/立方米； 第二阶梯为180以上至260立方米，水费价格为7元/立方米； 第三阶段为260立方米以上，水费价格为9元/立方米. 设家庭年用水量x立方米，年水费y元. （1）请列出y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）某户去年缴纳水费1145元，该户去年用水量是多少？ 解（1）当0≤x≤180时，y=5x； 当180<x≤260时，y=7x-360. 当x>260时，y=9x-880. （2）5×180=900, 7×260-360=1460, 因为900<1145<1460， 所以把=1145代入y=7x-360中，得 1145=7x-360 解得 x=215. 答：该户去年用水量为215立方米 小结： 如果给定分段函数的函数值，应先判断是哪段的函数值，再代入那一段求解. 思考：会不会出现已知函数值在多个阶段呢？ 有没有更简洁的判断方法？ 例3某工厂每天生产A，B两种品牌的零件共600件.A，B两种零件的成本及利润如下表.设每天生产A种零件x件，每天获利y元. （1） 请写出y与x的函数表达式； （2）如果该零件厂每天投入成本27000元，那么每天获利多少元？ (3)如果每天生产的两种零件都不少于200件，该厂应如何安排生产才能获利最大，最大利润是多少？ 解 ：（1）y=20x+15×（600-x）化简得y=5x+9000，其中x大于等于0小于等于600，且x是整数. （2）依题意得，27000=50x+35×（600-x），解得x=400，代入函数表达式得y=5×400+9000=11000。答：如果每天投入成本27000元，每天获利11000元. （3）对于函数y=5x+9000来说，k=5>0,所以y的值随x的增大而增大，当x取最大值时，y有最大值,而由之前的分析得到，200≤x≤400，所以当x取最大值400时，y有最大值，最大值是5×400+9000=11000。我们把这个数学问题的解还原为实际问题的解，即：每天生产A种零件400件，B种零件200件时利润最大，最大利润为11000元. 小结： 1.条件较多时要聚焦相关条件； 2.通过一次函数的性质可以解决一些最大值（或最小值）问题，应用时要确定自变量的取值范围. 变式：设每天生产B种零件x件，其它条件不变。由于总件数还是600，B种零件x件，那么A种零件就是（600-x）件。 （2） 请写出y与x的函数表达式； (3) 如果每天生产的两种零件都不少于200件，该厂应如何安排生产才能获利最大，最大利润是多少？ 解（1）由题意得，y=20（600－x）+15x 化简得y=－5x+12000. （3）在函数y=－5x+12000中，k=-5<0，y随x的增大而减小，当x取最小值时，y有最大值，而200≤x≤400，所以当x取最小值200时，y有最大值，最大值是－5×200+12000=11000.答：每天生产A种零件400件，B种零件200件时利润最大，最大利润为11000元. 函数表达式的求法和自变量取值范围的求法 分段计价问题的分析方法和分段函数的应用 阶梯水价问题的理解和分段函数的应用 利润最大值问题的理解和应用 总结 本节课我们遇到了以下几个一次函数问题： 根据题目条件列出一次函数（含分段函数）表达式； 根据实际问题的意义确定自变量的取值范围； 求给定条件的函数值； 求给定条件的函数的最大值. 应用一次函数解决问题要注意以下几点： 注意变量的实际意义； 分段函数要分段处理； 利用函数性质求最大值时要确定自变量的取值范围； 对于复杂的题目条件要聚焦相关条件. 梳理本节课环节、知识和注意问题 作业 课本本节练习第2题和本章复习题提升部分第4题