【公众号dc008免费分享】0514 -二元一次方程和它的解-1教案.docx

教 案 教学基本信息 课题 5．1 二元一次方程和它的解 学科 数学 学段： 初中 年级 七年级 教材 书名：义务教育教科书数学（七年级下册） 出版社：北京出版社 出版日期： 2013年 12月 教学设计参与人员 姓名 单位 联系方式 设计者 韩颖 昌平区第二中学 实施者 韩颖 昌平区第二中学 指导者 李海龙 昌平区进修学校 课件制作者 韩颖 昌平区第二中学 其他参与者 黄炜 北京教科院 教学目标及教学重点、难点 本节课以经历“分析数量关系、探究解决问题的方法（算术方法、列一元一次方程、列二元一次方程）”的过程，体会方程是刻画现实世界中含有未知数问题的重要数学模型，体会学习二元一次方程知识方法的必要性.类比一元一次方程学习的过程与方法，学习二元一次方程及其解的意义，体验二元一次方程的解的不确定性及互相依存关系；会检验一组数是不是某个二元一次方程的解；会用含一个未知数的代数式表示另一个未知数.培养观察、类比分析、归纳概括和运算的能力，使学生逐步建立、完善方程的知识体系，提高对“元”和“次”的认识，渗透消元、化归思想.本节课的教学重点是了解二元一次方程及其解的概念，教学难点是了解二元一次方程的解的意义，教学过程共涉及三道例题. 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 （讲稿中的引言） 一、引入新知 任务一：体会学习二元一次方程的必要性. 问题1：在新年联欢会上同学们组织了猜谜活动，并采取积分方法记分，每答对1题要得分，每答错1题要扣分. 在猜谜活动中，王强答对了7道题，答错了3道题，共获得50分；李翔答对了8道题，答错了1道题，共获得62分 . 问答对1道题得多少分，答错1道题扣多少分. 引导1：（1）列表收集、整理数据；（2）分析数量、等量关系. 已知：每答对1题要得分，每答错1题要扣分. 答对题得的分-答错题扣的分=最后得分. 答对题数 答错题数 总分 王强 7 3 50 李翔 8 1 62 未知：答对1道题得多少分，答错1道题扣多少分. 两个等量关系： 等量关系1：王强得分情况. 等量关系2：李翔得分情况. 引导2：分析用算术方法、一元一次方程解决的弊端 下面列出了两位同学解答问题1的过程.结合同学的解答过程，找出两种方法的弊端思考下列问题. 甲同学：算术方法 将李翔答题情况扩大三倍 83=24，623=186，24-7=17，186-50=136，136÷17=8 88=64，64-62=2. 答：答对1道题得8分，答错1道题扣2分. 算术方法解决问题的过程，需要逆向思维，思维量大，过程比较复杂. 乙同学：列一元一次方程. 设答对一题得分，则答错一题扣分或， 答对 题数 对1题得分数 答错 题数 答错1题 扣分数 总 分 王强 7 3 50 李翔 8 1 62 或. 设答对一题得分，此题中的答对1题得分数与错1题扣分数没有直接关系，答错一题扣的分数要先借助一个等量关系变成数量关系去表示，将答错一题扣的分数用含的式子表示出来，即，然后再借助另一个等量关系列方程.列一元一次方程虽然是顺向思维，思维过程比算术方法简单，但一元一次方程只能有一个未知数，另一个未知数不好表示. 引导3：设两个未知数？ 设答对一题得分，答错一题扣分， 答对 题数 对1题得分数 答错 题数 错1题 扣分数 总 分 王强 7 3 50 李翔 8 1 62 ；. 列方程思维过程清晰简单，便于揭示其中等量关系.而且两个关系式中的和表示的意义一样. 注意：设出两个未知数，就要找出两个相等的关系，列出两个方程来表示问题中的全部含义. 说明：如果学生用列算式、一元一次方程来解决都应得到肯定. 以生动有趣的猜谜活动引入，激发学生的学习兴趣，体会方程是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的重要数学模型， 体会学习二元一次方程知识方法的必要性. 通过对比，让学生体验到从算术方法到列方程的方法是一种进步.而当我们遇到求多个未知量，而且数量关系较复杂时，列二元一次方程比列一元一次方程容易，它可以使“设”的环节变得简捷明了，大大减轻了我们的思维负担. 培养学生符号意识， 树立方程意识，确立方程思想，建立方程模型. 为多元高次、分式等方程的求解积累活动经验，从而优化和提升代数思维. 通过对比，从而引出二元一次方程的概念. 列出二元的方程，是对方程知识系统、解题方法、数学思想方法的完善.提升了数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养能力. 新课 二、类比学习 类比一元一次方程概念： 任务2：了解二元一次方程的概念. ；. 类比一元一次方程概念 问题2：观察上面的两个方程，与一元一次方程有什么相同或不同之处？ 回顾：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的 整式方程叫做一元一次方程. 一元一次方程：；. 学生观点： 相同：所含未知数的次数都是1.