【公众号dc008免费分享】0623 -因式分解的概念-1教案.docx

教 案 教学基本信息 课题 因式分解的概念 学科 数学 学段：第三学段 年级 七年级 教材 书名：数学 出版社：北京出版社 出版日期：2013 年 12月 教学设计参与人员 姓名 单位 设计者 陈新 门头沟区潭柘寺中学 实施者 陈新 门头沟区潭柘寺中学 指导者 周全 门头沟区进修学校 课件制作者 陈新 门头沟区潭柘寺中学 其他参与者 教学目标及教学重点、难点 本节课的主要内容是因式分解的概念，采用设疑探究式的授课方式，把整式乘法与因式分解的关系作为主线，利用逆向思维，帮助学生理解因式分解的概念. 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 1. 化简： 要想化简分数 ，要想对分数进行化简，就要找到分子和分母的最大公约数，而要想找到分子和分母的最大公约数，就要将分子和分母分解因数 请看具体的解题过程：因为 ，， 所以12和18的最大公约数为 . 所以 2. 化简 那么如何将化为几个整式乘积的形式呢？ 要想化简 ，就需要将它的分母化为乘积 的形式. 那么怎样将分母化为几个整式乘积的形式呢？ 下面我们就一起来研究一下这类问题 （1）将化为乘积的形式 在前面，我们在整式乘法中学过乘法对加法的分配律 所以逆用乘法对加法的分配律就可以得到： 上述的过程可以用图形表示为： 即 （2）将 化为乘积形式 由于前面在整式乘法中我们学习了平方差公式 如果利用等式的对称性，把等号左右两边互换位置就可以得到 上述的过程可以用图形表示为： （3）将 化为乘积的形式 由于前面在整式乘法中我们学习了和的完全平方公式 ， 利用等式的对称性，把等号左右两边互换位置就可以得到 上述的过程可以用图形表示为： + + 即 观察得到的三个等式，他们有什么共同的结构特征吗？ 我们可以发现等式的左边都是一个多项式，右边都是几个整式的乘积的形式，它们都是把一个多项式化为了几个整式乘积的形式. 提供探索与交流的空间，经历知识生成的过程，发现因式分解 与整式乘法的关系 通过观察对比，由发现因式分解的结构特征，并观察所得到的结果，发展语言表达 能力 新课 像这样，把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做 把这个多项式因式分解，也叫做将多项式分解因式. 我们再来看上面得的三个等式 其中和分别称做多项式一个因式. 其中 和分别称做多项式一个因式. 其中 和分别称做多项式一个因式 请同学们思考，因式分解与前面学习过的整式乘法有什么关系呢？ 因式分解和整式乘法是相反方向的变形. 明确因式分解的概念 了解因式的概念，为后面继续学习公因式法做准备 明确因式分解与整式乘法是相反方向的变 形 例题 例 计算： 第一题是单项式乘以多项式，先用乘以，再用乘以，得到，在计算过程中，要注意带着每一项的符号一起去乘. 第二题这道题考查平方差公式，结果为两项，找准式子中的，在这个算式中，相当于公式中的，相当于公式中的，所以得到. 第三题这道题考查的是差的完全平方公式，结果应为三项，在计算时要注意二倍项的符号算式中的符号一致，两项平方项符号为正，所以得到. 通过解答的题目，我们知道对于整式的乘法，在计算过程把下列各式因式分解： ； ； ； 第二部分的四道题给出的是多项式，如何将它们分解因式呢？我们刚刚学过，因式分解与整式乘法是相反方向的变形，所以我们根据第一道例题的计算结果，就可以得到本题的答案，下面请看具体的解题过程： 将反过来就可以得到 将反过来就可以得到 将反过来就可得到 将反过来就可以得到 解决此类问题，关键要清楚因式分解与整式乘法是相反方向的变形. 例 下列各式从左到右的变形中是分解因式的是 由于A选项等号的左边是整式乘积的形式，属于整式乘 法中的多项式乘以多项式，所以不是因式分解. 对于B选项，等号左边满足多项式的形式，但是等号 的右边不是整式乘积的形式，因此不是因式分解. C选项，等号左边是一个单项式，并不符合因式分解 概念中的“把一个多项式化为几个整式乘积的形式”, 所以C也不是因式分解 选项D，等号左侧满足多项式的条件，右侧是两个多项 式的乘积，运用学习过的平方差公式计算，（x-2） (x+2)=x2-4,等式成立，满足因式分解的概念. 因此D选项正确. 判断一个变形是否是因式分解的关键是： 1.看等号左边是否是多项式； 2.看等号右边是否为几个整式乘积的形式； 3.看等号两边是否相等. 具备以下基本技能： 1.理解整式乘法概念,熟练运用整式乘法的运算； 2.理解因式分解的概念. 例 判断下列各式哪些是整式的乘法，哪些是因式分解？ （2） 和（3）符合整式乘法的结构特点 第二题是单项式乘以多项式，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，所以可以得到 第（3）是整式乘法中的平方差公式 （1） 等号左边是一个多项式，右边是将其变形成两个整式相乘的形式，并且等式成立 符合因式分解的定义，因此它是因式分解. （4） 这道题也是将一个多项式化为两个整式相乘的形式，通 过计算可以得出等式左右两 边相等.因此，它也是因式分解. 第（1）题和第（4）题既符合因式分解的形式，等式的 左右两边也相等，所以第一题和第四题是因式分解. 判断一个变形是否为因式分解应注意的问题： 1.等号左边是否是多项式 2.等号右边是否为几个整式乘积的形式 3.等号两边是否相等 例 填空： （1） 主要考察对因式分解概念的理解，想要解决此类 问题，我们还需要知道已知两个整式的乘积，知道了乘积和其中一个整式，求另一个整式，需要用积除以其中一个整式.通过变形，得到多项式除以单项式，根据前面我们学过的多项式除以单项式的法则，用单项式去除多项式的每一项，再把所得的商相加，结果为. 变形为 利用多项式除以单项式的法则，得到结果为 回顾差的完全平方公式 利用等式的对称性，将等号两边互换位置，等式仍然成 答案 回顾平方差公式 利用的等式的对称性，将等式左右两边互换位置可得 结果为. 例 已知，请回答下列问题： （1）这个变形是因式分解吗？ （2）这个变形有什么问题吗？若有，说出问题在哪里？ 符合因式分解的定义，等式的左边是一个多项式，右边 是几个整式乘积的形式. 计算等于，而不是， 等式左右两边不相等，因此，变形出现了问题.. 所以，在进行因式分解的时候，一定要看最后结果是否 与需要分解的多项式相等. 练习1 下列各式从左到右的变形是因式分解的是 A选项排除，是一个整式的乘法运算 C选项，等式的左边虽然是多项式，但右边不是整式乘 积的形式，因此也是不对的 D选项，等式左边是一个多项式，右边是整式乘积的形 式，但是通过计算得到的是，虽然符合因式分解的形式，但等号左右两边不相等，所以也是错误的. 正确答案是B选项 练习2，是_____________是分解因式的结果. 将按照平方差公式进行计算，得出多项式. 练习3 在① ② ③ ④中，从左到右的变形中是因式分解的有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ① ③等式右边不符合乘积的形式 ①、 ③错误的 ②， 等号的左边是多项式，右边是整式乘积的形式，由计算可得 ②正确 ④，符合因式分解的形 式，等式的左边是一个多项式，右边是整式乘积的形式 且利用平方差公式可得 ④正确 本题正确答案为B 练习4 下列各式从左到右的变形中，哪些是因式分解？是因式分解的指出它的各因式. 等式左边是整式乘积的形式，不符合因式分解的结构特征，属于整式乘法. 所以（1）不是因式分解 等式左边是一个多项式，右边是两个整式的乘积的形式，符合因式分解的形式，且等式的左右两边相等. 所以（2）是因式分解 和 分别称做多项式的一个因式，也 可以看做是三个因式，分别是 等式的左边是一个单项式，不符合因式分解的形式 所以（3）不是因式分解 等式左边是一个多项式，右边是两个整式乘积的形式 利用和的完全平方公式计算等式的左右两边相等 因此（4）是因式分解 和分别称做多项式的一个因式 左边不是一个多项式 故（5）不是因式分解 练习5 下列四个图形能拼成一个长方形，据此写出一个多项式的因式分解. 将四个图形拼成一个长方形，如图 四个图形的面积之和为：. 拼成的大长方形的面积为：. 因为，大长方形是由四个图形的拼成的，所以，四个图形的面积之和=大长方形的面积. 得到：= 观察所得到的等式，左边是一个多项式，右边是两个整是式乘积的形式.所以，符合题意，是一个多项式的因式分解. 解题思路：应用数形结合思想，根据四个图形的面积之和 等于大图形的面积，得到多项式的因式分解形式. 涉及的主要知识要素有：因式分解的概念，长方形的面积公式. 回到课堂之处的问题： 化简： 因为， 结果为， 通过例题进一步理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的互逆关系 通过练习题，进一步巩固所学知识，及时发现存在的问题 总结 总结和梳理： （一） 因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做将多项式分解因式. 因式分解与整式乘法是相反方向的变形 （二）判断一个变形是否为因式分解 1.看等号左边是否为是多项式； 2.看等号右边是为几个整式乘积的形式； 3.看等号两边是否相等. 通过对所学知识的梳理，促进对所学知识的理解，发展总结概括的能力 作业 作业：下列从左到右的变形，哪些是因式分解， 哪些不是因式分解？