（错例） 不同：含有的未知数的个数不同，一元一次方程只含有一个未知数而二元一次方程则含有两个未知数. 追问1：你能给这两个方程起个名字吗？ 学生：二元一次方程 追问2：为什么叫二元一次方程呢？ 学生：含有两个未知数，未知数的次数都是1. 追问3：你能给二元一次方程下定义吗？ 学生观点：含有两个未知数,并且含未知数的次数都是1，我们把这样的方程叫做二元一次方程. （错例） 反例：.含有两个未知数，每个未知数的次数都是1，但这个单项式的项的次数是2次，这是二次方程，不是二元一次方程.命名方程时，方程的次数应该是未知数的项的次数.而多项式中的单项式叫做多项式的项，单项式和多项式统称为整式，已经能说明二元一次方程是整式方程，所以在定义中不用加整式方程几个字. 教师：含有两个未知数,并且含未知数的项的次数都是1，我们把这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程特征： （1）含有两个未知数； （2）含未知数的项的次数都是1； （3）整式方程. 类比一元一次方程的一般形式： 一元一次方程的一般形式：（，是已知数且） 二元一次方程的一般形式：二元一次方程（其中，，是已知数，且，）. 未知数个数 未知数的项的次数 一元一次方程 1个 1次 二元一次方程 2个 1次 追问4：如果含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2，那么它叫什么方程呢？ 一元二次方程 追问5：你能不能给三元一次方程下定义呢？ 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1. … … 引导：归纳、拓展对“元”和“次”的再认识. 通过类比一元一次方程概念的差异，产生认知的冲突点，为学生进一步的学习提供必要性的认识，提升思维的认知能力，从而建构新知. 对整式方程认识的完善. 归纳、拓展对“元”和“次”的再认识，渗透多“元”、高“次”的方程，激发学生求知欲望 例题 经典例题 例1：判断下列方程中哪些是二元一次方程. （1）； （2) ； （3）； （4）； （5）； （6） 解： （1）不是，含有两个未知数，但不是方程； （2）是，含有两个未知数，含未知数的项的次数是1； （3）不是，含有两个未知数，但含未知数的项的次数最高是2； （4）不是，只含有1个未知数； （5）不是，含有三个未知数； （6）不是，含有两个未知数，但展开后含未知数的项的最高次数是2. 注意：判断的依据就是二元一次方程的定义 例2：方程是关于 的二元一次方程，求的值. 解析：关于的二元一次方程，说明是方程中的两个未知数.根据二元一次方程的定义可知含未知数的项的次数都为1，所以，所以，未知数的项的系数不能等于0，所以解这两个一元一次方程便可求出的值. 解：依据题意，因为方程是关于 的二元一次方程，所以，所以，又因为，所以，所以. 注意：判断的依据就是二元一次方程的定义中的条件. 巩固概念，加深对概念的理解. 加强对未知数、字母问题的理解. 新课 类比方程解的概念 任务3：了解二元一次方程的解的概念. 一般地，能够使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 例如：当，时，方程左右两边相等，我们就把，叫做方程一个解，记作 注意：(1)用大括号联立；（2）二元一次方程有两个未知数，所以二元一次方程的解是一对未知数的值（3）两个数之间是“且”的关系，要同时成立. 二元一次方程的一个解： 使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.记作： 任务4：二元一次方程的解的确定 类比一元一次方程的解. 问题3： 请你写出方程的一个解. 师解： 预案： （1）如果和同学写的不一样，先判断是不是方程的一个解. 判断方法：因为方程左边=，右边=5，所以左右边，所以是方程的一个解.老师和同学写的解不一样，说明二元一次方程的解不止一个； （2）如果同学和老师写的解一样，老师再给出一个解先判断是不是方程的一个解，同时也能说明二元一次方程的解不止一个. 判断：所以是方程的一个解. 引导：发现二元一次方程解的不确定性. 追问1：二元一次方程有多少个解呢？ 填表思考如何求方程的解. … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 4 3 1 0 … 方法： （1）当当时，得到方程，解这个方程得到 （2）当当时，得到方程，解这个方程得到 （3）当当时，得到方程，解这个方程得到 （4）当当时，得到方程，解这个方程得到 发现：每给赋值，得到关于的一元一次方程，从而求得的值；每给赋值，得到关于的一元一次方程，从而求得的值，二元一次方程中的未知数之间是互相联系、相互制约的关系. … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 4 3 2 1 0 … 方法一： 只要我们给出 的一个值，把它代入方程中，就可以将方程转化为含有另一个未知数 的一元一次方程，从而求出相应的 的一个值，这一对 、 的值就是这个二元一次方程的一个解. 小结：一般地，一个二元一次方程有无数多个解，即二元一次方程的解具有不确定性. 二元一次方程中的未知数是互相联系、相互制约的关系. 说明：判断所给数值是否为二元一次方程的解，根据二元一次方程的解的定义，我们只需将所给数值代入到方程中，计算方程两边的结果，并通过判断方程两边的值是否相等，从而得出结论. 方法：先赋值，后变形，再求解. 追问2：请你判断是不是方程的一个解. 解：因为方程左边=，右边=5，所以5，所以左不等于右边，所以不是方程的解. 注意：不是任何一个数对都是二元一次方程的一个解. 方法二：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数.追问3：写出方程所有的正整数解. 解析：∵、均为正整数， ∴为小于5的正整数， 代入的值，转化为求一元一次方程，求出相 应的值. 注意：在的值的选取上，不是随意代入一个正整数，应按从小到大或从大到小的顺序选取，以免重漏. 答： 注意：尽管一个二元一次方程有无数个解，但在具体情况下该方程的解会成为有限个或被确定.求特殊解则需要注意问题中对解的范围要求. 小结： 未知 数个数 未知数项 的次数 方程解的个数 一元一次方程 1个 1次 唯一1个 一元二次方程 2个 1次 无数个 类比一元一次方程的解的个数，解的形式不同. 通过对具体数值代入方程的过程，提升“代”数的能力. 发现二元一次方程解的不确定性. 代入数值，把二元一次方程转化为求一元一次方程，渗透“消元”思想，渗透二元方程要转化为一元一次方程的化归思想. 体会二元一次方程有无数对解，二元一次方程解的不确定性.体会这个变的过程，渗透函数对应的思想，领会与的对应关系，为函数学习做渗透. 理解解二元一次方程的过程是把“二元”转化为“一元”的过程，从而初步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的转化的思想方法. 利用数、式、方程三者之间的转化从而解决问题. 理解解的范围的确定. 化难为易，化繁为简，化未知为已知，渗透化归思想. 归纳梳理 例题 经典例题： 例3：已知：，用含的代数式表示. 解： 解法一：由， 移项，得 （等式基本性质1） 系数化为1，得（等式基本性质2） 解法二：由， 两边同时除以2，得（等式基本性质2）移项，得 （等式基本性质1） 小结：方法二：“用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，再赋值”的方法.利用求代数式的值的方法解决. 求方程的一个未知数的解时可先变形，后赋值，再求解.（把其中一个未知数当已知数） 方法一：“先给出的一个值，转化为一元一次方程，从而求出相应的的值； 两种方法的区别与联系： 方法一：先赋值，后变形，再求解； 方法二：先变形，后赋值，再求解. 顺序不一样，但本质一样，计算量相同，都是要转化成一元一次方程求解. 小结：两种确定二元一次方程解的方法，明确算法、算理. 代入 消元转化 二元 一次 方程 一元一次方程 拓展提高： 思考：怎样确定二元一次方程（其中，，是已知数，且，）的一个解. 引导：把其中一个未知数当作已知数. 解：或 或 引导：从具体 抽象，特殊 一般 提升运算与变形能，关注程序性认识，渗透“消元”思想，为运用代入法解二元一次方程组打下基础 从具体到一般，从而得到通法 进一步提升代数思想，增强用字母表示数的意识，式的变形的依据及能力的进一步形成. 引导学生体会从具体 到抽象，从特殊到一般的研究方法. 总结 三、课堂小结 这节课我们类比一元一次方程学习了二元一次方程及相关知识，这不仅有利于新知识的获得和理解，同时也为今后学习一元二次方程打下良好基础. 1．知识梳理 （1）二元一次方程定义 含有两个未知数,并且含未知数的项的次数都是1,我们把这样的方程叫做二元一次方程. （2）二元一次方程解的含义 使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，二元一次方程的解具有不确定性. （3）一元一次方程和二元一次方程及其解的区别与联系： 未知 数个数 未知数项 的次数 方程解的个数 一元一次方程 1个 1次 唯一1个 一元二次方程 2个 1次 无数个 2．解题方法 代入消元 转化 二元 一次 方程 一元一次方程 3．数学思想方法 运用了方程思想、建模思想、转化、化归思想、函数思想 4．研究方法 类比一元一次方程，从具体到抽象，从特殊到一般 巩固所学，加深理解 作业 四、课后作业 练习： 1.把下列二元一次方程改写成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式： （1） （2） （3） 答案： （1）； （2）； （3）. 2. 填写下表，使表中的每一对，的值都是方程 的一个解： 答：第一行依次为，，； 第二行依次为，，， 3. 是不是方程和的公共解？是不是方程和的公共解？请你检验一下. 答：是；不是. 4.求满足方程的非负整数解. 答： 巩固加深